登录
6. 如图，在$\odot O$中，AB是直径，半径$OC //$弦AD。若$\overset{\frown}{BC}$的度数为$37°$，则$\overset{\frown}{AD}$的度数为
106°
。答案
6. 106°
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{AD}$的度数，首先明确弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此只需算出$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD$的度数即可。第一步：根据$\overset{\frown}{BC}$的度数得到其对应圆心角$∠ BOC$的度数；第二步：利用$OC// AD$的平行线性质，推出$∠ OAD$的度数；第三步：结合圆的半径相等，得到$△ OAD$为等腰三角形，利用三角形内角和求出$∠ AOD$的度数，即可得到$\overset{\frown}{AD}$的度数。
【解析】
解：
∵ 弧的度数等于它所对圆心角的度数，$\overset{\frown}{BC}$的度数为$37°$
∴ $∠ BOC=37°$
∵ $OC// AD$，AB为两平行线的截线
∴ $∠ OAD=∠ BOC=37°$（两直线平行，同位角相等）
∵ $OA$、$OD$均为$\odot O$的半径
∴ $OA=OD$，$△ OAD$为等腰三角形
∴ $∠ ODA=∠ OAD=37°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AOD=180°-∠ OAD-∠ ODA=180°-37°-37°=106°$
∴ $\overset{\frown}{AD}$的度数等于对应圆心角$∠ AOD$的度数，为$106°$
【答案】
$106°$
【知识点】
圆心角与弧的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的基本性质和三角形、平行线的角度计算结合考查，解题的关键是掌握弧的度数和对应圆心角度数相等的关系，梳理清楚图中的角度关联即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{AD}$的度数，首先明确弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此只需算出$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD$的度数即可。第一步：根据$\overset{\frown}{BC}$的度数得到其对应圆心角$∠ BOC$的度数；第二步：利用$OC// AD$的平行线性质，推出$∠ OAD$的度数；第三步：结合圆的半径相等，得到$△ OAD$为等腰三角形，利用三角形内角和求出$∠ AOD$的度数，即可得到$\overset{\frown}{AD}$的度数。
【解析】
解：
∵ 弧的度数等于它所对圆心角的度数，$\overset{\frown}{BC}$的度数为$37°$
∴ $∠ BOC=37°$
∵ $OC// AD$，AB为两平行线的截线
∴ $∠ OAD=∠ BOC=37°$（两直线平行，同位角相等）
∵ $OA$、$OD$均为$\odot O$的半径
∴ $OA=OD$，$△ OAD$为等腰三角形
∴ $∠ ODA=∠ OAD=37°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AOD=180°-∠ OAD-∠ ODA=180°-37°-37°=106°$
∴ $\overset{\frown}{AD}$的度数等于对应圆心角$∠ AOD$的度数，为$106°$
【答案】
$106°$
【知识点】
圆心角与弧的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的基本性质和三角形、平行线的角度计算结合考查，解题的关键是掌握弧的度数和对应圆心角度数相等的关系，梳理清楚图中的角度关联即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图，C是$\odot O$的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD＝CO。若$∠ AOD=40°$，求$\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AE}$的度数。
答案
7. $\overset{\frown}{BD}=140°,\overset{\frown}{AE}=60°$。
解析
【分析】
要计算弧的度数，需明确弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此本题可转化为求圆心角$∠ BOD$、$∠ AOE$的度数。首先，直径$AB$对应的平角$∠ AOB$为$180°$，结合已知$∠ AOD=40°$可直接求出$∠ BOD$的度数，得到$\overset{\frown}{BD}$的度数；再利用$CD=CO$得到等腰$△ CDO$，求出$∠ ODC$的度数，结合半径相等得到$OD=OE$，推出$△ ODE$为等腰三角形得到$∠ OEC$的度数，最后利用三角形外角性质和内角和定理求出$∠ AOE$的度数，即可得到$\overset{\frown}{AE}$的度数。
【解析】
解：1. 求$\overset{\frown}{BD}$的度数：
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOB=180°$，
又
∵ $∠ AOD=40°$，
∴ $∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=180°-40°=140°$，
根据弧的度数等于对应圆心角的度数，可得$\overset{\frown}{BD}$的度数为$140°$。
2. 求$\overset{\frown}{AE}$的度数：
∵ $CD=CO$，
∴ $△ CDO$为等腰三角形，
∴ $∠ ODC=∠ AOD=40°$，
∵ $OD、OE$都是$\odot O$的半径，
∴ $OD=OE$，$△ ODE$为等腰三角形，
∴ $∠ OEC=∠ ODC=40°$，
∵ $∠ OCE$是$△ CDO$的外角，
∴ $∠ OCE=∠ AOD+∠ ODC=40°+40°=80°$，
在$△ OCE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ COE=180°-∠ OCE-∠ OEC=180°-80°-40°=60°$，
即$∠ AOE=60°$，因此$\overset{\frown}{AE}$的度数为$60°$。
【答案】
$\overset{\frown}{BD}=140°$，$\overset{\frown}{AE}=60°$
【知识点】
弧与圆心角的度数关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题核心是将弧的度数求解转化为圆心角的度数计算，结合等腰三角形和三角形的角度性质即可得出结果，是圆心角相关知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
要计算弧的度数，需明确弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此本题可转化为求圆心角$∠ BOD$、$∠ AOE$的度数。首先，直径$AB$对应的平角$∠ AOB$为$180°$，结合已知$∠ AOD=40°$可直接求出$∠ BOD$的度数，得到$\overset{\frown}{BD}$的度数；再利用$CD=CO$得到等腰$△ CDO$，求出$∠ ODC$的度数，结合半径相等得到$OD=OE$，推出$△ ODE$为等腰三角形得到$∠ OEC$的度数，最后利用三角形外角性质和内角和定理求出$∠ AOE$的度数，即可得到$\overset{\frown}{AE}$的度数。
【解析】
解：1. 求$\overset{\frown}{BD}$的度数：
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOB=180°$，
又
∵ $∠ AOD=40°$，
∴ $∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=180°-40°=140°$，
根据弧的度数等于对应圆心角的度数，可得$\overset{\frown}{BD}$的度数为$140°$。
2. 求$\overset{\frown}{AE}$的度数：
∵ $CD=CO$，
∴ $△ CDO$为等腰三角形，
∴ $∠ ODC=∠ AOD=40°$，
∵ $OD、OE$都是$\odot O$的半径，
∴ $OD=OE$，$△ ODE$为等腰三角形，
∴ $∠ OEC=∠ ODC=40°$，
∵ $∠ OCE$是$△ CDO$的外角，
∴ $∠ OCE=∠ AOD+∠ ODC=40°+40°=80°$，
在$△ OCE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ COE=180°-∠ OCE-∠ OEC=180°-80°-40°=60°$，
即$∠ AOE=60°$，因此$\overset{\frown}{AE}$的度数为$60°$。
【答案】
$\overset{\frown}{BD}=140°$，$\overset{\frown}{AE}=60°$
【知识点】
弧与圆心角的度数关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题核心是将弧的度数求解转化为圆心角的度数计算，结合等腰三角形和三角形的角度性质即可得出结果，是圆心角相关知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图，AB是半圆O的直径，AB=4，点C在半圆O上，且∠AOC=60°。若点P是$\overset{\frown}{BC}$上一点（不与B，C重合），则四边形AOPC的面积的取值范围是
$\sqrt{3}＜S_{四边形AOPC}≤2+\sqrt{3}$
。答案
8. $\sqrt{3}＜S_{四边形AOPC}≤2+\sqrt{3}$。提示:因为$S_{△ AOC}=\sqrt{3},S_{四边形AOPC}＞S_{△ AOC}$,所以$S_{四边形AOPC}＞\sqrt{3}$。当$OC⊥OP$时,$S_{△ OCP}$可取最大值2,此时$S_{四边形AOPC}=2+\sqrt{3}$。
解析
【分析】
要解决四边形面积取值范围问题，可将不规则四边形AOPC拆分为固定面积的△AOC和可变面积的△OCP两部分计算。首先求出固定部分△AOC的面积，再分析△OCP的面积随夹角变化的规律：△OCP的两条边OC、OP都是半径长度固定，面积大小由两边夹角∠COP决定，结合点P的位置确定∠COP的取值范围，即可求出△OCP的面积最值，最终得到四边形的面积范围。
【解析】
解：
∵AB是半圆O的直径，AB=4，
∴半圆O的半径$OA=OC=OP=\frac{AB}{2}=2$。
∵$∠ AOC=60°$，
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· OA· OC· \sin60°=\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，为定值。
∵$S_{四边形AOPC}=S_{△ AOC}+S_{△ OCP}$，
∴只需求$S_{△ OCP}$的取值范围。
设$∠ COP=α$，对于$△ OCP$，$OC=OP=2$，
则$S_{△ OCP}=\frac{1}{2}· OC· OP· \sinα=2\sinα$。
∵点P在$\overset{\frown}{BC}$上（不与B、C重合），$∠ COB=180°-∠ AOC=120°$，
∴$0°＜α＜120°$。
在$0°＜α＜120°$范围内，$\sinα$的最大值为1（当$α=90°$时取到），且$\sinα＞0$，
∴$0＜S_{△ OCP}≤2$，
∴$\sqrt{3}＜S_{四边形AOPC}≤\sqrt{3}+2$。
【答案】
$\sqrt{3}＜S_{四边形AOPC}≤2+\sqrt{3}$
【知识点】
圆心角性质，三角形面积计算，正弦函数最值
【点评】
本题考查动态几何的面积范围问题，通过拆分不规则图形将复杂问题转化为简单的三角形面积最值问题，解题的核心是合理拆分图形、准确确定角度的取值范围，对学生的图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决四边形面积取值范围问题，可将不规则四边形AOPC拆分为固定面积的△AOC和可变面积的△OCP两部分计算。首先求出固定部分△AOC的面积，再分析△OCP的面积随夹角变化的规律：△OCP的两条边OC、OP都是半径长度固定，面积大小由两边夹角∠COP决定，结合点P的位置确定∠COP的取值范围，即可求出△OCP的面积最值，最终得到四边形的面积范围。
【解析】
解：
∵AB是半圆O的直径，AB=4，
∴半圆O的半径$OA=OC=OP=\frac{AB}{2}=2$。
∵$∠ AOC=60°$，
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· OA· OC· \sin60°=\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，为定值。
∵$S_{四边形AOPC}=S_{△ AOC}+S_{△ OCP}$，
∴只需求$S_{△ OCP}$的取值范围。
设$∠ COP=α$，对于$△ OCP$，$OC=OP=2$，
则$S_{△ OCP}=\frac{1}{2}· OC· OP· \sinα=2\sinα$。
∵点P在$\overset{\frown}{BC}$上（不与B、C重合），$∠ COB=180°-∠ AOC=120°$，
∴$0°＜α＜120°$。
在$0°＜α＜120°$范围内，$\sinα$的最大值为1（当$α=90°$时取到），且$\sinα＞0$，
∴$0＜S_{△ OCP}≤2$，
∴$\sqrt{3}＜S_{四边形AOPC}≤\sqrt{3}+2$。
【答案】
$\sqrt{3}＜S_{四边形AOPC}≤2+\sqrt{3}$
【知识点】
圆心角性质，三角形面积计算，正弦函数最值
【点评】
本题考查动态几何的面积范围问题，通过拆分不规则图形将复杂问题转化为简单的三角形面积最值问题，解题的核心是合理拆分图形、准确确定角度的取值范围，对学生的图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在$\odot O$中,半径$OA⊥ BO$,线段$AB$交$\odot O$于点$C$。
(1) 若$∠ B=37°$,求$\overset{\frown}{AC}$的度数。
(2) 若$OA=3,OB=4$,求$AC$的长。
(1) 若$∠ B=37°$,求$\overset{\frown}{AC}$的度数。
(2) 若$OA=3,OB=4$,求$AC$的长。
答案
9. (1) 连结OC。因为$∠B=37°$,所以$∠A=53°$。因为$OC=OA$,所以$∠ACO=53°$,$∠AOC=74°$,所以$\overset{\frown}{AC}$的度数是$74°$。
(2) 连结OC,过点O作$OD⊥AC$于点D。因为$OA=3,OB=4$,所以$AB=5$。由$\frac{1}{2}AB·OD=\frac{1}{2}OA·OB$,得$OD=\frac{12}{5}$。在Rt△ADO中,$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\frac{9}{5}$。由等腰三角形“三线合一”,得$AC=2AD=\frac{18}{5}$。
(2) 连结OC,过点O作$OD⊥AC$于点D。因为$OA=3,OB=4$,所以$AB=5$。由$\frac{1}{2}AB·OD=\frac{1}{2}OA·OB$,得$OD=\frac{12}{5}$。在Rt△ADO中,$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\frac{9}{5}$。由等腰三角形“三线合一”,得$AC=2AD=\frac{18}{5}$。
解析
【分析】
(1) 要求$\overset{\frown}{AC}$的度数，根据弧的度数等于它所对圆心角的度数，只需计算圆心角$∠ AOC$的度数即可。已知$OA⊥ BO$可得$∠ AOB=90°$，结合$∠ B=37°$先求出$∠ A$的度数，再利用半径相等得到$△ OAC$为等腰三角形，即可求出$∠ AOC$的度数。
(2) 要求弦$AC$的长，可利用垂径定理，过圆心作弦$AC$的垂线，将$AC$转化为$2AD$（$D$为垂足）。先在$Rt△ AOB$中用勾股定理求出$AB$的长，再用面积法求出垂线段$OD$的长度，最后在$Rt△ ADO$中用勾股定理求出$AD$的长，即可得到$AC$的长度。
【解析】
(1) 连结$OC$。
$\because OA⊥ BO$，$\therefore ∠ AOB=90°$。
$\because ∠ B=37°$，$\therefore ∠ A=90° - 37°=53°$。
$\because OA=OC$（都是$\odot O$的半径），$\therefore ∠ ACO=∠ A=53°$。
在$△ AOC$中，$∠ AOC=180° - ∠ A - ∠ ACO=180° - 53° - 53°=74°$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}$的度数是$74°$。
(2) 连结$OC$，过点$O$作$OD⊥ AC$于点$D$。
在$Rt△ AOB$中，$OA=3$，$OB=4$，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$△ AOB$的面积可表示为$\frac{1}{2}OA· OB$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· OD$，
$\therefore \frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× OD$，解得$OD=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ADO$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$。
$\because OD⊥ AC$，$OA=OC$，根据等腰三角形三线合一，得$AC=2AD=2×\frac{9}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{74°}$
(2) $\boxed{\dfrac{18}{5}}$
【知识点】
圆心角与弧的关系，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础计算题型，解题关键是熟练掌握弧与圆心角的对应关系，以及垂径定理的应用，求解弦长时结合面积法和勾股定理可简化计算，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要求$\overset{\frown}{AC}$的度数，根据弧的度数等于它所对圆心角的度数，只需计算圆心角$∠ AOC$的度数即可。已知$OA⊥ BO$可得$∠ AOB=90°$，结合$∠ B=37°$先求出$∠ A$的度数，再利用半径相等得到$△ OAC$为等腰三角形，即可求出$∠ AOC$的度数。
(2) 要求弦$AC$的长，可利用垂径定理，过圆心作弦$AC$的垂线，将$AC$转化为$2AD$（$D$为垂足）。先在$Rt△ AOB$中用勾股定理求出$AB$的长，再用面积法求出垂线段$OD$的长度，最后在$Rt△ ADO$中用勾股定理求出$AD$的长，即可得到$AC$的长度。
【解析】
(1) 连结$OC$。
$\because OA⊥ BO$，$\therefore ∠ AOB=90°$。
$\because ∠ B=37°$，$\therefore ∠ A=90° - 37°=53°$。
$\because OA=OC$（都是$\odot O$的半径），$\therefore ∠ ACO=∠ A=53°$。
在$△ AOC$中，$∠ AOC=180° - ∠ A - ∠ ACO=180° - 53° - 53°=74°$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}$的度数是$74°$。
(2) 连结$OC$，过点$O$作$OD⊥ AC$于点$D$。
在$Rt△ AOB$中，$OA=3$，$OB=4$，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$△ AOB$的面积可表示为$\frac{1}{2}OA· OB$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· OD$，
$\therefore \frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× OD$，解得$OD=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ADO$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$。
$\because OD⊥ AC$，$OA=OC$，根据等腰三角形三线合一，得$AC=2AD=2×\frac{9}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{74°}$
(2) $\boxed{\dfrac{18}{5}}$
【知识点】
圆心角与弧的关系，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础计算题型，解题关键是熟练掌握弧与圆心角的对应关系，以及垂径定理的应用，求解弦长时结合面积法和勾股定理可简化计算，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
