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9.【问题提出】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》写道：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”这句诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图8，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点A出发，走到河边饮马后再到点B宿营.请问怎样走才能使总的路程最短？可以用轴对称的方法巧妙地解决这个问题.
【解决问题】如图9，作点B关于直线$l$的对称点D，连接AD与直线$l$交于点C，点C就是所求的位置.
证明过程如下：如图10，在直线$l$上另取任一点E，连接AE，BE，DE.
因为直线$l$是点B，D的对称轴，点C，E在直线$l$上，
所以$CB=$
所以$AC+CB=AC+CD=$
因为在$△ ADE$中，$AD ＜ AE + DE$（三角形的两边之和大于第三边），
所以$AC + CB ＜ AE + DE$，即$AC + CB$最小.
本问题实际上是利用了轴对称的原理，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间，线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AD与直线$l$的交点上，即A，C，B三点共线）.本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型.
【拓展延伸】如图11，点M是锐角$∠ AOB$内部的一点，请你在边OA和边OB上分别找到点P，Q，使得$△ MPQ$的周长最小.
【解决问题】如图9，作点B关于直线$l$的对称点D，连接AD与直线$l$交于点C，点C就是所求的位置.
证明过程如下：如图10，在直线$l$上另取任一点E，连接AE，BE，DE.
因为直线$l$是点B，D的对称轴，点C，E在直线$l$上，
所以$CB=$
CD
，$BE=$DE
.所以$AC+CB=AC+CD=$
AD
.因为在$△ ADE$中，$AD ＜ AE + DE$（三角形的两边之和大于第三边），
所以$AC + CB ＜ AE + DE$，即$AC + CB$最小.
本问题实际上是利用了轴对称的原理，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间，线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AD与直线$l$的交点上，即A，C，B三点共线）.本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型.
【拓展延伸】如图11，点M是锐角$∠ AOB$内部的一点，请你在边OA和边OB上分别找到点P，Q，使得$△ MPQ$的周长最小.
答案
9. 【解决问题】CD DE AD
【拓展延伸】作出点M关于OA的对称点M'，点M关于OB的对称点M''，连接M'M''，交OA于点P，交OB于点Q，此时△MPQ的周长最小
解析
【分析】
本题分为两部分考查最短路径相关知识：①解决问题部分：利用轴对称的性质，对称点到对称轴上任意一点的距离相等，将同侧两点到直线上动点的距离和转化为异侧两点的连线长度，结合两点之间线段最短、三角形三边关系证明最短路径的合理性，填空时直接依据轴对称性质和线段和的转化填写即可。②拓展延伸部分：要使△MPQ的周长最小，即要让MP+PQ+QM的和最小，可通过两次轴对称，分别将MP、QM转化为对称点到P、Q的线段，将三条线段的和转化为两个对称点之间的连线，当P、Q落在两个对称点的连线上时，线段和最小，即为三角形的最小周长。
【解析】
解决问题部分
根据轴对称的性质：对称轴上的任意一点，到两个对称点的距离相等。
因为直线$l$是点B、D的对称轴，点C、E在$l$上，因此$CB=CD$，$BE=DE$；
对$AC+CB$做等量替换可得：$AC+CB=AC+CD=AD$。
拓展延伸部分
$△ MPQ$的周长为$MP+PQ+QM$，要使周长最小，需使三条线段的和最小：
1. 分别作点M关于OA的对称点$M'$，点M关于OB的对称点$M''$，根据轴对称性质可得$MP=M'P$，$QM=QM''$；
2. 此时周长转化为$M'P+PQ+QM''$，根据“两点之间，线段最短”，当点P、Q恰好为$M'M''$与OA、OB的交点时，$M'P+PQ+QM''=M'M''$，和最小，即此时$△ MPQ$的周长最小。
【答案】
【解决问题】CD DE AD
【拓展延伸】作出点M关于OA的对称点M'，点M关于OB的对称点M''，连接M'M''，交OA于点P，交OB于点Q，此时△MPQ的周长最小
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，三角形三边关系
【点评】
本题以经典的“将军饮马”数学文化为背景，考查了轴对称变换在最短路径问题中的应用，核心是通过轴对称将折线和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，既需要学生掌握基础的轴对称性质，也需要具备一定的几何转化思维和模型应用能力。
【难度系数】
0.7
本题分为两部分考查最短路径相关知识：①解决问题部分：利用轴对称的性质，对称点到对称轴上任意一点的距离相等，将同侧两点到直线上动点的距离和转化为异侧两点的连线长度，结合两点之间线段最短、三角形三边关系证明最短路径的合理性，填空时直接依据轴对称性质和线段和的转化填写即可。②拓展延伸部分：要使△MPQ的周长最小，即要让MP+PQ+QM的和最小，可通过两次轴对称，分别将MP、QM转化为对称点到P、Q的线段，将三条线段的和转化为两个对称点之间的连线，当P、Q落在两个对称点的连线上时，线段和最小，即为三角形的最小周长。
【解析】
解决问题部分
根据轴对称的性质：对称轴上的任意一点，到两个对称点的距离相等。
因为直线$l$是点B、D的对称轴，点C、E在$l$上，因此$CB=CD$，$BE=DE$；
对$AC+CB$做等量替换可得：$AC+CB=AC+CD=AD$。
拓展延伸部分
$△ MPQ$的周长为$MP+PQ+QM$，要使周长最小，需使三条线段的和最小：
1. 分别作点M关于OA的对称点$M'$，点M关于OB的对称点$M''$，根据轴对称性质可得$MP=M'P$，$QM=QM''$；
2. 此时周长转化为$M'P+PQ+QM''$，根据“两点之间，线段最短”，当点P、Q恰好为$M'M''$与OA、OB的交点时，$M'P+PQ+QM''=M'M''$，和最小，即此时$△ MPQ$的周长最小。
【答案】
【解决问题】CD DE AD
【拓展延伸】作出点M关于OA的对称点M'，点M关于OB的对称点M''，连接M'M''，交OA于点P，交OB于点Q，此时△MPQ的周长最小
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，三角形三边关系
【点评】
本题以经典的“将军饮马”数学文化为背景，考查了轴对称变换在最短路径问题中的应用，核心是通过轴对称将折线和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，既需要学生掌握基础的轴对称性质，也需要具备一定的几何转化思维和模型应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图12，已知$∠ AOB=50°$，点P为$∠ AOB$内部一点，点M、点N分别为射线OA、射线OB上的动点，当$△ PMN$的周长最小时，则$∠ MPN$=
80°
。答案
10. 80°
解析
【分析】
要得到△PMN周长最小时∠MPN的度数，需分两步思考：
1. 确定M、N的位置：根据最短路径的构造方法，分别作点P关于OA、OB的对称点，连接两个对称点，与OA、OB的交点即为周长最小时的M、N，此时△PMN的周长等于两个对称点之间的线段长度，满足最短要求。
2. 角度推导：利用轴对称的性质得到角的等量关系，再结合三角形内角和定理，找到∠MPN与已知∠AOB的联系，进而计算出结果。
【解析】
1. 分别作点P关于射线OA的对称点$P_1$，关于射线OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M，交OB于点N，此时$△ PMN$的周长最小。
2. 由轴对称的性质可知：$∠ PMA = ∠ P_1MA$，$∠ PNB = ∠ P_2NB$。
因为$P_1、M、N、P_2$四点共线，所以$∠ P_1MA = ∠ OMN$，$∠ P_2NB = ∠ ONM$，因此$∠ PMA = ∠ OMN$，$∠ PNB = ∠ ONM$。
3. 在$△ OMN$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OMN + ∠ ONM = 180° - ∠ AOB = 180° - 50° = 130°$，
因此$∠ PMA + ∠ PNB = 130°$。
4. 由平角定义可得：$∠ PMN = 180° - 2∠ OMN$，$∠ PNM = 180° - 2∠ ONM$，
因此$∠ PMN + ∠ PNM = 360° - 2(∠ OMN + ∠ ONM) = 360° - 2×130° = 100°$。
5. 在$△ PMN$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ MPN = 180° - (∠ PMN + ∠ PNM) = 180° - 100° = 80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题将最短路径构造与角度计算结合，核心是掌握利用轴对称转化线段长度的最短路径构造方法，再结合角的等量关系和三角形内角和定理推导求解，是几何中常见的综合考点。
【难度系数】
0.6
要得到△PMN周长最小时∠MPN的度数，需分两步思考：
1. 确定M、N的位置：根据最短路径的构造方法，分别作点P关于OA、OB的对称点，连接两个对称点，与OA、OB的交点即为周长最小时的M、N，此时△PMN的周长等于两个对称点之间的线段长度，满足最短要求。
2. 角度推导：利用轴对称的性质得到角的等量关系，再结合三角形内角和定理，找到∠MPN与已知∠AOB的联系，进而计算出结果。
【解析】
1. 分别作点P关于射线OA的对称点$P_1$，关于射线OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M，交OB于点N，此时$△ PMN$的周长最小。
2. 由轴对称的性质可知：$∠ PMA = ∠ P_1MA$，$∠ PNB = ∠ P_2NB$。
因为$P_1、M、N、P_2$四点共线，所以$∠ P_1MA = ∠ OMN$，$∠ P_2NB = ∠ ONM$，因此$∠ PMA = ∠ OMN$，$∠ PNB = ∠ ONM$。
3. 在$△ OMN$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OMN + ∠ ONM = 180° - ∠ AOB = 180° - 50° = 130°$，
因此$∠ PMA + ∠ PNB = 130°$。
4. 由平角定义可得：$∠ PMN = 180° - 2∠ OMN$，$∠ PNM = 180° - 2∠ ONM$，
因此$∠ PMN + ∠ PNM = 360° - 2(∠ OMN + ∠ ONM) = 360° - 2×130° = 100°$。
5. 在$△ PMN$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ MPN = 180° - (∠ PMN + ∠ PNM) = 180° - 100° = 80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题将最短路径构造与角度计算结合，核心是掌握利用轴对称转化线段长度的最短路径构造方法，再结合角的等量关系和三角形内角和定理推导求解，是几何中常见的综合考点。
【难度系数】
0.6
