【典型例题2】当$x$取什么值时，下列各分式有意义？
(1)$\frac{2x+1}{5x-3}$；(2)$\frac{1}{|x|-1}$；
(3)$\frac{x+1}{x^2+3}$；(4)$\frac{x+2}{(x+2)(x-5)}$.
思路导引 分式有意义的条件是指表示分母的整式的值不能为0，并不是说分母中字母的取值不能为0.
【解】(1)当$5x-3≠0$，即$x≠\frac{3}{5}$时，分式$\frac{2x+1}{5x-3}$有意义.
(2)当$|x|-1≠0$，即$x≠±1$时，分式$\frac{1}{|x|-1}$有意义.
(3)因为$x^2≥0$，所以$x^2+3＞0$，即$x$为任意实数时，分式$\frac{x+1}{x^2+3}$都有意义.
(4)当$(x+2)(x-5)≠0$，即$x≠-2$，且$x≠5$时，分式$\frac{x+2}{(x+2)(x-5)}$有意义.

解：
(1) 由分母$5x-3≠0$，得$x≠\frac{3}{5}$，
所以当$x≠\frac{3}{5}$时，分式$\frac{2x+1}{5x-3}$有意义。
(2) 由分母$|x|-1≠0$，得$x≠\pm1$，
所以当$x≠\pm1$时，分式$\frac{1}{|x|-1}$有意义。
(3) 因为对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，所以$x^2+3＞0$，分母的值永远不为0，
所以$x$取任意实数时，分式$\frac{x+1}{x^2+3}$都有意义。
(4) 由分母$(x+2)(x-5)≠0$，得$x+2≠0$且$x-5≠0$，即$x≠-2$且$x≠5$，
所以当$x≠-2$且$x≠5$时，分式$\frac{x+2}{(x+2)(x-5)}$有意义。

【分析】
要确定分式有意义时x的取值，核心依据是分式有意义的条件：分母不为0。解题时先找准每个分式的分母，令分母对应的整式不等于0，再解不等式得到x的限制范围即可。遇到带绝对值的分母，要注意绝对值等于0的解有两个；遇到含平方的分母，利用平方的非负性判断分母是否恒不为0；遇到乘积形式的分母，要保证每个因式都不为0，避免漏解。
【解析】
(1) 由分母$5x-3≠0$，得$x≠\frac{3}{5}$，
所以当$x≠\frac{3}{5}$时，分式$\frac{2x+1}{5x-3}$有意义。
(2) 由分母$|x|-1≠0$，得$x≠\pm1$，
所以当$x≠\pm1$时，分式$\frac{1}{|x|-1}$有意义。
(3) 因为对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，所以$x^2+3＞0$，分母的值永远不为0，
所以$x$取任意实数时，分式$\frac{x+1}{x^2+3}$都有意义。
(4) 由分母$(x+2)(x-5)≠0$，得$x+2≠0$且$x-5≠0$，即$x≠-2$且$x≠5$，
所以当$x≠-2$且$x≠5$时，分式$\frac{x+2}{(x+2)(x-5)}$有意义。
【答案】
(1)$x≠\frac{3}{5}$；(2)$x≠\pm1$；(3)$x$为任意实数；(4)$x≠-2$且$x≠5$
【知识点】
1.分式有意义的条件 2.绝对值的性质 3.平方的非负性
【点评】
本题是分式相关的基础题型，核心考查对分式有意义条件的理解应用，解题时注意不要随意对分式约分，避免出现漏解（如第(4)问不能约去(x+2)后仅考虑x≠5），同时要熟练运用绝对值、平方的相关性质判断分母的取值范围。
【难度系数】
0.75

3.若分式$\frac{x+2}{x-2}$有意义，则$x$的取值范围是.

$x≠2$

【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式有意义的判定规则：分式的分母不能为0，否则分式无意义。本题中只需先找到分式的分母，令分母不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
$x-2≠0$
解上述不等式得：$x≠2$
【答案】
$x≠2$
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查对分式有意义条件的掌握，牢记“分式有意义则分母不为0”的规则即可快速求解，解题时注意不要和分式值为0的条件混淆，避免误对分子做限制。
【难度系数】
0.9

1. 下列各式：$\frac{x}{3x+1}$，$\frac{x}{2}$，$\frac{x}{3}+y$，$\frac{2x-y}{x+2}$，$\frac{x}{π}$，其中分式共有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1.B

【分析】
要判断给出的式子中有多少个分式，首先要明确分式的判定标准：分式的定义是，若两个整式A、B相除，且分母B中含有字母，则$\frac{A}{B}$是分式，注意π是固定的常数，不属于字母。解题时只需逐个检查每个式子的分母是否含有字母，统计符合分式定义的式子数量即可。
【解析】
根据分式的定义逐一判断：
1. $\frac{x}{3x+1}$：分母为$3x+1$，含有字母$x$，属于分式；
2. $\frac{x}{2}$：分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
3. $\frac{x}{3}+y$：分母为常数3，不含字母，属于整式，不是分式；
4. $\frac{2x-y}{x+2}$：分母为$x+2$，含有字母$x$，属于分式；
5. $\frac{x}{π}$：分母为常数π，不含字母，属于整式，不是分式。
综上，分式共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的定义
2. 常数π的属性
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查分式的识别，常见易错点是误将常数π当作字母，导致错误判断$\frac{x}{π}$为分式，只要牢记分式的判断依据是分母含字母，就能准确作答。
【难度系数】
0.8

2. 要使分式$\frac{3x}{x+5}$有意义，则$x$的取值范围是（）

A.$x＞-5$
B.$x＜5$
C.$x≠-5$
D.$x≠5$

2.C

【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，首先要明确分式有意义的判定规则：分式的分母不能为0，否则分式无意义。解题时第一步先找到该分式的分母，第二步令分母不等于0列出不等式，第三步解不等式得到x的取值范围，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0时分式才有意义。
本题中分式$\frac{3x}{x+5}$的分母为$x+5$，因此列不等式：
$x+5≠0$
解得$x≠-5$，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，考查对分式有意义条件的掌握，解题时只需牢记“分式有意义则分母不为0”的规则即可快速求解，是分式部分的常规必考题。
【难度系数】
0.9

3.试写一个含有字母x的分式，且x的取值范围是$x≠-3$，你写的分式是。

$\frac{x}{x+3}$(答案不唯一)

【分析】
要写出符合要求的分式，我们可以按以下思路思考：首先明确分式的核心要求：一是分母必须含有字母x，二是分母不能为0。题目限定x的取值范围是x≠-3，说明仅当x=-3时，分式的分母为0，其余x值都能让分母不为0。接下来我们先构造分母：要让分母等于0时的解是x=-3，最简单的分母就是x+3（解x+3=0可得x=-3，刚好符合要求）。最后确定分子：分子选任意不含因式(x+3)的整式即可（避免约分后改变x的取值范围），比如选x、1都可以。
【解析】
解：根据分式有意义的条件：分母不为0。
要求x的取值范围为x≠-3，即当x=-3时，分母的值为0，因此可设分母为$x+3$。
分子选取不含因式$(x+3)$的整式，例如取$x$，即可得到分式$\frac{x}{x+3}$，此时当$x=-3$时分母为0，分式无意义，其余x值都有意义，符合要求，且答案不唯一。
【答案】
$\frac{x}{x+3}$(答案不唯一)
【知识点】
分式的定义；分式有意义的条件
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查分式有意义条件的应用，构造时分母需保证仅在x=-3时值为0，注意不要让分子和分母含有公因式，避免约分后改变x的取值范围。
【难度系数】
0.9

4. 当$x$为何值时，下列分式有意义？
(1)$\frac{x}{4x+5}$；(2)$\frac{2x}{x^2+4}$；(3)$\frac{2}{|x|-3}$。

【解】(1)由分母$4x+5≠0,$得$x≠-\frac{5}{4},$所以当$x≠-\frac{5}{4}$时,分式$\frac{x}{4x+5}$有意义.
(2)无论$x$取什么实数,$x^2$一定是非负数,则$x^2+4$一定是正数,分母的值不可能为零,所以当$x$取任意实数时,分式$\frac{2x}{x^2+4}$有意义.
(3)由分母$|x|-3≠0,$得$x≠±3,$即当$x≠±3$时,分式$\frac{2}{|x|-3}$有意义.

【分析】
判定分式有意义的核心依据是“分式的分母不能为0”，只需令每个分式的分母不等于0，求解对应的x的取值范围即可。具体解题思路如下：(1)直接令分母4x+5≠0，解一元一次方程排除不符合要求的x值；(2)观察分母为x²+4，结合平方的非负性可知x²≥0，因此x²+4恒大于0，分母不可能为0，x可取任意实数；(3)令分母|x|-3≠0，结合绝对值的性质解出x不能取的值即可。
【解析】
(1)要使分式$\frac{x}{4x+5}$有意义，需满足分母不为0，即：
$4x+5≠0$
解得$x≠-\frac{5}{4}$，因此当$x≠-\frac{5}{4}$时，该分式有意义。
(2)对于分式$\frac{2x}{x^2+4}$，分母为$x^2+4$，由平方的非负性可知，对任意实数x，都有$x^2≥0$，因此$x^2+4≥4＞0$，分母恒不为0，因此x取任意实数时，该分式都有意义。
(3)要使分式$\frac{2}{|x|-3}$有意义，需满足分母不为0，即：
$|x|-3≠0$
即$|x|≠3$，解得$x≠±3$，因此当$x≠±3$时，该分式有意义。
【答案】
(1)$x≠-\frac{5}{4}$；(2)x为任意实数；(3)$x≠±3$
【知识点】
分式有意义的条件；平方的非负性；绝对值的性质
【点评】
本题是分式有意义条件的基础应用题，解题核心是牢记“分母不为0”的要求，对于含平方、绝对值的分母，要结合它们的非负性判断分母是否可能为0，计算时注意不要漏解。
【难度系数】
0.8