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1. (1) 已知一条弧所对的圆心角的度数是$84°$,则这条弧的度数是
(2) 已知AB为$\odot O$的直径,C为$\odot O$上任意一点(异于A,B两点),则$∠ ACB$的度数是
84°
,它所对的圆周角的度数是42°
。(2) 已知AB为$\odot O$的直径,C为$\odot O$上任意一点(异于A,B两点),则$∠ ACB$的度数是
90°
。答案
1. (1) 84°;42° (2) 90°
解析
【分析】
(1) 解题时首先回忆弧的度数的定义：弧的度数和它所对的圆心角的度数相等，据此可直接得到弧的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半，代入计算即可得到圆周角的度数。
(2) 看到直径AB，首先想到直径对应的圆心角为180°，再结合圆周角定理，或者直接用“直径所对的圆周角是直角”这一推论，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
(1) 因为弧的度数等于它所对的圆心角的度数，已知弧所对的圆心角为84°，所以这条弧的度数是84°；
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此该弧所对的圆周角为$\frac{1}{2}×84°=42°$。
(2) 因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆心角为180°，根据圆周角定理，直径所对的圆周角等于对应圆心角的一半，即$∠ ACB=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
(1) 84°;42° (2) 90°
【知识点】
弧与圆心角的关系、圆周角定理、直径所对圆周角性质
【点评】
本题是圆的基本性质相关的基础题，重点考察弧、圆心角、圆周角三者的数量关系，属于必须熟练掌握的基础考点，牢记相关定理和推论即可快速解题。
【难度系数】
0.9
(1) 解题时首先回忆弧的度数的定义：弧的度数和它所对的圆心角的度数相等，据此可直接得到弧的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半，代入计算即可得到圆周角的度数。
(2) 看到直径AB，首先想到直径对应的圆心角为180°，再结合圆周角定理，或者直接用“直径所对的圆周角是直角”这一推论，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
(1) 因为弧的度数等于它所对的圆心角的度数，已知弧所对的圆心角为84°，所以这条弧的度数是84°；
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此该弧所对的圆周角为$\frac{1}{2}×84°=42°$。
(2) 因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆心角为180°，根据圆周角定理，直径所对的圆周角等于对应圆心角的一半，即$∠ ACB=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
(1) 84°;42° (2) 90°
【知识点】
弧与圆心角的关系、圆周角定理、直径所对圆周角性质
【点评】
本题是圆的基本性质相关的基础题，重点考察弧、圆心角、圆周角三者的数量关系，属于必须熟练掌握的基础考点，牢记相关定理和推论即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$\odot O$中，$∠ ACB = 30°$，则$∠ AOB$的度数是________，$\overset{\frown}{AB}$的度数是________。
答案
2. 60°;60°
解析
【分析】
解题时首先明确∠ACB是⊙O中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，根据圆周角定理可直接求出∠AOB的度数；再根据“弧的度数等于它所对圆心角的度数”，即可得到$\overset{\frown}{AB}$的度数。
【解析】
解：
∵ $∠ ACB$是$\odot O$中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ AOB = 2∠ ACB = 2×30°=60°$。
又
∵ 弧的度数等于它所对圆心角的度数，
∴ $\overset{\frown}{AB}$的度数与$∠ AOB$的度数相等，为$60°$。
【答案】
$60°$；$60°$
【知识点】
圆周角定理，弧的度数定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是找准同弧所对的圆周角和圆心角，熟记相关定理即可快速得出结果，注意不要混淆圆周角和圆心角的倍数关系。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确∠ACB是⊙O中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，根据圆周角定理可直接求出∠AOB的度数；再根据“弧的度数等于它所对圆心角的度数”，即可得到$\overset{\frown}{AB}$的度数。
【解析】
解：
∵ $∠ ACB$是$\odot O$中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ AOB = 2∠ ACB = 2×30°=60°$。
又
∵ 弧的度数等于它所对圆心角的度数，
∴ $\overset{\frown}{AB}$的度数与$∠ AOB$的度数相等，为$60°$。
【答案】
$60°$；$60°$
【知识点】
圆周角定理，弧的度数定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是找准同弧所对的圆周角和圆心角，熟记相关定理即可快速得出结果，注意不要混淆圆周角和圆心角的倍数关系。
【难度系数】
0.9
3. 如图,在$\odot O$中,$∠ AOB=116°$,点C在$\overset{\frown}{AB}$上,则$∠ ACB$的度数是
122°
。答案
3. 122°
解析
【分析】
要求∠ACB的度数，首先明确∠ACB是⊙O的圆周角，它所对的弧是优弧AB。已知的∠AOB是劣弧AB对应的圆心角，我们可以先计算出优弧AB对应的圆心角度数，再根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
∵ 圆周的度数为360°，劣弧AB对应的圆心角∠AOB=116°
∴ 优弧AB对应的圆心角度数为：$360° - 116° = 244°$
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠ACB是优弧AB所对的圆周角
∴ $∠ ACB = \frac{1}{2} × 244° = 122°$
【答案】
$122°$
【知识点】
圆周角定理；圆心角与弧的对应关系
【点评】
本题解题的关键是准确判断圆周角所对应的弧，避免混淆优弧和劣弧导致计算错误，熟练掌握圆周角定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要求∠ACB的度数，首先明确∠ACB是⊙O的圆周角，它所对的弧是优弧AB。已知的∠AOB是劣弧AB对应的圆心角，我们可以先计算出优弧AB对应的圆心角度数，再根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
∵ 圆周的度数为360°，劣弧AB对应的圆心角∠AOB=116°
∴ 优弧AB对应的圆心角度数为：$360° - 116° = 244°$
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠ACB是优弧AB所对的圆周角
∴ $∠ ACB = \frac{1}{2} × 244° = 122°$
【答案】
$122°$
【知识点】
圆周角定理；圆心角与弧的对应关系
【点评】
本题解题的关键是准确判断圆周角所对应的弧，避免混淆优弧和劣弧导致计算错误，熟练掌握圆周角定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ ACD=15°$。求$∠ BAD$的度数。
答案
4. 连结BD。$∠DBA=∠ACD=15°,∠BDA=90°$,所以$∠BAD=75°$。
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：AB是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角为直角”，因此可连接BD构造直角三角形ABD；其次已知∠ACD的度数，注意到∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”可得到∠ABD的度数；最后在直角三角形中利用两锐角互余即可计算出∠BAD的度数。
【解析】
解：连接BD。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵$∠ ACD$和$∠ ABD$都是弧$AD$所对的圆周角，
∴$∠ ABD=∠ ACD=15°$（同弧所对的圆周角相等）。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD+∠ ABD=90°$，
∴$∠ BAD=90°-∠ ABD=90°-15°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
1. 同弧所对圆周角相等
2. 直径所对圆周角为直角
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，解题的核心是通过连接辅助线构造直角三角形，结合圆周角的性质完成角度转化，掌握相关基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件：AB是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角为直角”，因此可连接BD构造直角三角形ABD；其次已知∠ACD的度数，注意到∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”可得到∠ABD的度数；最后在直角三角形中利用两锐角互余即可计算出∠BAD的度数。
【解析】
解：连接BD。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵$∠ ACD$和$∠ ABD$都是弧$AD$所对的圆周角，
∴$∠ ABD=∠ ACD=15°$（同弧所对的圆周角相等）。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD+∠ ABD=90°$，
∴$∠ BAD=90°-∠ ABD=90°-15°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
1. 同弧所对圆周角相等
2. 直径所对圆周角为直角
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，解题的核心是通过连接辅助线构造直角三角形，结合圆周角的性质完成角度转化，掌握相关基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ ACB＝90°$，$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D。若$AC＝2$，$BD＝\sqrt{10}$，求$BC$的长。
答案
5. 连结OD。在$Rt△ODB$中,$OD=OB=\sqrt{5}$;在$Rt△ACB$中,$AB=2OB=2\sqrt{5}$,$AC=2$,得$BC=4$。
解析
【分析】
首先根据∠ACB=90°，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”可确定AB是⊙O的直径；再由CD平分∠ACB可得∠BCD=45°，结合圆周角定理可推出圆心角∠BOD=90°，即△ODB为等腰直角三角形，结合已知BD的长度即可求出⊙O的半径，进而得到直径AB的长度；最后在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
解：连接OD。
1. 判定AB为直径：
∵ ∠ACB=90°，且∠ACB是⊙O的圆周角，
∴ AB是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦为直径），
∴ OB、OD均为⊙O的半径，即OB=OD。
2. 求⊙O的半径：
∵ CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴ ∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
根据圆周角定理，弧BD所对的圆心角∠BOD=2∠BCD=90°，
∴ △ODB为等腰直角三角形，
由勾股定理得：$OB^2 + OD^2 = BD^2$，
代入$BD=\sqrt{10}$，$OB=OD$，得$2OB^2=10$，
解得$OB=\sqrt{5}$（长度取正值）。
3. 求BC的长：
直径$AB=2OB=2\sqrt{5}$，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，$AC=2$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2}=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理及推论，勾股定理，角平分线的定义
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，解题的突破口是先判断出AB为直径，再结合角平分线和圆周角定理得到等腰直角三角形求出直径长度，需要熟练掌握圆周角相关推论和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
首先根据∠ACB=90°，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”可确定AB是⊙O的直径；再由CD平分∠ACB可得∠BCD=45°，结合圆周角定理可推出圆心角∠BOD=90°，即△ODB为等腰直角三角形，结合已知BD的长度即可求出⊙O的半径，进而得到直径AB的长度；最后在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
解：连接OD。
1. 判定AB为直径：
∵ ∠ACB=90°，且∠ACB是⊙O的圆周角，
∴ AB是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦为直径），
∴ OB、OD均为⊙O的半径，即OB=OD。
2. 求⊙O的半径：
∵ CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴ ∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
根据圆周角定理，弧BD所对的圆心角∠BOD=2∠BCD=90°，
∴ △ODB为等腰直角三角形，
由勾股定理得：$OB^2 + OD^2 = BD^2$，
代入$BD=\sqrt{10}$，$OB=OD$，得$2OB^2=10$，
解得$OB=\sqrt{5}$（长度取正值）。
3. 求BC的长：
直径$AB=2OB=2\sqrt{5}$，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，$AC=2$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2}=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理及推论，勾股定理，角平分线的定义
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，解题的突破口是先判断出AB为直径，再结合角平分线和圆周角定理得到等腰直角三角形求出直径长度，需要熟练掌握圆周角相关推论和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
