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【例1】如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D。若$AC=10\ \mathrm{cm}$，$BD=7\ \mathrm{cm}$，求CD的长。
规律总结 线段的垂直平分线常与其他知识结合解决以下问题:(1)求角的度数；(2)求线段的长度；(3)求三角形的周长；(4)解决实际问题。
规律总结 线段的垂直平分线常与其他知识结合解决以下问题:(1)求角的度数；(2)求线段的长度；(3)求三角形的周长；(4)解决实际问题。
答案
解:因为 DE 垂直平分AB,所以 AD=BD,
所以 CD=AC-AD=AC-BD.
又因为 AC=10 cm,BD=7 cm,所以 CD=10-7=3(cm).
所以 CD=AC-AD=AC-BD.
又因为 AC=10 cm,BD=7 cm,所以 CD=10-7=3(cm).
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：题目中给出ED是AB的垂直平分线，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得到AD和BD相等的等量关系。再观察所求线段CD与已知线段AC、AD的位置关系，可知AC=AD+CD，因此CD=AC-AD，将AD替换为长度已知的BD，代入数值即可求出CD的长。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD
∵AC=AD+CD
∴CD=AC-AD=AC-BD
又
∵AC=10 cm，BD=7 cm
∴CD=10-7=3(cm)
【答案】
3 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用垂直平分线的性质实现线段的等量转换，将未知线段用已知线段表示后计算即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：题目中给出ED是AB的垂直平分线，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得到AD和BD相等的等量关系。再观察所求线段CD与已知线段AC、AD的位置关系，可知AC=AD+CD，因此CD=AC-AD，将AD替换为长度已知的BD，代入数值即可求出CD的长。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD
∵AC=AD+CD
∴CD=AC-AD=AC-BD
又
∵AC=10 cm，BD=7 cm
∴CD=10-7=3(cm)
【答案】
3 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用垂直平分线的性质实现线段的等量转换，将未知线段用已知线段表示后计算即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
【变式1】如图，在$△ ABC$中，$PM$，$QN$分别是线段$AB$，$AC$的垂直平分线，若$BC=100$，则$△ APQ$的周长是（
A.120
B.50
C.100
D.90
C
）A.120
B.50
C.100
D.90
答案
C
解析
【分析】
遇到涉及线段垂直平分线的题目，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。本题要求△APQ的周长，我们可以先利用垂直平分线的性质将AP、AQ转化为和BC相关的线段，再通过线段和的关系计算周长。首先，PM是AB的垂直平分线，可得PA=PB；QN是AC的垂直平分线，可得QA=QC。再把△APQ的周长中的AP、AQ替换为PB、QC，即可发现周长正好等于BC的长度，代入已知BC的值就能得到结果。
【解析】
解：
∵PM是线段AB的垂直平分线，点P在PM上
∴PA = PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∵QN是线段AC的垂直平分线，点Q在QN上
∴QA = QC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
△APQ的周长 = AP + PQ + AQ
将AP替换为PB，AQ替换为QC，可得：
周长 = PB + PQ + QC = BC
已知BC=100，因此△APQ的周长为100。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题的核心是通过垂直平分线的性质完成线段的等量转换，将未知的三角形周长转化为已知的线段BC的长度，是考查垂直平分线性质的典型题目。
【难度系数】
0.8
遇到涉及线段垂直平分线的题目，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。本题要求△APQ的周长，我们可以先利用垂直平分线的性质将AP、AQ转化为和BC相关的线段，再通过线段和的关系计算周长。首先，PM是AB的垂直平分线，可得PA=PB；QN是AC的垂直平分线，可得QA=QC。再把△APQ的周长中的AP、AQ替换为PB、QC，即可发现周长正好等于BC的长度，代入已知BC的值就能得到结果。
【解析】
解：
∵PM是线段AB的垂直平分线，点P在PM上
∴PA = PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∵QN是线段AC的垂直平分线，点Q在QN上
∴QA = QC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
△APQ的周长 = AP + PQ + AQ
将AP替换为PB，AQ替换为QC，可得：
周长 = PB + PQ + QC = BC
已知BC=100，因此△APQ的周长为100。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题的核心是通过垂直平分线的性质完成线段的等量转换，将未知的三角形周长转化为已知的线段BC的长度，是考查垂直平分线性质的典型题目。
【难度系数】
0.8
【变式2】如图，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠BAD的度数为
40°
。答案
40°
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据AB=AC判定△ABC为等腰三角形，结合已知的顶角度数，利用三角形内角和定理求出底角∠B的度数；第二步，根据线段垂直平分线的性质，得到AD=BD，可知△ABD为等腰三角形，进而得到∠BAD=∠B，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。
∵∠BAC=100°，三角形内角和为180°，
∴$∠ B=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-100°)÷2=40°$。
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，$∠ BAD=∠ B=40°$。
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，核心是结合等腰三角形性质和线段垂直平分线的性质推导等角关系，只要熟练掌握相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先根据AB=AC判定△ABC为等腰三角形，结合已知的顶角度数，利用三角形内角和定理求出底角∠B的度数；第二步，根据线段垂直平分线的性质，得到AD=BD，可知△ABD为等腰三角形，进而得到∠BAD=∠B，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。
∵∠BAC=100°，三角形内角和为180°，
∴$∠ B=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-100°)÷2=40°$。
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，$∠ BAD=∠ B=40°$。
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，核心是结合等腰三角形性质和线段垂直平分线的性质推导等角关系，只要熟练掌握相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
【例2】如图，$AB=AC$，$MB=MC$. 求证：直线AM是线段BC的垂直平分线. 
答案
证明:因为 AB=AC,所以点 A 在线段 BC 的垂直平分线上.
因为 MB=MC,所以点 M 在线段 BC 的垂直平分线上,
所以直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线.
因为 MB=MC,所以点 M 在线段 BC 的垂直平分线上,
所以直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线.
解析
【分析】
要证明直线AM是线段BC的垂直平分线，可利用线段垂直平分线的判定思路：只要证明两个不同的点都在BC的垂直平分线上，再结合“两点确定一条直线”的性质，就能得出过这两个点的直线就是BC的垂直平分线。首先看已知条件AB=AC，说明点A到B、C的距离相等，符合线段垂直平分线的判定条件，因此点A在BC的垂直平分线上；再看MB=MC，说明点M到B、C的距离也相等，因此点M也在BC的垂直平分线上，两点确定唯一一条直线，所以直线AM就是BC的垂直平分线。
【解析】
证明：因为$AB=AC$，所以点A在线段BC的垂直平分线上。
因为$MB=MC$，所以点M在线段BC的垂直平分线上。
根据两点确定一条直线，可得直线AM是线段BC的垂直平分线。
【答案】
证明：因为$AB=AC$，所以点A在线段BC的垂直平分线上。
因为$MB=MC$，所以点M在线段BC的垂直平分线上，
所以直线AM是线段BC的垂直平分线。
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础证明题，核心考查线段垂直平分线判定定理的应用，无需通过证明三角形全等来推导，直接利用判定定理即可快速解题，能帮助学生加深对线段垂直平分线判定逻辑的理解。
【难度系数】
0.8
要证明直线AM是线段BC的垂直平分线，可利用线段垂直平分线的判定思路：只要证明两个不同的点都在BC的垂直平分线上，再结合“两点确定一条直线”的性质，就能得出过这两个点的直线就是BC的垂直平分线。首先看已知条件AB=AC，说明点A到B、C的距离相等，符合线段垂直平分线的判定条件，因此点A在BC的垂直平分线上；再看MB=MC，说明点M到B、C的距离也相等，因此点M也在BC的垂直平分线上，两点确定唯一一条直线，所以直线AM就是BC的垂直平分线。
【解析】
证明：因为$AB=AC$，所以点A在线段BC的垂直平分线上。
因为$MB=MC$，所以点M在线段BC的垂直平分线上。
根据两点确定一条直线，可得直线AM是线段BC的垂直平分线。
【答案】
证明：因为$AB=AC$，所以点A在线段BC的垂直平分线上。
因为$MB=MC$，所以点M在线段BC的垂直平分线上，
所以直线AM是线段BC的垂直平分线。
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础证明题，核心考查线段垂直平分线判定定理的应用，无需通过证明三角形全等来推导，直接利用判定定理即可快速解题，能帮助学生加深对线段垂直平分线判定逻辑的理解。
【难度系数】
0.8
