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基础知识·预习
问题1 如何用式子表示分式的基本性质？
问题2 通过比较分数和分式的基本性质，你有什么认识？
问题1 如何用式子表示分式的基本性质？
问题2 通过比较分数和分式的基本性质，你有什么认识？
答案
解：
问题1：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示为：
$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C},\quad \frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$
其中$A,B,C$是整式，且$C≠0$。
问题2：① 二者核心性质一致：都满足分子、分母同时乘或除以同一个不为0的对象，自身的值保持不变；
② 适用范围有区别：分数的基本性质中，乘除的对象是不为0的具体数值，而分式的基本性质中，乘除的对象是不为0的整式，分数是分子、分母都为整数的特殊分式，分式的基本性质是分数基本性质从具体数到含字母整式的推广，适用范围更广；
③ 二者都要求乘除的对象不能为0，目的都是保证变形后分母不为0，避免式子失去意义。
问题1：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示为：
$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C},\quad \frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$
其中$A,B,C$是整式，且$C≠0$。
问题2：① 二者核心性质一致：都满足分子、分母同时乘或除以同一个不为0的对象，自身的值保持不变；
② 适用范围有区别：分数的基本性质中，乘除的对象是不为0的具体数值，而分式的基本性质中，乘除的对象是不为0的整式，分数是分子、分母都为整数的特殊分式，分式的基本性质是分数基本性质从具体数到含字母整式的推广，适用范围更广；
③ 二者都要求乘除的对象不能为0，目的都是保证变形后分母不为0，避免式子失去意义。
解析
【分析】
解答问题1时，先回忆分式基本性质的文字表述：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，再将文字内容转化为规范的符号表达式，同时标注清楚表达式中字母的取值限制即可。解答问题2时，先回顾分数的基本性质，再从核心规律、适用对象、限制要求三个维度，对比二者的相同点与不同点，梳理对应的认识即可。
【解析】
问题1解答：
分式的基本性质为：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，转化为式子表示为：
$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C},\quad \frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$
其中$A,B,C$是整式，且$C≠0$。
问题2解答：
对比分数和分式的基本性质，可得到三点认识：
① 二者核心性质一致：都满足分子、分母同时乘或除以同一个不为0的对象，自身的值保持不变；
② 适用范围有区别：分数的基本性质中，乘除的对象是不为0的具体数值，而分式的基本性质中，乘除的对象是不为0的整式，分数是分子、分母都为整数的特殊分式，分式的基本性质是分数基本性质从具体数到含字母整式的推广，适用范围更广；
③ 二者限制要求一致：都要求乘除的对象不能为0，目的都是保证变形后分母不为0，避免式子失去意义。
【答案】
问题1：$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C},\quad \frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$（$A,B,C$是整式，且$C≠0$）；
问题2：① 核心性质一致，均为分子分母同乘除同一个不为0的对象，值不变；② 适用范围不同，分数乘除对象为非0数，分式乘除对象为非0整式，分式性质是分数性质的推广；③ 均要求乘除对象不为0，保证分母有意义。
【知识点】
分式的基本性质、分数的基本性质、类比思想
【点评】
本题是分式基本性质的基础考查题，既要求准确识记性质的符号表达，也要求通过数式对比体会代数中从具体数到抽象式的推广逻辑，帮助大家加深对性质限制条件的理解，为后续分式的约分、通分等运算筑牢基础。
【难度系数】
0.8
解答问题1时，先回忆分式基本性质的文字表述：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，再将文字内容转化为规范的符号表达式，同时标注清楚表达式中字母的取值限制即可。解答问题2时，先回顾分数的基本性质，再从核心规律、适用对象、限制要求三个维度，对比二者的相同点与不同点，梳理对应的认识即可。
【解析】
问题1解答：
分式的基本性质为：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，转化为式子表示为：
$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C},\quad \frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$
其中$A,B,C$是整式，且$C≠0$。
问题2解答：
对比分数和分式的基本性质，可得到三点认识：
① 二者核心性质一致：都满足分子、分母同时乘或除以同一个不为0的对象，自身的值保持不变；
② 适用范围有区别：分数的基本性质中，乘除的对象是不为0的具体数值，而分式的基本性质中，乘除的对象是不为0的整式，分数是分子、分母都为整数的特殊分式，分式的基本性质是分数基本性质从具体数到含字母整式的推广，适用范围更广；
③ 二者限制要求一致：都要求乘除的对象不能为0，目的都是保证变形后分母不为0，避免式子失去意义。
【答案】
问题1：$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C},\quad \frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$（$A,B,C$是整式，且$C≠0$）；
问题2：① 核心性质一致，均为分子分母同乘除同一个不为0的对象，值不变；② 适用范围不同，分数乘除对象为非0数，分式乘除对象为非0整式，分式性质是分数性质的推广；③ 均要求乘除对象不为0，保证分母有意义。
【知识点】
分式的基本性质、分数的基本性质、类比思想
【点评】
本题是分式基本性质的基础考查题，既要求准确识记性质的符号表达，也要求通过数式对比体会代数中从具体数到抽象式的推广逻辑，帮助大家加深对性质限制条件的理解，为后续分式的约分、通分等运算筑牢基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题】填空:(1)$\frac{3c}{2ab}=\frac{15ac}{(\quad)}$；
(2)$\frac{3xy}{x^2-2x}=\frac{(\quad)}{x-2}$；(3)$\frac{3ab}{a+b}=\frac{6a^2b}{(\quad)}$；
(4)$\frac{m-n}{m+n}=\frac{(\quad)}{m^2-n^2}(m≠n)$。
思路导引 紧扣分式的基本性质进行观察、分析,通过比较先确定等式两边分式的分子、分母发生了怎样的变化,再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子。
【解析】(1)分子与分母都乘$5a$,得$\frac{3c}{2ab}=\frac{15ac}{10a^2b}$,所以括号中应填$10a^2b$。
(2)分子与分母都除以$x$,得$\frac{3xy}{x^2-2x}=\frac{3y}{x-2}$,所以括号中应填$3y$。
(3)分子与分母都乘$2a$,得$\frac{3ab}{a+b}=\frac{6a^2b}{2a^2+2ab}$,所以括号中应填$2a^2+2ab$。
(4)分子与分母都乘$m-n$,得$\frac{m-n}{m+n}=\frac{m^2-2mn+n^2}{m^2-n^2}$,所以括号中应填$m^2-2mn+n^2$。
【答案】(1)$10a^2b$ (2)$3y$ (3)$2a^2+2ab$ (4)$m^2-2mn+n^2$
(2)$\frac{3xy}{x^2-2x}=\frac{(\quad)}{x-2}$；(3)$\frac{3ab}{a+b}=\frac{6a^2b}{(\quad)}$；
(4)$\frac{m-n}{m+n}=\frac{(\quad)}{m^2-n^2}(m≠n)$。
思路导引 紧扣分式的基本性质进行观察、分析,通过比较先确定等式两边分式的分子、分母发生了怎样的变化,再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子。
【解析】(1)分子与分母都乘$5a$,得$\frac{3c}{2ab}=\frac{15ac}{10a^2b}$,所以括号中应填$10a^2b$。
(2)分子与分母都除以$x$,得$\frac{3xy}{x^2-2x}=\frac{3y}{x-2}$,所以括号中应填$3y$。
(3)分子与分母都乘$2a$,得$\frac{3ab}{a+b}=\frac{6a^2b}{2a^2+2ab}$,所以括号中应填$2a^2+2ab$。
(4)分子与分母都乘$m-n$,得$\frac{m-n}{m+n}=\frac{m^2-2mn+n^2}{m^2-n^2}$,所以括号中应填$m^2-2mn+n^2$。
【答案】(1)$10a^2b$ (2)$3y$ (3)$2a^2+2ab$ (4)$m^2-2mn+n^2$
答案
解：
(1) 对比等式两边分子，可知分子$3c$乘$5a$得到$15ac$，根据分式的基本性质，分母也要乘$5a$：
$2ab · 5a = 10a^2b$
括号内应填$10a^2b$。
(2) 对比等式两边分母，$x^2-2x = x(x-2)$，可知分母除以$x$得到$x-2$，根据分式的基本性质，分子也要除以$x$：
$3xy ÷ x = 3y$
括号内应填$3y$。
(3) 对比等式两边分子，可知分子$3ab$乘$2a$得到$6a^2b$，根据分式的基本性质，分母也要乘$2a$：
$2a · (a+b) = 2a^2+2ab$
括号内应填$2a^2+2ab$。
(4) 对比等式两边分母，$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，已知$m≠n$，可知分母乘$m-n$得到$m^2-n^2$，根据分式的基本性质，分子也要乘$m-n$：
$(m-n)(m-n) = m^2-2mn+n^2$
括号内应填$m^2-2mn+n^2$。
(1) 对比等式两边分子，可知分子$3c$乘$5a$得到$15ac$，根据分式的基本性质，分母也要乘$5a$：
$2ab · 5a = 10a^2b$
括号内应填$10a^2b$。
(2) 对比等式两边分母，$x^2-2x = x(x-2)$，可知分母除以$x$得到$x-2$，根据分式的基本性质，分子也要除以$x$：
$3xy ÷ x = 3y$
括号内应填$3y$。
(3) 对比等式两边分子，可知分子$3ab$乘$2a$得到$6a^2b$，根据分式的基本性质，分母也要乘$2a$：
$2a · (a+b) = 2a^2+2ab$
括号内应填$2a^2+2ab$。
(4) 对比等式两边分母，$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，已知$m≠n$，可知分母乘$m-n$得到$m^2-n^2$，根据分式的基本性质，分子也要乘$m-n$：
$(m-n)(m-n) = m^2-2mn+n^2$
括号内应填$m^2-2mn+n^2$。
解析
【分析】
这组填空题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：先观察等式两边已知的分子或分母，判断其乘（或除以）了哪个不为0的整式，再根据分式的基本性质（分式的分子和分母同时乘或者除以同一个不为0的整式，分式的值不变），对另一边的分母或分子做相同的变形，即可求出括号内应填的式子，变形时注意保证乘除的整式不为0。
【解析】
(1) 对比等式两边分子，可知分子$3c$乘$5a$得到$15ac$，根据分式的基本性质，分母也要乘$5a$：
$2ab · 5a = 10a^2b$
括号内应填$10a^2b$。
(2) 对比等式两边分母，$x^2-2x = x(x-2)$，可知分母除以$x$（$x≠0$，否则原分式无意义）得到$x-2$，根据分式的基本性质，分子也要除以$x$：
$3xy ÷ x = 3y$
括号内应填$3y$。
(3) 对比等式两边分子，可知分子$3ab$乘$2a$得到$6a^2b$，根据分式的基本性质，分母也要乘$2a$：
$2a · (a+b) = 2a^2+2ab$
括号内应填$2a^2+2ab$。
(4) 对比等式两边分母，$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，已知$m≠n$，可知分母乘$m-n$得到$m^2-n^2$，根据分式的基本性质，分子也要乘$m-n$：
$(m-n)(m-n) = m^2-2mn+n^2$
括号内应填$m^2-2mn+n^2$。
【答案】
(1)$10a^2b$；(2)$3y$；(3)$2a^2+2ab$；(4)$m^2-2mn+n^2$
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、整式乘除运算
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是准确观察分式分子或分母的变化规律，严格遵循“分子分母同时做相同的乘除变形，且变形的整式不为0”的原则，是后续学习分式约分、通分、化简运算的必备基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
这组填空题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：先观察等式两边已知的分子或分母，判断其乘（或除以）了哪个不为0的整式，再根据分式的基本性质（分式的分子和分母同时乘或者除以同一个不为0的整式，分式的值不变），对另一边的分母或分子做相同的变形，即可求出括号内应填的式子，变形时注意保证乘除的整式不为0。
【解析】
(1) 对比等式两边分子，可知分子$3c$乘$5a$得到$15ac$，根据分式的基本性质，分母也要乘$5a$：
$2ab · 5a = 10a^2b$
括号内应填$10a^2b$。
(2) 对比等式两边分母，$x^2-2x = x(x-2)$，可知分母除以$x$（$x≠0$，否则原分式无意义）得到$x-2$，根据分式的基本性质，分子也要除以$x$：
$3xy ÷ x = 3y$
括号内应填$3y$。
(3) 对比等式两边分子，可知分子$3ab$乘$2a$得到$6a^2b$，根据分式的基本性质，分母也要乘$2a$：
$2a · (a+b) = 2a^2+2ab$
括号内应填$2a^2+2ab$。
(4) 对比等式两边分母，$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，已知$m≠n$，可知分母乘$m-n$得到$m^2-n^2$，根据分式的基本性质，分子也要乘$m-n$：
$(m-n)(m-n) = m^2-2mn+n^2$
括号内应填$m^2-2mn+n^2$。
【答案】
(1)$10a^2b$；(2)$3y$；(3)$2a^2+2ab$；(4)$m^2-2mn+n^2$
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、整式乘除运算
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是准确观察分式分子或分母的变化规律，严格遵循“分子分母同时做相同的乘除变形，且变形的整式不为0”的原则，是后续学习分式约分、通分、化简运算的必备基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
