1.某课外数学学习小组碰到这样一个问题:已知等腰三角形两边长分别为3和5,求其周长.经过思考后,甲同学发言:“我认为这个等腰三角形的周长等于13.”乙同学发言:“我认为这个等腰三角形的周长等于11.”
(1)你的意见如何?为什么?
(2)已知等腰三角形的边长为3和6,求它的周长.
(3)通过对以上问题进行探究,你能得到一般规律吗?

1. 解:(1)等腰三角形的周长为11或13.
理由如下:当腰长为3,底边长为5时,
周长为 3+3+5=11;
当腰长为5,底边长为3时,
周长为 5+5+3=13.
(2)因为当腰长为3时,3+3=6,不符合三角形的三边关系,
所以只有一种情况,即腰长为6,底边长为3,周长为6+6+3=15.
(3)设等腰三角形的两边长分别为a和b(a≤b).若a≤b/2,
则其周长为 a+2b;若b/2 ＜a≤b,则其周长为 2a+b 或a+2b.

【分析】
本题围绕等腰三角形周长计算展开，解题需抓住两个核心：一是等腰三角形两腰长度相等，已知两边长时要分“边长为腰”和“边长为底”两种情况分类讨论；二是所有三角形需满足三边关系（任意两边之和大于第三边），每种分类得到的边长组合要先验证能否构成三角形，再计算周长。第(1)问分别验证3为腰、5为腰两种情况均符合三边关系，有两个结果；第(2)问验证发现3为腰时不符合三边关系，仅有一种结果；第(3)问将具体数值推广到一般情况，根据两边的大小关系总结周长规律即可。
【解析】
(1) 等腰三角形周长为11或13，理由如下：
① 当腰长为3，底边长为5时，满足三边关系$3+3＞5$，周长为$3+3+5=11$；
② 当腰长为5，底边长为3时，满足三边关系$5+5＞3$，周长为$5+5+3=13$。
(2) 分情况讨论：
① 若腰长为3，底边长为6，$3+3=6$，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去；
② 若腰长为6，底边长为3，满足三边关系$6+6＞3$，周长为$6+6+3=15$。
(3) 设等腰三角形两边长为$a$和$b$（$a≤b$）：
① 若$a≤\frac{b}{2}$，腰长取$a$时$2a≤b$，不符合三边关系，因此腰长只能为$b$，周长为$a+2b$；
② 若$\frac{b}{2}＜a≤b$，腰长取$a$时$2a＞b$，腰长取$b$时$2b＞a$，均符合三边关系，因此周长为$2a+b$或$a+2b$。
【答案】
(1) 等腰三角形的周长为11或13。理由如下:当腰长为3,底边长为5时,周长为 3+3+5=11;当腰长为5,底边长为3时,周长为 5+5+3=13。
(2) 周长为15。
(3) 设等腰三角形的两边长分别为a和b(a≤b)。若a≤b/2,则其周长为 a+2b;若b/2 ＜a≤b,则其周长为 2a+b 或a+2b。
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形边长问题的分类讨论逻辑，易错点是分类后忽略验证三角形三边关系导致多解或错解，解题时要养成“先分类、再验证、后计算”的习惯，培养思维的严谨性。
【难度系数】
0.7

2. 已知等腰三角形的一个外角等于$140°$,则这个三角形的三个内角的度数分别是（）

A.$20°,20°,140°$
B.$40°,40°,100°$
C.$70°,70°,40°$
D.$40°,40°,100°$或$70°,70°,40°$
3. 已知$△ ABC$是等腰三角形.若$∠ B=30°$,则$△ ABC$的顶角度数是.

2. D
3. 120°或30°

【分析】
解第2题时，先根据外角与相邻内角互补求出对应内角度数为40°，再分类讨论这个40°角是等腰三角形的顶角还是底角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和180°计算三个内角度数即可。解第3题时，已知等腰△ABC中∠B=30°，同样分类讨论：①∠B为顶角，直接得顶角度数；②∠B为底角，根据内角和求顶角，所有结果都要验证是否符合三角形内角和定理。
【解析】
第2题
已知等腰三角形的一个外角为140°，则与该外角相邻的内角度数为：$180° - 140° = 40°$，分两种情况讨论：
1. 若40°是顶角：因为等腰三角形两底角相等，所以底角度数为$\frac{180° - 40°}{2}=70°$，此时三个内角为$70°、70°、40°$；
2. 若40°是底角：则顶角度数为$180° - 2×40°=100°$，此时三个内角为$40°、40°、100°$。
两种情况均符合三角形性质，因此答案选D。
第3题
已知等腰△ABC中$∠ B=30°$，分两种情况讨论顶角：
1. 若$∠ B$是顶角：此时顶角度数就是$30°$，两个底角均为$75°$，符合内角和定理；
2. 若$∠ B$是底角：此时顶角度数为$180° - 2×30°=120°$，符合内角和定理。
因此顶角度数为$120°$或$30°$。
【答案】
2. D
3. $120°$或$30°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
这两道题是等腰三角形分类讨论的典型题，解题关键是明确未指明类型的角（顶角/底角）要分情况讨论，同时注意验证结果是否符合三角形基本性质，避免漏解。
【难度系数】
0.7

4. 已知在等腰$△ ABC$中，腰$AC$上的中线$BD$将三角形分成周长为9和15的两部分，求这个三角形的腰长和底边的长.

4. 解:设腰长为 x.
①当腰长与腰长的一半的和是9时,
x+1/2 x=9,解得 x=6.
此时,底边长为 15−1/2×6=12.
因为 6+6=12,而6,6,12不能构成三角形,
所以这种情况不存在.
②当腰长与腰长的一半的和是15时,
x+1/2 x=15,解得 x=10.
此时,底边长为 9−1/2×10=4.
三角形的三边长分别为 10,10,4,能构成三角形.
综上所述,三角形的腰长为 10,底边长为 4.

【分析】
本题是等腰三角形中与中线相关的周长计算问题，解题思路如下：首先明确腰上的中线会将腰分为长度相等的两段，分成的两部分周长不含公共边中线BD，因此两部分分别为“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”。由于题目未说明哪部分周长为9、哪部分为15，需要分两种情况讨论计算，最后必须用三角形三边关系验证结果是否符合构成三角形的条件，不符合的情况要舍去。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$x$。
①当腰长与腰长的一半的和是9时：
列方程：$x+\frac{1}{2}x=9$
解得：$x=6$
此时底边长为：$15-\frac{1}{2}×6=12$
验证三边：$6+6=12$，不满足三角形两边之和大于第三边，该情况舍去。
②当腰长与腰长的一半的和是15时：
列方程：$x+\frac{1}{2}x=15$
解得：$x=10$
此时底边长为：$9-\frac{1}{2}×10=4$
验证三边：三边长为10、10、4，$10+4＞10$，$10+10＞4$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
【答案】
腰长为10，底边长为4
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论
【点评】
本题是等腰三角形计算的典型题型，解题核心是结合中线性质合理分类，同时要注意求出边长后必须验证三边关系，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6

5.如图,已知$5×5$网格的每个小方格的边长为1,A,B两点都在小方格的格点(顶点)上.请在图中找一个格点C,使$△ ABC$是以AB为腰的等腰三角形,这样的格点C有（）


A.4个
B.5个
C.6个
D.7个

5. C

【分析】
要找到使△ABC是以AB为腰的等腰三角形的格点C，需按等腰三角形的顶角顶点不同分类讨论：①以A为顶角顶点，此时AB=AC；②以B为顶角顶点，此时AB=BC。先确定AB的长度，再分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，找出弧经过的格点，排除与A、B共线的点，统计符合条件的C点个数即可。
【解析】
已知每个小方格边长为1，由勾股定理计算得AB的长度为√17。我们分两类讨论：
1. 当AB为腰、A为顶角顶点时，即AB=AC：以A为圆心，AB长为半径画弧，圆弧经过的格点中，除点B外，共有3个符合要求的格点C；
2. 当AB为腰、B为顶角顶点时，即AB=BC：以B为圆心，AB长为半径画弧，圆弧经过的格点中，除点A外，共有3个符合要求的格点C。
两类情况无重复点，也不存在三点共线的无效情况，因此符合条件的格点C共有3+3=6个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；分类讨论思想；勾股定理
【点评】
本题解题的核心是明确“以AB为腰”的等腰三角形需要分两种情况讨论，避免漏解，同时结合网格特征找格点，要注意排除不能构成三角形的共线情况。
【难度系数】
0.6