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6. 如图，$\odot O$为一张直径为6的圆形纸片，现将$\odot O$上任意一点P与圆心O重合折叠，得折痕AB，则折痕AB的长为
$3\sqrt{3}$
。答案
6. $3\sqrt{3}$。提示:连结OA,AP,OP,OP交AB于点C。由折叠可知,AO=AP,所以$△ AOP$是等边三角形,所以$AC=\frac{3\sqrt{3}}{2},AB=3\sqrt{3}$。
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：⊙O直径为6，可得半径为3；折叠后点P与圆心O重合，折痕为AB。首先回忆折叠的性质：折叠后对应点的连线被折痕垂直平分，因此AB垂直平分OP，即OP⊥AB，且OP与AB的交点C是OP中点。接下来结合垂径定理可知AB=2AC，我们只需在Rt△AOC中利用勾股定理算出AC的长度，就能得到AB的总长；也可通过OA=OP=AP判定△AOP为等边三角形，借助三角函数计算AC，两种方法均可求解。
【解析】
解：连结OA、OP，设OP与AB交于点C。
∵ ⊙O的直径为6，
∴ 半径$OA=OP=3$。
由折叠的性质可得，AB垂直平分OP，
∴ $OC=\frac{1}{2}OP=1.5$，且$AB⊥ OP$。
根据垂径定理，$AB=2AC$。
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{3^2-1.5^2}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AB=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠与圆性质的基础综合题，解题核心是通过折叠的性质得到折痕与OP的位置关系，再结合垂径定理构造直角三角形求解，能较好考查基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理已知条件：⊙O直径为6，可得半径为3；折叠后点P与圆心O重合，折痕为AB。首先回忆折叠的性质：折叠后对应点的连线被折痕垂直平分，因此AB垂直平分OP，即OP⊥AB，且OP与AB的交点C是OP中点。接下来结合垂径定理可知AB=2AC，我们只需在Rt△AOC中利用勾股定理算出AC的长度，就能得到AB的总长；也可通过OA=OP=AP判定△AOP为等边三角形，借助三角函数计算AC，两种方法均可求解。
【解析】
解：连结OA、OP，设OP与AB交于点C。
∵ ⊙O的直径为6，
∴ 半径$OA=OP=3$。
由折叠的性质可得，AB垂直平分OP，
∴ $OC=\frac{1}{2}OP=1.5$，且$AB⊥ OP$。
根据垂径定理，$AB=2AC$。
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{3^2-1.5^2}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AB=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠与圆性质的基础综合题，解题核心是通过折叠的性质得到折痕与OP的位置关系，再结合垂径定理构造直角三角形求解，能较好考查基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$\odot O$的半径为5，点A是$\odot O$内一点。若$OA=3$，则$\odot O$中经过点A的弦BC的长的范围为________。
答案
7. $8≤ BC≤10$。提示:当$OA⊥BC$时,BC可取最小值8;当BC为直径时,BC取最大值10。
解析
【分析】
要确定过圆内点A的弦BC的长度范围，需分别找到弦长的最大值和最小值：①圆中最长的弦是直径，由此可直接得到BC的最大值；②根据弦长的变化规律，圆的半径固定时，圆心到弦的距离越大，弦长越小，过点A的弦中，圆心到弦的最大距离等于OA的长度，即当BC⊥OA时，BC的长度最小，再结合垂径定理和勾股定理计算出最小弦长即可。
【解析】
1. 求BC的最大值：
圆中最长的弦为直径，已知$\odot O$半径为5，因此直径长度为$2×5=10$，即BC的最大值为10，此时BC为过点A的直径。
2. 求BC的最小值：
当$BC⊥ OA$时，圆心O到弦BC的距离最大（等于OA的长度3），此时BC最短。
连接OB，OB为$\odot O$的半径，即$OB=5$。
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OB^2 - OA^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$BC=2AB=2×4=8$，即BC的最小值为8。
综上，弦BC的长的范围为$8≤ BC≤10$。
【答案】
$8≤ BC≤10$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦的性质
【点评】
本题是圆中弦长范围的基础题型，解题的关键是明确过圆内一点的最长弦为直径，最短弦是与过该点的半径垂直的弦，结合垂径定理和勾股定理即可求解，易错点是无法判断最短弦的位置。
【难度系数】
0.7
要确定过圆内点A的弦BC的长度范围，需分别找到弦长的最大值和最小值：①圆中最长的弦是直径，由此可直接得到BC的最大值；②根据弦长的变化规律，圆的半径固定时，圆心到弦的距离越大，弦长越小，过点A的弦中，圆心到弦的最大距离等于OA的长度，即当BC⊥OA时，BC的长度最小，再结合垂径定理和勾股定理计算出最小弦长即可。
【解析】
1. 求BC的最大值：
圆中最长的弦为直径，已知$\odot O$半径为5，因此直径长度为$2×5=10$，即BC的最大值为10，此时BC为过点A的直径。
2. 求BC的最小值：
当$BC⊥ OA$时，圆心O到弦BC的距离最大（等于OA的长度3），此时BC最短。
连接OB，OB为$\odot O$的半径，即$OB=5$。
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OB^2 - OA^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$BC=2AB=2×4=8$，即BC的最小值为8。
综上，弦BC的长的范围为$8≤ BC≤10$。
【答案】
$8≤ BC≤10$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦的性质
【点评】
本题是圆中弦长范围的基础题型，解题的关键是明确过圆内一点的最长弦为直径，最短弦是与过该点的半径垂直的弦，结合垂径定理和勾股定理即可求解，易错点是无法判断最短弦的位置。
【难度系数】
0.7
8. 一根排水管的截面如图所示，阴影部分为液面。已知水面宽AB＝8 dm，测得排水管内水的最大深度为2 dm，求排水管截面的半径。
答案
8. 5 dm
解析
【分析】
本题是圆的实际应用问题，要求排水管截面的半径，解题思路如下：1. 先将实际问题转化为圆的几何问题，水面宽AB是圆的弦，水的最大深度是弦AB到对应劣弧的距离；2. 结合垂径定理，过圆心作弦AB的垂线，既可以平分弦得到半弦长，又能结合水的深度表示出弦心距；3. 半径、半弦长、弦心距可构成直角三角形，利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
过圆心$ O $作$ OC ⊥ AB $于点$ C $，延长$ OC $交劣弧$ AB $于点$ D $。
根据垂径定理，得$ AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{dm} $。
由题意可知水的最大深度$ CD = 2\ \mathrm{dm} $。
设排水管截面的半径为$ r\ \mathrm{dm} $，则$ OA = r\ \mathrm{dm} $，$ OC = OD - CD = (r - 2)\ \mathrm{dm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAC $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AC^2 + OC^2 $
代入数值可得：
$ r^2 = 4^2 + (r - 2)^2 $
展开计算：
$ r^2 = 16 + r^2 - 4r + 4 $
移项化简得：
$ 4r = 20 $
解得$ r = 5 $
【答案】
5 dm
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想
【点评】
本题是垂径定理的典型应用题型，核心是掌握圆中弦长相关计算的通用辅助线作法：过圆心作弦的垂线，构造出“半径、半弦长、弦心距”组成的直角三角形，再结合勾股定理求解即可，这类题型在圆的实际应用类题目中十分常见。
【难度系数】
0.7
本题是圆的实际应用问题，要求排水管截面的半径，解题思路如下：1. 先将实际问题转化为圆的几何问题，水面宽AB是圆的弦，水的最大深度是弦AB到对应劣弧的距离；2. 结合垂径定理，过圆心作弦AB的垂线，既可以平分弦得到半弦长，又能结合水的深度表示出弦心距；3. 半径、半弦长、弦心距可构成直角三角形，利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
过圆心$ O $作$ OC ⊥ AB $于点$ C $，延长$ OC $交劣弧$ AB $于点$ D $。
根据垂径定理，得$ AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{dm} $。
由题意可知水的最大深度$ CD = 2\ \mathrm{dm} $。
设排水管截面的半径为$ r\ \mathrm{dm} $，则$ OA = r\ \mathrm{dm} $，$ OC = OD - CD = (r - 2)\ \mathrm{dm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAC $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AC^2 + OC^2 $
代入数值可得：
$ r^2 = 4^2 + (r - 2)^2 $
展开计算：
$ r^2 = 16 + r^2 - 4r + 4 $
移项化简得：
$ 4r = 20 $
解得$ r = 5 $
【答案】
5 dm
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想
【点评】
本题是垂径定理的典型应用题型，核心是掌握圆中弦长相关计算的通用辅助线作法：过圆心作弦的垂线，构造出“半径、半弦长、弦心距”组成的直角三角形，再结合勾股定理求解即可，这类题型在圆的实际应用类题目中十分常见。
【难度系数】
0.7
9. 如图，AB是$\odot O$的弦，P是$\odot O$上的动点，且与点A，B不重合。连结AP，BP，过点O分别作$OE⊥ AP$于点E，$OF⊥ PB$于点F。试猜想点P在运动过程中，EF与AB有怎样的关系，并说明理由。
（第9题）
（第9题）答案
9. $EF// AB$,且$EF=\frac{1}{2}AB$。理由如下:由已知,$OE⊥AP,OF⊥BP$,可得AE=PE,BF=PF,所以EF是$△ APB$的中位线,所以$EF// AB$,且$EF=\frac{1}{2}AB$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，已知$OE⊥ AP$、$OF⊥ PB$，且O是圆心，根据垂径定理可推出E是AP中点、F是PB中点；再观察EF的位置，发现它是$△ APB$两边中点的连线，符合三角形中位线的定义，最后利用三角形中位线的性质即可得出EF与AB的位置关系和数量关系。
【解析】
解：EF与AB的关系为$\boldsymbol{EF// AB}$，且$\boldsymbol{EF=\frac{1}{2}AB}$，理由如下：
∵ O是$\odot O$的圆心，$OE⊥ AP$，$OF⊥ PB$，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴ $AE=PE$，$BF=PF$，
∴ EF是$△ APB$的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴ $EF// AB$，且$EF=\frac{1}{2}AB$。
【答案】
$EF// AB$，且$EF=\frac{1}{2}AB$
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心是结合已知条件识别出垂径定理的应用场景，得到线段中点后转化为中位线问题求解，熟练掌握相关基础定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，已知$OE⊥ AP$、$OF⊥ PB$，且O是圆心，根据垂径定理可推出E是AP中点、F是PB中点；再观察EF的位置，发现它是$△ APB$两边中点的连线，符合三角形中位线的定义，最后利用三角形中位线的性质即可得出EF与AB的位置关系和数量关系。
【解析】
解：EF与AB的关系为$\boldsymbol{EF// AB}$，且$\boldsymbol{EF=\frac{1}{2}AB}$，理由如下：
∵ O是$\odot O$的圆心，$OE⊥ AP$，$OF⊥ PB$，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴ $AE=PE$，$BF=PF$，
∴ EF是$△ APB$的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴ $EF// AB$，且$EF=\frac{1}{2}AB$。
【答案】
$EF// AB$，且$EF=\frac{1}{2}AB$
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心是结合已知条件识别出垂径定理的应用场景，得到线段中点后转化为中位线问题求解，熟练掌握相关基础定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
