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五、判断是否存在等腰$△ ABC$时,应分$AB=BC,AB=AC,BC=AC$三种情况讨论
6. 如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,$E$为$BC$边上一点(不与点$B$,$C$重合),过点$E$作射线$EF$交$AC$于点$F$,使$∠ AEF=∠ B=β$.
(1)$∠ BAE$与$∠ CEF$的大小关系是
(2)是否存在$△ AEF$为等腰三角形的情况?若存在,请求出$∠ BEA$的度数(用含$β$的式子表示).
6. 如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,$E$为$BC$边上一点(不与点$B$,$C$重合),过点$E$作射线$EF$交$AC$于点$F$,使$∠ AEF=∠ B=β$.
(1)$∠ BAE$与$∠ CEF$的大小关系是
∠BAE=∠CEF
.(2)是否存在$△ AEF$为等腰三角形的情况?若存在,请求出$∠ BEA$的度数(用含$β$的式子表示).
答案
6. (1) ∠BAE=∠CEF
(2) 存在. 因为 AB=AC,所以∠C=∠B=β.
当 AE=AF 时,
∠AEF=∠AFE＞∠C,不符合题意;
当 EA=EF 时,
∠EAF=∠EFA=1/2 (180°−β),
所以∠BEA=∠EAF+∠C=90°+1/2 β.
当 FA=FE 时,∠EAF=∠AEF=β,
所以∠BEA=∠EAF+∠C=2β.
综上所述,当△AEF 为等腰三角形时,∠BEA 的度数为90°+1/2 β 或 2β.
(2) 存在. 因为 AB=AC,所以∠C=∠B=β.
当 AE=AF 时,
∠AEF=∠AFE＞∠C,不符合题意;
当 EA=EF 时,
∠EAF=∠EFA=1/2 (180°−β),
所以∠BEA=∠EAF+∠C=90°+1/2 β.
当 FA=FE 时,∠EAF=∠AEF=β,
所以∠BEA=∠EAF+∠C=2β.
综上所述,当△AEF 为等腰三角形时,∠BEA 的度数为90°+1/2 β 或 2β.
解析
【分析】
(1) 要判断∠BAE与∠CEF的大小关系，可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。观察可得∠AEC是△ABE的外角，因此∠AEC=∠B+∠BAE，同时∠AEC还可拆分为∠AEF+∠CEF，结合已知∠AEF=∠B，代入即可推出两个角的关系。
(2) 要判断是否存在△AEF为等腰三角形的情况，需分三种情况讨论等腰三角形的腰：①AE=AF；②EA=EF；③FA=FE。结合已知条件先判断每种情况是否符合题意，再利用三角形内角和、外角性质计算∠BEA的度数即可。
【解析】
(1)
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE，
又
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF，且已知∠AEF=∠B=β，
∴∠B+∠BAE = ∠AEF+∠CEF，化简得∠BAE=∠CEF。
(2) 存在，求解如下：
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=β。
分三种情况讨论：
① 当AE=AF时，∠AEF=∠AFE=β，
∵∠AFE是△EFC的外角，
∴∠AFE=∠C+∠CEF＞∠C=β，矛盾，不符合题意，舍去；
② 当EA=EF时，∠EAF=∠EFA，
∵∠AEF=β，由三角形内角和得$∠ EAF=∠ EFA=\frac{1}{2}(180°−β)$，
又
∵∠BEA是△AEC的外角，
∴$∠ BEA=∠ EAF+∠ C=\frac{1}{2}(180°−β)+β=90°+\frac{1}{2}β$；
③ 当FA=FE时，∠EAF=∠AEF=β，
同理，∠BEA是△AEC的外角，
∴$∠ BEA=∠ EAF+∠ C=β+β=2β$。
综上，△AEF为等腰三角形时，∠BEA的度数为$90°+\frac{1}{2}β$或2β。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BAE=∠CEF}$
(2) 存在，∠BEA的度数为$\boldsymbol{90°+\frac{1}{2}β}$或$\boldsymbol{2β}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题核心考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时需注意对等腰三角形的腰分情况讨论，同时要结合角度关系排除不符合题意的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断∠BAE与∠CEF的大小关系，可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。观察可得∠AEC是△ABE的外角，因此∠AEC=∠B+∠BAE，同时∠AEC还可拆分为∠AEF+∠CEF，结合已知∠AEF=∠B，代入即可推出两个角的关系。
(2) 要判断是否存在△AEF为等腰三角形的情况，需分三种情况讨论等腰三角形的腰：①AE=AF；②EA=EF；③FA=FE。结合已知条件先判断每种情况是否符合题意，再利用三角形内角和、外角性质计算∠BEA的度数即可。
【解析】
(1)
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE，
又
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF，且已知∠AEF=∠B=β，
∴∠B+∠BAE = ∠AEF+∠CEF，化简得∠BAE=∠CEF。
(2) 存在，求解如下：
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=β。
分三种情况讨论：
① 当AE=AF时，∠AEF=∠AFE=β，
∵∠AFE是△EFC的外角，
∴∠AFE=∠C+∠CEF＞∠C=β，矛盾，不符合题意，舍去；
② 当EA=EF时，∠EAF=∠EFA，
∵∠AEF=β，由三角形内角和得$∠ EAF=∠ EFA=\frac{1}{2}(180°−β)$，
又
∵∠BEA是△AEC的外角，
∴$∠ BEA=∠ EAF+∠ C=\frac{1}{2}(180°−β)+β=90°+\frac{1}{2}β$；
③ 当FA=FE时，∠EAF=∠AEF=β，
同理，∠BEA是△AEC的外角，
∴$∠ BEA=∠ EAF+∠ C=β+β=2β$。
综上，△AEF为等腰三角形时，∠BEA的度数为$90°+\frac{1}{2}β$或2β。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BAE=∠CEF}$
(2) 存在，∠BEA的度数为$\boldsymbol{90°+\frac{1}{2}β}$或$\boldsymbol{2β}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题核心考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时需注意对等腰三角形的腰分情况讨论，同时要结合角度关系排除不符合题意的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
7.有一块三角形纸片$ABC$，$∠ A=80°$，$D$是$AC$边上一点，沿$BD$方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，求$∠ C$的度数.
答案
7. 解:根据题意,知△ABD 与△DBC 均为等腰三角形,对于△ABD 可能有三种情况:
①AB=BD,此时∠ADB=∠A=80°,
所以∠BDC=180°−∠ADB=180°−80°=100°,
∠C=1/2×(180°−100°)=40°.
②AB=AD,此时∠ADB=1/2 (180°−∠A)=1/2×(180°−80°)=50°,
所以∠BDC=180°−∠ADB=130°,
所以∠C=1/2×(180°−130°)=25°.
③AD=BD,此时∠ADB=180°−2×80°=20°,
所以∠BDC=180°−∠ADB=180°−20°=160°,
所以∠C=1/2×(180°−160°)=10°.
综上所述,∠C 的度数为 40°或 25°或 10°.
①AB=BD,此时∠ADB=∠A=80°,
所以∠BDC=180°−∠ADB=180°−80°=100°,
∠C=1/2×(180°−100°)=40°.
②AB=AD,此时∠ADB=1/2 (180°−∠A)=1/2×(180°−80°)=50°,
所以∠BDC=180°−∠ADB=130°,
所以∠C=1/2×(180°−130°)=25°.
③AD=BD,此时∠ADB=180°−2×80°=20°,
所以∠BDC=180°−∠ADB=180°−20°=160°,
所以∠C=1/2×(180°−160°)=10°.
综上所述,∠C 的度数为 40°或 25°或 10°.
解析
【分析】
本题需结合等腰三角形性质求解，核心是对等腰△ABD的腰的情况分类讨论：沿BD剪开后得到的△ABD和△DBC均为等腰三角形，已知△ABD中∠A=80°，因未明确等腰三角形的腰和底，所以需分AB=BD、AB=AD、AD=BD三种情况分别计算；先根据等腰三角形等边对等角的性质及三角形内角和求出∠ADB的度数，再利用邻补角的性质求出∠BDC的度数，最后结合△DBC也是等腰三角形（∠BDC为顶角，因此BD=CD），求出对应∠C的度数即可，注意每种情况都要验证是否符合三角形内角和要求。
【解析】
根据题意，△ABD与△DBC均为等腰三角形，对△ABD分三种情况讨论：
① 若AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，
∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−80°=100°，
∵△DBC为等腰三角形，BD=CD，
∴∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−100°)=40°；
② 若AB=AD，此时∠ADB=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°−80°)=50°，
∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−50°=130°，
∵△DBC为等腰三角形，BD=CD，
∴∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−130°)=25°；
③ 若AD=BD，此时∠ADB=180°−2×80°=20°，
∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−20°=160°，
∵△DBC为等腰三角形，BD=CD，
∴∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−160°)=10°。
【答案】
∠C的度数为10°或25°或40°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的分类讨论典型题，解题的关键是明确等腰三角形腰的不确定性，分情况讨论，同时要注意检验每种情况的合理性，避免漏解或出现不符合三角形内角和的错误结果。
【难度系数】
0.3
本题需结合等腰三角形性质求解，核心是对等腰△ABD的腰的情况分类讨论：沿BD剪开后得到的△ABD和△DBC均为等腰三角形，已知△ABD中∠A=80°，因未明确等腰三角形的腰和底，所以需分AB=BD、AB=AD、AD=BD三种情况分别计算；先根据等腰三角形等边对等角的性质及三角形内角和求出∠ADB的度数，再利用邻补角的性质求出∠BDC的度数，最后结合△DBC也是等腰三角形（∠BDC为顶角，因此BD=CD），求出对应∠C的度数即可，注意每种情况都要验证是否符合三角形内角和要求。
【解析】
根据题意，△ABD与△DBC均为等腰三角形，对△ABD分三种情况讨论：
① 若AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，
∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−80°=100°，
∵△DBC为等腰三角形，BD=CD，
∴∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−100°)=40°；
② 若AB=AD，此时∠ADB=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°−80°)=50°，
∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−50°=130°，
∵△DBC为等腰三角形，BD=CD，
∴∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−130°)=25°；
③ 若AD=BD，此时∠ADB=180°−2×80°=20°，
∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−20°=160°，
∵△DBC为等腰三角形，BD=CD，
∴∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−160°)=10°。
【答案】
∠C的度数为10°或25°或40°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的分类讨论典型题，解题的关键是明确等腰三角形腰的不确定性，分情况讨论，同时要注意检验每种情况的合理性，避免漏解或出现不符合三角形内角和的错误结果。
【难度系数】
0.3
