6. 如图，在$\odot O$中，半径$OA ⊥$半径$OB$，点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上。若$∠ CAB=25°$，则$∠ ABC$的度数为（）。

A.$25°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$15°$

6. B

【分析】
解题思路：首先根据OA与OB垂直的条件得到圆心角∠AOB的度数，对应得到劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数；再利用圆周角定理，由已知的∠CAB求出它所对的$\overset{\frown}{BC}$的度数；接着算出$\overset{\frown}{AC}$的度数，最后再次利用圆周角定理求出$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角∠ABC的度数即可。也可先求出∠ACB的度数，结合三角形内角和计算∠ABC。
【解析】
解：$\because OA⊥ OB$，$\therefore ∠ AOB=90°$，即劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数为$90°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应弧度数的一半，
$∠ CAB$是对应$\overset{\frown}{BC}$的圆周角，$\therefore \overset{\frown}{BC}$的度数$=2×∠ CAB=2×25°=50°$，
则$\overset{\frown}{AC}$的度数$=\overset{\frown}{AB}$的度数$-\overset{\frown}{BC}$的度数$=90°-50°=40°$。
又$\because ∠ ABC$是对应$\overset{\frown}{AC}$的圆周角，
$\therefore ∠ ABC=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AC}$的度数$=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，垂直的性质，弧与角的对应关系
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，核心考查圆周角和弧、圆心角的对应换算关系，解题时需找准圆周角对应的弧，避免混淆弧的对应关系出错，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.75

7. 已知:如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$。以腰$AB$为直径作半圆$O$,分别交$BC$,$AC$于点$D$,$E$。
(1) 求证:$BD=DC$。
(2) 若$∠ BAC=40°$,求$\overset{\frown}{BD}$,$\overset{\frown}{DE}$,$\overset{\frown}{AE}$的度数。

7. (1) 连结AD。因为AB为$\odot O$的直径,所以$∠ADB=90°$,即$AD⊥BC$。因为$AB=AC$,所以$BD=DC$。
(2) $\overset{\frown}{BD}=40°,\overset{\frown}{DE}=40°,\overset{\frown}{AE}=100°$。

【分析】
(1) 要证明$BD=DC$，已知$△ ABC$是$AB=AC$的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明$BC$边上的高$AD$存在即可。已知$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，连接$AD$即可得到$AD⊥ BC$，进而推导结论。
(2) 弧的度数等于它所对圆心角的度数，也等于其所对圆周角度数的2倍。首先利用等腰三角形三线合一求出$∠ BAD$、$∠ CAD$的度数，再分别对应各弧所对的圆周角，即可求出各弧的度数，也可结合半圆总度数为$180°$计算剩余弧的度数。
【解析】
(1) 证明：连接$AD$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
又$\because AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形，$AD$是底边$BC$上的高，
$\therefore$根据等腰三角形三线合一的性质，$BD=DC$。
(2) 解：$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，$∠ BAC=40°$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=20°$。
$\because$弧的度数等于其所对圆周角度数的2倍，
$\therefore \overset{\frown}{BD}$的度数$=2∠ BAD=2×20°=40°$，
$\overset{\frown}{DE}$的度数$=2∠ CAD=2×20°=40°$。
$\because$半圆对应的总度数为$180°$，
$\therefore \overset{\frown}{AE}$的度数$=180°-\overset{\frown}{BD}$的度数$-\overset{\frown}{DE}$的度数$=180°-40°-40°=100°$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\overset{\frown}{BD}=40°,\overset{\frown}{DE}=40°,\overset{\frown}{AE}=100°$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，弧的度数计算
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础题型，解题的核心是通过连接直径所对的圆周角$AD$构造直角，再结合等腰三角形三线合一的性质求解，是圆相关性质应用的典型习题。
【难度系数】
0.75

8. 如图,在$\odot O$中,点C在直径AB的延长线上,点D在$\odot O$上。连结CD并延长,交$\odot O$于点E,连结BE。若$CD=OA$,$∠ BEC=17.5°$,求$\overset{\frown}{DE}$的度数。

8. 连结OD。因为$∠BEC=17.5°$,所以$∠BOD=35°$。因为$CD=OA=OB$,所以$∠C=∠BOD=35°$。由三角形外角的性质,得$∠ABE=52.5°$,所以$\overset{\frown}{AE}=105°$,$\overset{\frown}{BE}=75°$。因为$\overset{\frown}{BD}=35°$,所以$\overset{\frown}{DE}=40°$。

【分析】
要求$\overset{\frown}{DE}$的度数，弧的度数等于它所对圆心角的度数，也可通过已知相关弧的度数作差求解。首先已知圆周角$∠ BEC$的度数，可根据圆周角定理先求出它所对弧$\overset{\frown}{BD}$的度数；再结合$CD=OA$（$OA$是半径）得到等腰三角形，推出$∠ C$的度数，利用三角形外角性质求出圆周角$∠ ABE$的度数，进而得到$\overset{\frown}{AE}$、$\overset{\frown}{BE}$的度数，最后用$\overset{\frown}{BE}$的度数减去$\overset{\frown}{BD}$的度数即可得到$\overset{\frown}{DE}$的度数，解题的第一步是连接辅助线$OD$构造圆心角。
【解析】
解：连结$OD$。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵$∠ BEC=17.5°$，$∠ BEC$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，$∠ BOD$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，
∴$∠ BOD=2∠ BEC=2×17.5°=35°$，即$\overset{\frown}{BD}$的度数为$35°$。
2.
∵$CD=OA$，$OA、OD$都是$\odot O$的半径，即$OA=OD$，
∴$CD=OD$，$△ ODC$为等腰三角形，
∴$∠ C=∠ COD=∠ BOD=35°$。
3. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
在$△ BEC$中，$∠ ABE$是外角，
∴$∠ ABE=∠ C+∠ BEC=35°+17.5°=52.5°$。
4. $∠ ABE$是$\overset{\frown}{AE}$所对的圆周角，根据圆周角定理，$\overset{\frown}{AE}$的度数为$2×52.5°=105°$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，半圆$\overset{\frown}{AEB}$的度数为$180°$，
∴$\overset{\frown}{BE}$的度数为$180°-105°=75°$。
5.
∴$\overset{\frown}{DE}$的度数=$\overset{\frown}{BE}$的度数-$\overset{\frown}{BD}$的度数=$75°-35°=40°$。
【答案】
$\overset{\frown}{DE}$的度数为$\boldsymbol{40°}$。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题属于圆的角度计算基础题，解题的关键是正确连接辅助线构造圆心角，结合圆周角定理、等腰三角形和三角形外角的性质逐步推导各弧的度数，计算时注意弧的度数和对应圆心角、圆周角的换算关系。
【难度系数】
0.6