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2. 如图3，牧民家在B处，A，B两处相距河岸的距离为AC，BD。天色已晚，牧民从A处将牛牵到河边某处E去饮水，再赶回家B，则确定“$AE + BE$的最小值”所用到的数学知识是（
A.两点之间，线段最短
B.轴对称的性质
C.两点之间，线段最短和轴对称的性质
D.以上答案都不正确
C
）。A.两点之间，线段最短
B.轴对称的性质
C.两点之间，线段最短和轴对称的性质
D.以上答案都不正确
答案
2. C
解析
【分析】
要解决河岸同侧两点到河岸上一点的距离和最小的问题，思路如下：①首先A、B在河岸CD同侧，无法直接用两点之间线段最短判断和的最小值，因此需要先通过轴对称变换，将其中一个点转化到河岸另一侧，这一步用到轴对称的性质，保证变换前后点到河岸上任意点的距离相等；②将同侧两点的距离和转化为异侧两点的距离和后，再依据两点之间线段最短，找到线段与河岸的交点，即为使距离和最小的E点，因此两个知识点都需要用到。
【解析】
求解该最短路径的过程为：
1. 作点B关于河岸CD的对称点$B'$，根据轴对称的性质，对CD上任意一点E，都有$BE=B'E$，因此$AE+BE=AE+B'E$；
2. 要使$AE+B'E$的值最小，根据“两点之间，线段最短”，当A、E、$B'$三点共线时，$AE+B'E$的长度等于线段$AB'$的长度，为最小值。
综上，确定$AE+BE$的最小值用到了轴对称的性质和两点之间线段最短两个知识，故选C。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；线段的基本性质
【点评】
本题考查最短路径（将军饮马）问题的原理，需要明确求解过程中每一步的数学依据，避免遗漏知识点，掌握该模型的变换逻辑是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
要解决河岸同侧两点到河岸上一点的距离和最小的问题，思路如下：①首先A、B在河岸CD同侧，无法直接用两点之间线段最短判断和的最小值，因此需要先通过轴对称变换，将其中一个点转化到河岸另一侧，这一步用到轴对称的性质，保证变换前后点到河岸上任意点的距离相等；②将同侧两点的距离和转化为异侧两点的距离和后，再依据两点之间线段最短，找到线段与河岸的交点，即为使距离和最小的E点，因此两个知识点都需要用到。
【解析】
求解该最短路径的过程为：
1. 作点B关于河岸CD的对称点$B'$，根据轴对称的性质，对CD上任意一点E，都有$BE=B'E$，因此$AE+BE=AE+B'E$；
2. 要使$AE+B'E$的值最小，根据“两点之间，线段最短”，当A、E、$B'$三点共线时，$AE+B'E$的长度等于线段$AB'$的长度，为最小值。
综上，确定$AE+BE$的最小值用到了轴对称的性质和两点之间线段最短两个知识，故选C。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；线段的基本性质
【点评】
本题考查最短路径（将军饮马）问题的原理，需要明确求解过程中每一步的数学依据，避免遗漏知识点，掌握该模型的变换逻辑是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
3. 如图4，等腰三角形ABC的面积为24，底边BC＝6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于E，F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM，DM.在点M的运动过程中，△CDM的周长存在最小值为
11
.答案
3. 11
解析
【分析】
本题属于最短路径类问题，解题思路如下：①首先明确△CDM的周长由CD、DM、CM三部分组成，其中D是BC中点，CD长度固定，因此只需找到DM+CM的最小值即可得到周长最小值；②利用EF是AC垂直平分线的性质，可得垂直平分线上的点M到A、C的距离相等，即CM=AM，将DM+CM转化为DM+AM；③根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM的最小值为线段AD的长度；④结合等腰三角形三线合一的性质，AD是△ABC底边BC上的高，利用三角形面积公式求出AD长度，即可计算出最小周长。
【解析】
1. 求固定线段CD的长度：
∵D是BC的中点，BC=6，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=3$，CD为定值，不会随M的运动变化。
2. 利用垂直平分线性质转化线段：
∵EF是AC的垂直平分线，点M在EF上，
∴根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$CM=AM$。
∴△CDM的周长$=CD+DM+CM=3+DM+AM$，要使周长最小，只需满足$DM+AM$最小。
3. 求$DM+AM$的最小值：
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$DM+AM$取得最小值，最小值为线段AD的长度。
4. 求AD的长度：
∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，
∴根据等腰三角形三线合一，AD是BC边上的高。
已知△ABC的面积为24，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=24$，代入BC=6，
得$\frac{1}{2}×6×AD=24$，解得$AD=8$。
5. 计算最小周长：
△CDM的最小周长为$3+8=11$。
【答案】
11
【知识点】
垂直平分线的性质，最短路径问题，等腰三角形的性质
【点评】
本题是轴对称最值问题的典型题型，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等价转化，将动态线段和的最小值转化为固定两点之间的线段长度，同时结合等腰三角形的性质和三角形面积公式求解相关线段长度，对学生的转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径类问题，解题思路如下：①首先明确△CDM的周长由CD、DM、CM三部分组成，其中D是BC中点，CD长度固定，因此只需找到DM+CM的最小值即可得到周长最小值；②利用EF是AC垂直平分线的性质，可得垂直平分线上的点M到A、C的距离相等，即CM=AM，将DM+CM转化为DM+AM；③根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM的最小值为线段AD的长度；④结合等腰三角形三线合一的性质，AD是△ABC底边BC上的高，利用三角形面积公式求出AD长度，即可计算出最小周长。
【解析】
1. 求固定线段CD的长度：
∵D是BC的中点，BC=6，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=3$，CD为定值，不会随M的运动变化。
2. 利用垂直平分线性质转化线段：
∵EF是AC的垂直平分线，点M在EF上，
∴根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$CM=AM$。
∴△CDM的周长$=CD+DM+CM=3+DM+AM$，要使周长最小，只需满足$DM+AM$最小。
3. 求$DM+AM$的最小值：
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$DM+AM$取得最小值，最小值为线段AD的长度。
4. 求AD的长度：
∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，
∴根据等腰三角形三线合一，AD是BC边上的高。
已知△ABC的面积为24，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=24$，代入BC=6，
得$\frac{1}{2}×6×AD=24$，解得$AD=8$。
5. 计算最小周长：
△CDM的最小周长为$3+8=11$。
【答案】
11
【知识点】
垂直平分线的性质，最短路径问题，等腰三角形的性质
【点评】
本题是轴对称最值问题的典型题型，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等价转化，将动态线段和的最小值转化为固定两点之间的线段长度，同时结合等腰三角形的性质和三角形面积公式求解相关线段长度，对学生的转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.6
4. 如图5，在五边形中，$∠ BAE = 140°$，$∠ B = ∠ E = 90°$，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当$△ AMN$的周长最小时，求$∠ AMN + ∠ ANM$的值是
80°
。答案
4. 80°
解析
【分析】
要使△AMN的周长最小，需利用“两点之间线段最短”的原理，通过作对称点将折线段转化为直线段：分别作点A关于BC的对称点A₁、关于DE的对称点A₂，连接A₁A₂，与BC、DE的交点即为所求的M、N，此时△AMN周长取最小值。接下来利用轴对称的性质得到对应角相等，再结合三角形外角、内角和的关系即可推导∠AMN+∠ANM的度数。
【解析】
1. 作点A关于BC的对称点A'，关于DE的对称点A''，连接A'A''，交BC于点M，交DE于点N。
根据轴对称的性质，得$AM=A'M$，$AN=A''N$，此时△AMN的周长$=AM+MN+AN=A'M+MN+A''N=A'A''$，由两点之间线段最短，可知此时周长最小。
2. 由轴对称的性质可得：$∠ A'=∠ MAA'$，$∠ A''=∠ NAA''$。
根据三角形外角的性质，$∠ AMN$是△A'AM的外角，故$∠ AMN=∠ A'+∠ MAA'=2∠ A'$；同理，$∠ ANM=∠ A''+∠ NAA''=2∠ A''$。
3. 在△AA'A''中，$∠ A'+∠ A''=180°-∠ BAE=180°-140°=40°$。
因此$∠ AMN+∠ ANM=2(∠ A'+∠ A'')=2×40°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；三角形外角性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题核心是通过作对称点将周长最小问题转化为线段最短问题，再结合对称性质和角度关系推导结果，注重对转化思想的考查。
【难度系数】
0.6
要使△AMN的周长最小，需利用“两点之间线段最短”的原理，通过作对称点将折线段转化为直线段：分别作点A关于BC的对称点A₁、关于DE的对称点A₂，连接A₁A₂，与BC、DE的交点即为所求的M、N，此时△AMN周长取最小值。接下来利用轴对称的性质得到对应角相等，再结合三角形外角、内角和的关系即可推导∠AMN+∠ANM的度数。
【解析】
1. 作点A关于BC的对称点A'，关于DE的对称点A''，连接A'A''，交BC于点M，交DE于点N。
根据轴对称的性质，得$AM=A'M$，$AN=A''N$，此时△AMN的周长$=AM+MN+AN=A'M+MN+A''N=A'A''$，由两点之间线段最短，可知此时周长最小。
2. 由轴对称的性质可得：$∠ A'=∠ MAA'$，$∠ A''=∠ NAA''$。
根据三角形外角的性质，$∠ AMN$是△A'AM的外角，故$∠ AMN=∠ A'+∠ MAA'=2∠ A'$；同理，$∠ ANM=∠ A''+∠ NAA''=2∠ A''$。
3. 在△AA'A''中，$∠ A'+∠ A''=180°-∠ BAE=180°-140°=40°$。
因此$∠ AMN+∠ ANM=2(∠ A'+∠ A'')=2×40°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；三角形外角性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题核心是通过作对称点将周长最小问题转化为线段最短问题，再结合对称性质和角度关系推导结果，注重对转化思想的考查。
【难度系数】
0.6
5. 在平面直角坐标系内，已知A，B两点的坐标分别为A(-1, 1)，B(3, 3)，若M为x轴上一点，且MA＋MB最小，则点M的坐标是
(0, 0)
。答案
5. (0, 0)
解析
【分析】
本题属于x轴上找点到同侧两点距离和最小的最短路径问题，解题思路如下：1. 依据最短路径原理，同侧两点找直线上点使距离和最小，需先作其中一点关于x轴的对称点，将同侧转化为异侧；2. 根据两点之间线段最短，连接对称点与另一点，连线与x轴的交点即为所求的M点；3. 利用待定系数法求出连线对应的一次函数解析式，再求该直线与x轴的交点坐标即可。
【解析】
1. 作点A关于x轴的对称点$A'$，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，已知$A(-1,1)$，可得$A'$的坐标为$(-1,-1)$。
2. 根据轴对称的性质，$MA=MA'$，因此$MA+MB=MA'+MB$，由两点之间线段最短可知，当$A'$、$M$、$B$三点共线时，$MA'+MB$的值最小，即$MA+MB$最小。
3. 设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A'(-1,-1)$、$B(3,3)$代入解析式得：
$\begin{cases} -k + b = -1 \\ 3k + b = 3 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$4k=4$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-k + b = -1$，得$b=0$，因此直线$A'B$的解析式为$y=x$。
4. 点M在x轴上，其纵坐标为0，将$y=0$代入$y=x$，得$x=0$，因此点M的坐标为$(0,0)$。
【答案】
$(0, 0)$
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，一次函数的应用
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题核心是通过轴对称转化线段，结合两点之间线段最短确定目标点的位置，再利用一次函数的相关计算求出交点坐标，熟练掌握对称点坐标规律和待定系数法求解析式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题属于x轴上找点到同侧两点距离和最小的最短路径问题，解题思路如下：1. 依据最短路径原理，同侧两点找直线上点使距离和最小，需先作其中一点关于x轴的对称点，将同侧转化为异侧；2. 根据两点之间线段最短，连接对称点与另一点，连线与x轴的交点即为所求的M点；3. 利用待定系数法求出连线对应的一次函数解析式，再求该直线与x轴的交点坐标即可。
【解析】
1. 作点A关于x轴的对称点$A'$，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，已知$A(-1,1)$，可得$A'$的坐标为$(-1,-1)$。
2. 根据轴对称的性质，$MA=MA'$，因此$MA+MB=MA'+MB$，由两点之间线段最短可知，当$A'$、$M$、$B$三点共线时，$MA'+MB$的值最小，即$MA+MB$最小。
3. 设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A'(-1,-1)$、$B(3,3)$代入解析式得：
$\begin{cases} -k + b = -1 \\ 3k + b = 3 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$4k=4$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-k + b = -1$，得$b=0$，因此直线$A'B$的解析式为$y=x$。
4. 点M在x轴上，其纵坐标为0，将$y=0$代入$y=x$，得$x=0$，因此点M的坐标为$(0,0)$。
【答案】
$(0, 0)$
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，一次函数的应用
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题核心是通过轴对称转化线段，结合两点之间线段最短确定目标点的位置，再利用一次函数的相关计算求出交点坐标，熟练掌握对称点坐标规律和待定系数法求解析式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 如图6，等边$△ ABC$的边长为8，过点B的直线$l ⊥ AB$，且$△ ABC$与$△ A'BC'$关于直线$l$对称，点D为线段$BC'$上一动点，则$AD+CD$的最小值是
16
。答案
6. 16
解析
【分析】
本题属于最短路径类问题，解题核心是利用轴对称性质将线段进行转化，结合两点之间线段最短求解。首先根据轴对称的性质明确△ABC和△A'BC'的对应边、对应角关系，得到A、B、A'共线且AA'的长度为16；再通过角度和边长关系证明点C和点A'关于直线BC'对称，即可将CD转化为A'D，此时AD+CD转化为AD+A'D，其最小值就是两点A、A'之间的线段长度。
【解析】
解：
∵ △ABC与△A'BC'关于直线l对称，且l⊥AB，
∴ AB=A'B=8，∠ABC=∠A'BC'=60°，AB和A'B在同一直线上，
∴ AA'=AB+A'B=8+8=16。
∵ △ABC是等边三角形，边长为8，
∴ BC=AB=8，即BC=BA'=8，
又
∵ ∠CBC'=180°-∠ABC-∠A'BC'=180°-60°-60°=60°，
∴ ∠CBC'=∠A'BC'=60°，
∴ 直线BC'垂直平分线段CA'，即点C与点A'关于直线BC'对称，
∴ CD=A'D，
∴ AD+CD=AD+A'D。
根据两点之间线段最短，当D落在AA'上（即D与点B重合）时，AD+A'D取得最小值，最小值为AA'的长度16。
【答案】
16
【知识点】
1.轴对称的性质
2.两点之间线段最短
3.等边三角形的性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题的关键是通过轴对称的性质找到对应对称点，将两条动线段的和转化为两点之间的线段长度，需要熟练掌握对称点的判定方法和线段转化的思路。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径类问题，解题核心是利用轴对称性质将线段进行转化，结合两点之间线段最短求解。首先根据轴对称的性质明确△ABC和△A'BC'的对应边、对应角关系，得到A、B、A'共线且AA'的长度为16；再通过角度和边长关系证明点C和点A'关于直线BC'对称，即可将CD转化为A'D，此时AD+CD转化为AD+A'D，其最小值就是两点A、A'之间的线段长度。
【解析】
解：
∵ △ABC与△A'BC'关于直线l对称，且l⊥AB，
∴ AB=A'B=8，∠ABC=∠A'BC'=60°，AB和A'B在同一直线上，
∴ AA'=AB+A'B=8+8=16。
∵ △ABC是等边三角形，边长为8，
∴ BC=AB=8，即BC=BA'=8，
又
∵ ∠CBC'=180°-∠ABC-∠A'BC'=180°-60°-60°=60°，
∴ ∠CBC'=∠A'BC'=60°，
∴ 直线BC'垂直平分线段CA'，即点C与点A'关于直线BC'对称，
∴ CD=A'D，
∴ AD+CD=AD+A'D。
根据两点之间线段最短，当D落在AA'上（即D与点B重合）时，AD+A'D取得最小值，最小值为AA'的长度16。
【答案】
16
【知识点】
1.轴对称的性质
2.两点之间线段最短
3.等边三角形的性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题的关键是通过轴对称的性质找到对应对称点，将两条动线段的和转化为两点之间的线段长度，需要熟练掌握对称点的判定方法和线段转化的思路。
【难度系数】
0.6
7. 如图7，在$△ ABC$中，$AB=AC$，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M.
（1）若$∠ B=70°$，则$∠ NMA$的度数是
（2）连接MB，若$BC=6$，$△ MBC$的周长是14.
①$△ ABC$的周长为
②若P是直线MN上一个动点，则$PB+PC$的最小值是
（1）若$∠ B=70°$，则$∠ NMA$的度数是
50°
.（2）连接MB，若$BC=6$，$△ MBC$的周长是14.
①$△ ABC$的周长为
22
.②若P是直线MN上一个动点，则$PB+PC$的最小值是
8
.答案
7. （1）50°
（2）①22 提示：
∵BC=6，△MBC的周长是14，
∴MB+MC=14-6=8.
∵MN是AB的垂直平分线，
∴MA=MB，则AC=MA+MC=MB+MC=8.
∵AB=AC=8，
∴△ABC的周长是8+8+6=22
②8 提示：根据题意，点B关于直线MN的对称点是点A，AC与MN交于点M，因此当点P在点M处时，PB+PC取最小值，PB+PC的最小值是MB+MC=8
（2）①22 提示：
∵BC=6，△MBC的周长是14，
∴MB+MC=14-6=8.
∵MN是AB的垂直平分线，
∴MA=MB，则AC=MA+MC=MB+MC=8.
∵AB=AC=8，
∴△ABC的周长是8+8+6=22
②8 提示：根据题意，点B关于直线MN的对称点是点A，AC与MN交于点M，因此当点P在点M处时，PB+PC取最小值，PB+PC的最小值是MB+MC=8
解析
【分析】
本题结合等腰三角形、线段垂直平分线性质及最短路径问题考察几何计算，解题时按小问逐一分析：
（1）先利用等腰三角形等边对等角的性质求出顶角∠A的度数，再结合垂直平分线的直角特征，用三角形内角和计算∠NMA的度数；
（2）①利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，将MB转化为MA，可得MB+MC=AC，结合△MBC的周长求出AC长度，再结合AB=AC即可计算△ABC的周长；
②利用轴对称的性质，点B关于直线MN的对称点为A，将PB转化为PA，根据两点之间线段最短，PB+PC的最小值即为AC的长度。
【解析】
（1）
∵$AB=AC$，
∴$∠ C=∠ B=70°$
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-70°=40°$
∵MN是AB的垂直平分线，
∴$∠ ANM=90°$
在$△ ANM$中，$∠ NMA=180°-90°-∠ A=90°-40°=50°$
（2）①
∵$△ MBC$的周长为14，$BC=6$
∴$MB+MC+BC=14$，即$MB+MC=14-6=8$
∵MN是AB的垂直平分线，
∴$MA=MB$
∴$AC=MA+MC=MB+MC=8$
又
∵$AB=AC=8$
∴$△ ABC$的周长$=AB+AC+BC=8+8+6=22$
②
∵MN是AB的垂直平分线，
∴点B与点A关于直线MN对称
∴对直线MN上任意一点P，都有$PB=PA$
∴$PB+PC=PA+PC$
根据两点之间线段最短，当P为AC与MN的交点（即点M）时，$PA+PC$取得最小值，最小值为AC的长度8，即$PB+PC$的最小值为8。
【答案】
（1）$\boxed{50°}$；（2）①$\boxed{22}$；②$\boxed{8}$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；最短路径问题
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，最短路径问题通过对称将折线和转化为线段长求解，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题结合等腰三角形、线段垂直平分线性质及最短路径问题考察几何计算，解题时按小问逐一分析：
（1）先利用等腰三角形等边对等角的性质求出顶角∠A的度数，再结合垂直平分线的直角特征，用三角形内角和计算∠NMA的度数；
（2）①利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，将MB转化为MA，可得MB+MC=AC，结合△MBC的周长求出AC长度，再结合AB=AC即可计算△ABC的周长；
②利用轴对称的性质，点B关于直线MN的对称点为A，将PB转化为PA，根据两点之间线段最短，PB+PC的最小值即为AC的长度。
【解析】
（1）
∵$AB=AC$，
∴$∠ C=∠ B=70°$
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-70°=40°$
∵MN是AB的垂直平分线，
∴$∠ ANM=90°$
在$△ ANM$中，$∠ NMA=180°-90°-∠ A=90°-40°=50°$
（2）①
∵$△ MBC$的周长为14，$BC=6$
∴$MB+MC+BC=14$，即$MB+MC=14-6=8$
∵MN是AB的垂直平分线，
∴$MA=MB$
∴$AC=MA+MC=MB+MC=8$
又
∵$AB=AC=8$
∴$△ ABC$的周长$=AB+AC+BC=8+8+6=22$
②
∵MN是AB的垂直平分线，
∴点B与点A关于直线MN对称
∴对直线MN上任意一点P，都有$PB=PA$
∴$PB+PC=PA+PC$
根据两点之间线段最短，当P为AC与MN的交点（即点M）时，$PA+PC$取得最小值，最小值为AC的长度8，即$PB+PC$的最小值为8。
【答案】
（1）$\boxed{50°}$；（2）①$\boxed{22}$；②$\boxed{8}$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；最短路径问题
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，最短路径问题通过对称将折线和转化为线段长求解，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8. 直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 表示一条河的两岸，且 $ l_1 // l_2 $。现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，应该选择路线（
C
）。答案
8. C
解析
【分析】
要解决造桥选址的最短路径问题，首先明确桥的长度是固定值（等于两平行线$l_1$、$l_2$的距离，因为桥垂直河岸），因此总路程最短等价于“从A到桥的一端、从B到桥的另一端的两段路程之和最短”。我们可以利用平移的性质，将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度，把两段分散的路程转化为连接平移后的点与点B的路径，再根据“两点之间线段最短”确定桥的位置即可。
【解析】
1. 由于桥需与河岸垂直，因此桥的长度是固定值，等于$l_1$与$l_2$之间的距离。要使总路程$AC+CD+DB$最短，因$CD$为定值，只需保证$AC+DB$最小。
2. 将点A沿垂直于河岸的方向向上平移，平移距离等于河宽（即$CD$的长度），得到点$A'$，根据平移的性质可知$AC=A'D$，因此$AC+DB = A'D + DB$。
3. 根据“两点之间线段最短”，连接$A'B$，线段$A'B$与$l_1$的交点即为桥在$l_1$上的端点D。过D作$DC⊥ l_2$，垂足为C，$CD$即为符合要求的桥，此时总路径$A-C-D-B$最短，对应选项C的作图。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是经典的最短路径造桥选址模型，解题核心是通过平移将固定长度的桥的部分从总路程中剥离，把复杂的最短路径问题转化为熟悉的“两点之间线段最短”的基础模型，只要掌握平移转化的思路即可快速求解。
【难度系数】
0.6
要解决造桥选址的最短路径问题，首先明确桥的长度是固定值（等于两平行线$l_1$、$l_2$的距离，因为桥垂直河岸），因此总路程最短等价于“从A到桥的一端、从B到桥的另一端的两段路程之和最短”。我们可以利用平移的性质，将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度，把两段分散的路程转化为连接平移后的点与点B的路径，再根据“两点之间线段最短”确定桥的位置即可。
【解析】
1. 由于桥需与河岸垂直，因此桥的长度是固定值，等于$l_1$与$l_2$之间的距离。要使总路程$AC+CD+DB$最短，因$CD$为定值，只需保证$AC+DB$最小。
2. 将点A沿垂直于河岸的方向向上平移，平移距离等于河宽（即$CD$的长度），得到点$A'$，根据平移的性质可知$AC=A'D$，因此$AC+DB = A'D + DB$。
3. 根据“两点之间线段最短”，连接$A'B$，线段$A'B$与$l_1$的交点即为桥在$l_1$上的端点D。过D作$DC⊥ l_2$，垂足为C，$CD$即为符合要求的桥，此时总路径$A-C-D-B$最短，对应选项C的作图。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是经典的最短路径造桥选址模型，解题核心是通过平移将固定长度的桥的部分从总路程中剥离，把复杂的最短路径问题转化为熟悉的“两点之间线段最短”的基础模型，只要掌握平移转化的思路即可快速求解。
【难度系数】
0.6
