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5. 下列各式中，无论$x$取何值，分式都有意义的是（
A.$\dfrac{x-5}{x^2 -1}$
B.$\dfrac{2x^2}{2x +1}$
C.$\dfrac{x+1}{x^2}$
D.$\dfrac{2x}{|x| +1}$
D
）A.$\dfrac{x-5}{x^2 -1}$
B.$\dfrac{2x^2}{2x +1}$
C.$\dfrac{x+1}{x^2}$
D.$\dfrac{2x}{|x| +1}$
答案
5.D
解析
【分析】
要判断无论x取何值分式都有意义，首先明确分式有意义的核心条件：分母不等于0。解题思路是逐一分析每个选项的分母，判断是否存在实数x使得分母等于0，若不存在这样的x，该选项就符合要求。具体只需逐个计算各选项分母为0时x的取值，只要分母能等于0就排除该选项，最终剩下的即为正确答案。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，我们逐一分析各选项：
A. 分母为$x^2-1$，令$x^2-1=0$，解得$x=\pm1$，即当$x=\pm1$时分式无意义，不符合要求；
B. 分母为$2x+1$，令$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，即当$x=-\frac{1}{2}$时分式无意义，不符合要求；
C. 分母为$x^2$，令$x^2=0$，解得$x=0$，即当$x=0$时分式无意义，不符合要求；
D. 分母为$|x|+1$，根据绝对值的非负性可知$|x|≥0$，因此$|x|+1≥1$，无论x取何值，分母都不会等于0，分式始终有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件，绝对值的非负性
【点评】
本题考查分式有意义的判断，解题关键是牢记分式有意义时分母不为0的要求，结合各类代数式的性质判断分母是否能为0即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
要判断无论x取何值分式都有意义，首先明确分式有意义的核心条件：分母不等于0。解题思路是逐一分析每个选项的分母，判断是否存在实数x使得分母等于0，若不存在这样的x，该选项就符合要求。具体只需逐个计算各选项分母为0时x的取值，只要分母能等于0就排除该选项，最终剩下的即为正确答案。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，我们逐一分析各选项：
A. 分母为$x^2-1$，令$x^2-1=0$，解得$x=\pm1$，即当$x=\pm1$时分式无意义，不符合要求；
B. 分母为$2x+1$，令$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，即当$x=-\frac{1}{2}$时分式无意义，不符合要求；
C. 分母为$x^2$，令$x^2=0$，解得$x=0$，即当$x=0$时分式无意义，不符合要求；
D. 分母为$|x|+1$，根据绝对值的非负性可知$|x|≥0$，因此$|x|+1≥1$，无论x取何值，分母都不会等于0，分式始终有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件，绝对值的非负性
【点评】
本题考查分式有意义的判断，解题关键是牢记分式有意义时分母不为0的要求，结合各类代数式的性质判断分母是否能为0即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
6.已知甲种糖果每千克售价为$ m $元，乙种糖果每千克售价为$ n $元，取甲种糖果$ a $千克和乙种糖果$ b $千克，混合后的糖果每千克售价为（
A.$\frac{a+b}{m+n}$元
B.$\frac{am+bn}{ab}$元
C.$\frac{am+bn}{a+b}$元
D.$\frac{m+n}{2}$元
C
）A.$\frac{a+b}{m+n}$元
B.$\frac{am+bn}{ab}$元
C.$\frac{am+bn}{a+b}$元
D.$\frac{m+n}{2}$元
答案
6.C
解析
【分析】
要计算混合后糖果的每千克售价，首先需要明确单价的计算公式：单价=总售价÷总质量。我们可以分三步思考：第一步先算出a千克甲糖果的总售价和b千克乙糖果的总售价，求和得到混合糖果的总售价；第二步算出两种糖果的总质量；最后用总售价除以总质量就能得到混合后的单价，再对照选项选出正确答案即可。
【解析】
首先计算购买两种糖果的总售价：
甲种糖果a千克，每千克售价m元，总售价为$am$元；
乙种糖果b千克，每千克售价n元，总售价为$bn$元；
因此混合后糖果的总售价为$(am+bn)$元。
再计算混合后糖果的总质量：总质量为甲、乙两种糖果的质量和，即$(a+b)$千克。
根据“单价=总售价÷总质量”的数量关系，混合后糖果每千克售价为$\frac{am+bn}{a+b}$元，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；销售数量关系；分式实际应用
【点评】
本题是分式在生活实际中的基础应用题型，解题核心是抓住售价类问题的基本数量关系，做题时注意不要混淆总售价和总质量的位置，避免出现分子分母颠倒的错误。
【难度系数】
0.9
要计算混合后糖果的每千克售价，首先需要明确单价的计算公式：单价=总售价÷总质量。我们可以分三步思考：第一步先算出a千克甲糖果的总售价和b千克乙糖果的总售价，求和得到混合糖果的总售价；第二步算出两种糖果的总质量；最后用总售价除以总质量就能得到混合后的单价，再对照选项选出正确答案即可。
【解析】
首先计算购买两种糖果的总售价：
甲种糖果a千克，每千克售价m元，总售价为$am$元；
乙种糖果b千克，每千克售价n元，总售价为$bn$元；
因此混合后糖果的总售价为$(am+bn)$元。
再计算混合后糖果的总质量：总质量为甲、乙两种糖果的质量和，即$(a+b)$千克。
根据“单价=总售价÷总质量”的数量关系，混合后糖果每千克售价为$\frac{am+bn}{a+b}$元，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；销售数量关系；分式实际应用
【点评】
本题是分式在生活实际中的基础应用题型，解题核心是抓住售价类问题的基本数量关系，做题时注意不要混淆总售价和总质量的位置，避免出现分子分母颠倒的错误。
【难度系数】
0.9
7.若代数式$\frac{x+2}{(x-1)^2}$有意义，则x的取值范围是
$x≠1$
。答案
$x≠1$
解析
【分析】
要确定该代数式有意义的x的取值范围，首先观察到这个代数式属于分式，根据分式的相关规则：分式有意义的核心条件是分母不能为0。我们只需先找到分式的分母，令分母不等于0，解对应的不等式即可得到结果，无需额外限制分子的取值。
【解析】
解：
∵ 代数式$\frac{x+2}{(x-1)^2}$是分式，分式有意义的条件为分母不为0
∴ 分母$(x-1)^2 ≠ 0$
∵ 非零数的平方才不为0，因此只要底数不为0即可满足条件
∴ $x-1 ≠ 0$
解得 $x ≠ 1$
【答案】
$x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是基础考查题，重点考察分式有意义的判定规则，解题时注意仅需约束分母不为0，不要额外对分子取值加限制，避免出现多写限制条件的错误。
【难度系数】
0.9
要确定该代数式有意义的x的取值范围，首先观察到这个代数式属于分式，根据分式的相关规则：分式有意义的核心条件是分母不能为0。我们只需先找到分式的分母，令分母不等于0，解对应的不等式即可得到结果，无需额外限制分子的取值。
【解析】
解：
∵ 代数式$\frac{x+2}{(x-1)^2}$是分式，分式有意义的条件为分母不为0
∴ 分母$(x-1)^2 ≠ 0$
∵ 非零数的平方才不为0，因此只要底数不为0即可满足条件
∴ $x-1 ≠ 0$
解得 $x ≠ 1$
【答案】
$x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是基础考查题，重点考察分式有意义的判定规则，解题时注意仅需约束分母不为0，不要额外对分子取值加限制，避免出现多写限制条件的错误。
【难度系数】
0.9
8.(1)若分式$\frac{x^2 + 3}{4x + 9}$的值为正数，求$x$的取值范围；
(2)若分式$\frac{x - 2}{2x + 6}$的值为负数，求$x$的取值范围。
(2)若分式$\frac{x - 2}{2x + 6}$的值为负数，求$x$的取值范围。
答案
【解】(1)由题意可知$x^2+3$与$4x+9$同号,而$x^2+3＞0,$所以$4x+9＞0,$解得$x＞-\frac{9}{4}.$
(2)由题意可知$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0.\end{cases}$
解不等式组$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0,\end{cases}$该不等式组无解；
解不等式组$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0,\end{cases}$得$-3＜x＜2.$
综上,$x$的取值范围为$-3＜x＜2.$
(2)由题意可知$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0.\end{cases}$
解不等式组$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0,\end{cases}$该不等式组无解；
解不等式组$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0,\end{cases}$得$-3＜x＜2.$
综上,$x$的取值范围为$-3＜x＜2.$
解析
【分析】
解决这类分式取值范围的问题，核心依据是“两数相除，同号得正，异号得负”，同时要注意分式分母不能为0：
(1) 先判断分子$x^2+3$的符号，根据平方的非负性可知$x^2+3$恒大于0，因此要让分式值为正，只需分母和分子同号，即分母也大于0，解对应的一元一次不等式即可。
(2) 分式值为负说明分子分母异号，因此分两种情况列不等式组：①分子为正、分母为负；②分子为负、分母为正，分别求解两个不等式组，舍弃无解的情况，合并有效解集即可得到结果。
【解析】
(1) 由分式值为正数可知，分子$x^2+3$与分母$4x+9$同号。
∵ 对任意实数$x$，$x^2≥0$，因此$x^2+3≥3＞0$恒成立，
∴ 只需满足分母$4x+9＞0$，
移项得$4x＞-9$，解得$x＞-\frac{9}{4}$。
(2) 由分式值为负数可知，分子$x-2$与分母$2x+6$异号，因此可列两个不等式组：
情况1：$\begin{cases}x-2＞0 \\ 2x+6＜0\end{cases}$，
解$x-2＞0$得$x＞2$，解$2x+6＜0$得$x＜-3$，该不等式组无公共解集，无解；
情况2：$\begin{cases}x-2＜0 \\ 2x+6＞0\end{cases}$，
解$x-2＜0$得$x＜2$，解$2x+6＞0$得$x＞-3$，因此该不等式组的解集为$-3＜x＜2$。
综上，第二问$x$的取值范围是$-3＜x＜2$。
【答案】
(1)$x＞-\frac{9}{4}$；(2)$-3＜x＜2$
【知识点】
分式正负性判断，一元一次不等式（组）的解法，平方的非负性
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题关键是掌握分式值的符号与分子、分母符号的对应关系，遇到含平方项的分子可先判断其恒正或恒负，简化计算过程，解不等式组时要注意解集公共部分的取舍。
【难度系数】
0.7
解决这类分式取值范围的问题，核心依据是“两数相除，同号得正，异号得负”，同时要注意分式分母不能为0：
(1) 先判断分子$x^2+3$的符号，根据平方的非负性可知$x^2+3$恒大于0，因此要让分式值为正，只需分母和分子同号，即分母也大于0，解对应的一元一次不等式即可。
(2) 分式值为负说明分子分母异号，因此分两种情况列不等式组：①分子为正、分母为负；②分子为负、分母为正，分别求解两个不等式组，舍弃无解的情况，合并有效解集即可得到结果。
【解析】
(1) 由分式值为正数可知，分子$x^2+3$与分母$4x+9$同号。
∵ 对任意实数$x$，$x^2≥0$，因此$x^2+3≥3＞0$恒成立，
∴ 只需满足分母$4x+9＞0$，
移项得$4x＞-9$，解得$x＞-\frac{9}{4}$。
(2) 由分式值为负数可知，分子$x-2$与分母$2x+6$异号，因此可列两个不等式组：
情况1：$\begin{cases}x-2＞0 \\ 2x+6＜0\end{cases}$，
解$x-2＞0$得$x＞2$，解$2x+6＜0$得$x＜-3$，该不等式组无公共解集，无解；
情况2：$\begin{cases}x-2＜0 \\ 2x+6＞0\end{cases}$，
解$x-2＜0$得$x＜2$，解$2x+6＞0$得$x＞-3$，因此该不等式组的解集为$-3＜x＜2$。
综上，第二问$x$的取值范围是$-3＜x＜2$。
【答案】
(1)$x＞-\frac{9}{4}$；(2)$-3＜x＜2$
【知识点】
分式正负性判断，一元一次不等式（组）的解法，平方的非负性
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题关键是掌握分式值的符号与分子、分母符号的对应关系，遇到含平方项的分子可先判断其恒正或恒负，简化计算过程，解不等式组时要注意解集公共部分的取舍。
【难度系数】
0.7
9. 当 $ x = 1 $ 时，分式 $ \frac{x+a}{2x - b} $ 无意义，当 $ x = -1 $ 时，分式 $ \frac{x+a}{2x - b} $ 的值为0，求 $ a + b $ 的值。
答案
【解】把$x=1$代入分式$\frac{x+a}{2x-b},$得$\frac{1+a}{2-b},$因为此时该分式无意义,所以$2-b=0,$即$b=2.$
当$x=-1$时,分式$\frac{x+a}{2x-b}=\frac{-1+a}{-2-b}=0,$则$-1+a=0,$所以$a=1.$所以$a+b=1+2=3.$
当$x=-1$时,分式$\frac{x+a}{2x-b}=\frac{-1+a}{-2-b}=0,$则$-1+a=0,$所以$a=1.$所以$a+b=1+2=3.$
解析
【分析】
解题首先要明确两个分式相关的核心规则：①分式无意义的条件是分母等于0；②分式值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0。我们可以分两步求解：第一步利用x=1时分式无意义的条件，代入分母求出b的值；第二步利用x=-1时分式值为0的条件，代入分子求出a的值，最后计算a+b的结果即可。
【解析】
当$x=1$时，分式$\frac{x+a}{2x - b}$无意义，此时分母为0，即：
$2×1 - b = 0$
解得$b=2$。
当$x=-1$时，分式的值为0，此时分子为0且分母不为0，将$x=-1$代入分子得：
$-1 + a = 0$
解得$a=1$。
代入分母验证：$2×(-1) - b = -2 - 2 = -4 ≠ 0$，符合分式值为0的条件。
所以$a+b=1+2=3$。
【答案】
3
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题是分式概念的基础应用题，解题的核心是准确掌握分式无意义和值为0的判定条件，注意求解分式值为0的参数时，要额外验证分母不为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确两个分式相关的核心规则：①分式无意义的条件是分母等于0；②分式值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0。我们可以分两步求解：第一步利用x=1时分式无意义的条件，代入分母求出b的值；第二步利用x=-1时分式值为0的条件，代入分子求出a的值，最后计算a+b的结果即可。
【解析】
当$x=1$时，分式$\frac{x+a}{2x - b}$无意义，此时分母为0，即：
$2×1 - b = 0$
解得$b=2$。
当$x=-1$时，分式的值为0，此时分子为0且分母不为0，将$x=-1$代入分子得：
$-1 + a = 0$
解得$a=1$。
代入分母验证：$2×(-1) - b = -2 - 2 = -4 ≠ 0$，符合分式值为0的条件。
所以$a+b=1+2=3$。
【答案】
3
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题是分式概念的基础应用题，解题的核心是准确掌握分式无意义和值为0的判定条件，注意求解分式值为0的参数时，要额外验证分母不为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
