1. 如图，在$\odot O$中，AB是弦，$OC ⊥ AB$，垂足为C。若$AB=16$，$OC=6$，则$\odot O$的半径OA等于（）。

A.16
B.12
C.10
D.8

1. C

【分析】
解题时先观察图形特征，已知过圆心的线段OC垂直于弦AB，首先想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，由此可先求出弦AB一半的长度AC；此时△OAC是直角三角形，已知两条直角边AC和OC的长度，再利用勾股定理即可求出斜边OA的长度，也就是圆的半径。
【解析】
解：
∵OC⊥AB，且OC过圆心O，
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB$，
已知AB=16，
∴$AC=\frac{1}{2}×16=8$，
在Rt△OAC中，∠OCA=90°，OC=6，AC=8，
由勾股定理得：$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
即⊙O的半径OA为10。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆相关计算的基础题型，核心是将垂径定理与勾股定理结合使用，解题关键是利用垂径定理得到直角三角形的边长，再通过勾股定理计算半径，这类题型是圆中线段长度计算的常见考法。
【难度系数】
0.85

2. 如图,在$\odot O$中,直径$MN⊥$弦$AB$于点$C$。给出下列结论:
①$AC=BC$； ②$\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{BN}$； ③$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$；
④$OC=CN$； ⑤$∠ AON=∠ BON$； ⑥$AM=BM$。
其中正确的有(只需填写序号)。

2. ①②③⑤⑥

【分析】
解题时先明确已知条件：MN是⊙O的直径，且MN垂直弦AB于点C，可结合垂径定理、等腰三角形性质、同圆中弧弦圆心角的关系逐一判断每个结论：首先由垂径定理直接判断平分弦、平分弦所对弧的相关结论，再结合等腰三角形三线合一判断角相等的结论，由等弧对等弦判断弦相等的结论，无依据的结论直接排除即可。
【解析】
已知MN为⊙O的直径，且$MN⊥ AB$于点C：
1. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可得$AC=BC$，$\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{BN}$，$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$，故①②③正确；
2. 因为$OA=OB$，$△ OAB$是等腰三角形，$OC⊥ AB$，由等腰三角形三线合一可知OC平分$∠ AOB$，即$∠ AON=∠ BON$，故⑤正确；
3. 同圆中，等弧所对的弦相等，因为$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$，所以$AM=BM$，故⑥正确；
4. 题干未给出C是ON中点的相关条件，无法推出$OC=CN$，故④错误。
综上，正确的结论为①②③⑤⑥。
【答案】
①②③⑤⑥
【知识点】
垂径定理；等腰三角形性质；弧弦圆心角的关系
【点评】
本题是垂径定理的基础应用类题目，解题时要准确记忆垂径定理的内容，结合同圆中弧、弦、圆心角的对应关系判断即可，注意不要随意添加题目未给出的条件。
【难度系数】
0.8

3. 在$\odot O$中,若直径长为10 cm,一条弦长为6 cm,则点O到这条弦的弦心距为。

3. 4 cm

【分析】
解题思路可分为三步：第一步先根据直径求出圆的半径；第二步运用垂径定理，过圆心作弦的垂线，得到半弦的长度；第三步识别由半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，利用勾股定理即可求出弦心距。
【解析】
已知$\odot O$的直径为10 cm，因此$\odot O$的半径$OA=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
设这条弦为AB，长度为6 cm，过圆心O作$OC⊥ AB$于点C，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$AC=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$
即点O到这条弦的弦心距为4 cm。
【答案】
4 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦心距计算的基础题型，核心是掌握“半径、半弦长、弦心距构成直角三角形”这一常用模型，结合勾股定理即可快速求解，是垂径定理的典型基础应用。
【难度系数】
0.9

4. 如图，已知$\overset{\frown}{AB}$，用直尺和圆规将此弧二等分。（只要求作出图形，并保留作图痕迹，不必写作法）

解：
1. 连接弦AB；
2. 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于AB两侧的两个交点；
3. 过两个交点作直线，该直线与$\overset{\frown}{AB}$的交点即为$\overset{\frown}{AB}$的二等分点，完整保留线段AB、画弧的圆弧痕迹、所作的直线等所有作图痕迹即可。

【分析】
要将$\overset{\frown}{AB}$二等分，可依据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧。因此解题思路为：首先连接弧的两个端点得到弦AB，再作出弦AB的垂直平分线，该垂直平分线与$\overset{\frown}{AB}$的交点就是$\overset{\frown}{AB}$的二等分点。
【解析】
1. 用直尺连接A、B两点，得到弦AB；
2. 分别以点A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于AB两侧的两个点；
3. 过上述两个交点作直线，该直线与$\overset{\frown}{AB}$的交点即为$\overset{\frown}{AB}$的二等分点。作图时需完整保留线段AB、画弧的痕迹、所作直线等所有作图痕迹。
【答案】
按上述步骤完成作图，保留全部作图痕迹即可。
【知识点】
垂径定理；尺规作线段垂直平分线
【点评】
本题考查垂径定理的应用和基本尺规作图技能，解题的关键是理解弧的二等分可转化为作对应弦的垂直平分线，是需要熟练掌握的基础作图类题型。
【难度系数】
0.8

5. 如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D。问：AC与BD相等吗？为什么？

5. 相等。过点O作AB边上的高线OE,由等腰三角形的性质和垂径定理,可得AE=BE,CE=DE,所以AC=BD。

【分析】
要证明AC=BD，可转化为证明两条线段的差相等，即AE-CE=BE-DE，其中E是过O向AB作垂线的垂足。首先由已知OA=OB，可知△OAB是等腰三角形，等腰三角形底边上的高平分底边，可得到AE=BE；其次CD是⊙O的弦，根据垂径定理，过圆心垂直于弦的直线平分弦，可得CE=DE，两式相减即可推出AC=BD，因此解题的关键是作出辅助线OE⊥AB。
【解析】
AC与BD相等，理由如下：
过点O作OE⊥AB，垂足为E。
∵ OA=OB，OE⊥AB，
∴ 根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AE=BE。
又
∵ CD是⊙O的弦，OE⊥CD，
∴ 根据垂径定理，可得CE=DE。
∴ $ AE - CE = BE - DE $，
即AC=BD。
【答案】
相等。过点O作AB边上的高线OE，由等腰三角形的性质和垂径定理，可得AE=BE，CE=DE，所以AC=BD。
【知识点】
等腰三角形的性质；垂径定理；线段的和差运算
【点评】
本题是圆中证明线段相等的典型基础题，核心是掌握“过圆心作弦的垂线”这一常用辅助线的作法，结合等腰三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8