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【变式】如图，$AB=AC$，$DB=DC$，$E$是$AD$上一点.求证:$BE=CE$.
答案
证明:因为 AB=AC,DB=DC,
所以 A,D 两点在线段 BC 的垂直平分线上,
所以直线 AD 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).
因为点 E 在直线 AD 上,
所以 BE=CE.
所以 A,D 两点在线段 BC 的垂直平分线上,
所以直线 AD 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).
因为点 E 在直线 AD 上,
所以 BE=CE.
解析
【分析】
要证明BE=CE，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此只需证明点E在BC的垂直平分线上即可。首先由已知AB=AC，根据垂直平分线的判定定理可得点A在BC的垂直平分线上；同理DB=DC可得点D也在BC的垂直平分线上，结合两点确定一条直线，即可推出AD是BC的垂直平分线，已知E在AD上，即可得出结论。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$DB=DC$，
∴ A，D两点在线段BC的垂直平分线上，
∴ 直线AD是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线），
∵ 点E在直线AD上，
∴ $BE=CE$。
【答案】
证明:因为 AB=AC,DB=DC,
所以 A,D 两点在线段 BC 的垂直平分线上,
所以直线 AD 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).
因为点 E 在直线 AD 上,
所以 BE=CE.
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质；两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段垂直平分线相关定理的应用，用垂直平分线的性质和判定解题比多次证明三角形全等更简便，解题时要注意互逆定理的灵活使用，结合直线的基本性质即可快速推导结论。
【难度系数】
0.8
要证明BE=CE，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此只需证明点E在BC的垂直平分线上即可。首先由已知AB=AC，根据垂直平分线的判定定理可得点A在BC的垂直平分线上；同理DB=DC可得点D也在BC的垂直平分线上，结合两点确定一条直线，即可推出AD是BC的垂直平分线，已知E在AD上，即可得出结论。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$DB=DC$，
∴ A，D两点在线段BC的垂直平分线上，
∴ 直线AD是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线），
∵ 点E在直线AD上，
∴ $BE=CE$。
【答案】
证明:因为 AB=AC,DB=DC,
所以 A,D 两点在线段 BC 的垂直平分线上,
所以直线 AD 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).
因为点 E 在直线 AD 上,
所以 BE=CE.
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质；两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段垂直平分线相关定理的应用，用垂直平分线的性质和判定解题比多次证明三角形全等更简便，解题时要注意互逆定理的灵活使用，结合直线的基本性质即可快速推导结论。
【难度系数】
0.8
【例3】(咸阳模拟)如图,在$Rt△ ABC$中,在BC边上求作一点P,使$PA=PB$.(不要求写作法,保留作图痕迹)
答案
解:如图,点 P 即为所求。
解析
【分析】
要在BC边上找到点P使得PA=PB，可从“到线段两个端点距离相等的点的位置特征”入手思考：根据线段垂直平分线的判定定理，到线段AB两端点A、B距离相等的点，都在线段AB的垂直平分线上，因此点P就是线段AB的垂直平分线与BC边的交点，只需用尺规作出AB的垂直平分线，找到它和BC的交点即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知满足PA=PB的点P在线段AB的垂直平分线上。
作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与BC边的交点即为所求的点P。
【答案】
如图,点 P 即为所求。
【知识点】
线段垂直平分线的判定，尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是将“PA=PB”的条件转化为点的位置特征，结合线段垂直平分线的判定确定作图方法，考查对基础定理的应用能力和基本尺规作图的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要在BC边上找到点P使得PA=PB，可从“到线段两个端点距离相等的点的位置特征”入手思考：根据线段垂直平分线的判定定理，到线段AB两端点A、B距离相等的点，都在线段AB的垂直平分线上，因此点P就是线段AB的垂直平分线与BC边的交点，只需用尺规作出AB的垂直平分线，找到它和BC的交点即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知满足PA=PB的点P在线段AB的垂直平分线上。
作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与BC边的交点即为所求的点P。
【答案】
如图,点 P 即为所求。
【知识点】
线段垂直平分线的判定，尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是将“PA=PB”的条件转化为点的位置特征，结合线段垂直平分线的判定确定作图方法，考查对基础定理的应用能力和基本尺规作图的掌握程度。
【难度系数】
0.8
【变式1】如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法.
认真观察作图痕迹，下面的已知条件分别对应作图顺序正确的是 （
①已知等腰三角形的底边和底边上的高；
②已知等腰三角形的底边和腰；
③已知等腰三角形的底边和一底角.
A.①②③
B.②①③
C.③①②
D.②③①
认真观察作图痕迹，下面的已知条件分别对应作图顺序正确的是 （
B
）①已知等腰三角形的底边和底边上的高；
②已知等腰三角形的底边和腰；
③已知等腰三角形的底边和一底角.
A.①②③
B.②①③
C.③①②
D.②③①
答案
B
解析
【分析】
解题时先逐个分析三张图的作图痕迹，结合不同已知条件下等腰三角形的尺规作图原理，一一匹配对应条件即可。首先回忆三类作图的逻辑：已知底边和腰时，需分别以底边两端点为圆心、腰长为半径画弧取交点作顶点；已知底边和底边上的高时，需先作底边的垂直平分线，再在垂直平分线上按高的长度取顶点；已知底边和底角时，需分别在底边两端点作底角，两角的边的交点为顶点，再对应三张图匹配即可。
【解析】
我们逐个分析三张图的作图痕迹：
1. 第一张图：痕迹为分别以A、B为圆心，等长为半径画弧交于点C，说明AC=BC为腰长，AB为已知底边，对应条件②已知等腰三角形的底边和腰；
2. 第二张图：痕迹为先作AB的垂直平分线，再在垂直平分线上取点C，利用等腰三角形三线合一的性质，C到AB的距离即为底边上的高，AB为已知底边，对应条件①已知等腰三角形的底边和底边上的高；
3. 第三张图：痕迹为分别在A、B两点作角，两角的边交于点C，所作的角即为等腰三角形的底角，AB为已知底边，对应条件③已知等腰三角形的底边和一底角。
因此对应顺序为②①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查尺规作图痕迹的识别，核心是掌握不同已知条件下等腰三角形的作图步骤，属于基础类作图题，熟悉作图原理就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先逐个分析三张图的作图痕迹，结合不同已知条件下等腰三角形的尺规作图原理，一一匹配对应条件即可。首先回忆三类作图的逻辑：已知底边和腰时，需分别以底边两端点为圆心、腰长为半径画弧取交点作顶点；已知底边和底边上的高时，需先作底边的垂直平分线，再在垂直平分线上按高的长度取顶点；已知底边和底角时，需分别在底边两端点作底角，两角的边的交点为顶点，再对应三张图匹配即可。
【解析】
我们逐个分析三张图的作图痕迹：
1. 第一张图：痕迹为分别以A、B为圆心，等长为半径画弧交于点C，说明AC=BC为腰长，AB为已知底边，对应条件②已知等腰三角形的底边和腰；
2. 第二张图：痕迹为先作AB的垂直平分线，再在垂直平分线上取点C，利用等腰三角形三线合一的性质，C到AB的距离即为底边上的高，AB为已知底边，对应条件①已知等腰三角形的底边和底边上的高；
3. 第三张图：痕迹为分别在A、B两点作角，两角的边交于点C，所作的角即为等腰三角形的底角，AB为已知底边，对应条件③已知等腰三角形的底边和一底角。
因此对应顺序为②①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查尺规作图痕迹的识别，核心是掌握不同已知条件下等腰三角形的作图步骤，属于基础类作图题，熟悉作图原理就能快速解题。
【难度系数】
0.8
【变式2】如图，已知四边形ABCD，求作$∠ ABC$的平分线交CD于点E.（不要求写作法，保留作图痕迹）
答案
解:如图,射线 BE 即为所求作。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确作图目标：作出∠ABC的平分线，且该平分线与CD边交于点E。我们已学过尺规作角平分线的方法，其原理是通过构造三边对应相等的全等三角形得到相等的角，从而得到角平分线。作图时先按标准尺规作角平分线的步骤得到过点B的角平分线射线，再确保射线与CD相交，交点即为E。
【解析】
作图依据是尺规作角平分线的标准方法：
1. 以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别与射线BA、射线BC交于两个不同的点；
2. 分别以上一步得到的两个交点为圆心，取大于两个交点间距离$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在∠ABC的内部交于一点；
3. 过点B和两弧的交点作射线，该射线与CD边的交点即为E，所得射线BE就是∠ABC的平分线。
（注：题目不要求写作法，仅保留作图痕迹即可）
【答案】
解:如图,射线 BE 即为所求作。
【知识点】
尺规作角平分线；角平分线的定义
【点评】
本题是基础作图类题目，核心考查尺规作角平分线的操作方法，作图时需注意清晰保留作图痕迹，同时确保所作射线与CD边相交，符合题目要求。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确作图目标：作出∠ABC的平分线，且该平分线与CD边交于点E。我们已学过尺规作角平分线的方法，其原理是通过构造三边对应相等的全等三角形得到相等的角，从而得到角平分线。作图时先按标准尺规作角平分线的步骤得到过点B的角平分线射线，再确保射线与CD相交，交点即为E。
【解析】
作图依据是尺规作角平分线的标准方法：
1. 以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别与射线BA、射线BC交于两个不同的点；
2. 分别以上一步得到的两个交点为圆心，取大于两个交点间距离$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在∠ABC的内部交于一点；
3. 过点B和两弧的交点作射线，该射线与CD边的交点即为E，所得射线BE就是∠ABC的平分线。
（注：题目不要求写作法，仅保留作图痕迹即可）
【答案】
解:如图,射线 BE 即为所求作。
【知识点】
尺规作角平分线；角平分线的定义
【点评】
本题是基础作图类题目，核心考查尺规作角平分线的操作方法，作图时需注意清晰保留作图痕迹，同时确保所作射线与CD边相交，符合题目要求。
【难度系数】
0.8
1.(贵阳模拟)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，若线段PA=3，则线段PB的长为
（
A.3
B.4
C.5
D.2
（
A
）A.3
B.4
C.5
D.2
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先梳理题目给出的已知条件：直线CD是线段AB的垂直平分线，点P在直线CD上，已知PA的长度求PB的长度。我们可以直接关联线段垂直平分线的核心性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用该性质得到PA和PB的等量关系，代入PA的数值即可求出PB的长度。
【解析】
解：
∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上的点，
根据线段垂直平分线的性质可得：$PB=PA$，
又
∵$PA=3$，
∴$PB=3$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，直接考察线段垂直平分线性质的应用，无需复杂计算，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先梳理题目给出的已知条件：直线CD是线段AB的垂直平分线，点P在直线CD上，已知PA的长度求PB的长度。我们可以直接关联线段垂直平分线的核心性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用该性质得到PA和PB的等量关系，代入PA的数值即可求出PB的长度。
【解析】
解：
∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上的点，
根据线段垂直平分线的性质可得：$PB=PA$，
又
∵$PA=3$，
∴$PB=3$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，直接考察线段垂直平分线性质的应用，无需复杂计算，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2.（海南模拟）如图，在$△ ABC$中，$∠ C=40°$，分别以点B和点C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则$∠ DBC$的度数为（
A.$100°$
B.$80°$
C.$50°$
D.$40°$
D
）A.$100°$
B.$80°$
C.$50°$
D.$40°$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的类型：题目中描述的作图方法是作线段BC的垂直平分线，因此直线MN是BC的垂直平分线。接着回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BD=CD，此时△BDC为等腰三角形，再根据等腰三角形等边对等角的性质，即可推出∠DBC与∠C相等，代入已知角度就能得到结果。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，直线MN是线段BC的垂直平分线。
∵点D在BC的垂直平分线MN上，
∴BD = CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴△BDC是等腰三角形，
∴∠DBC = ∠C（等腰三角形等边对等角），
又
∵∠C = 40°，
∴∠DBC = 40°。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，尺规作图识别
【点评】
本题是基础几何题，核心考查对尺规作图的识别和线段垂直平分线、等腰三角形基本性质的应用，解题关键是准确判断MN为BC的垂直平分线，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时首先识别尺规作图的类型：题目中描述的作图方法是作线段BC的垂直平分线，因此直线MN是BC的垂直平分线。接着回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BD=CD，此时△BDC为等腰三角形，再根据等腰三角形等边对等角的性质，即可推出∠DBC与∠C相等，代入已知角度就能得到结果。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，直线MN是线段BC的垂直平分线。
∵点D在BC的垂直平分线MN上，
∴BD = CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴△BDC是等腰三角形，
∴∠DBC = ∠C（等腰三角形等边对等角），
又
∵∠C = 40°，
∴∠DBC = 40°。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，尺规作图识别
【点评】
本题是基础几何题，核心考查对尺规作图的识别和线段垂直平分线、等腰三角形基本性质的应用，解题关键是准确判断MN为BC的垂直平分线，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=8$，$BC=12$，$AC$的垂直平分线交$BC$于点$D$，垂足为$E$，连接$AD$，则$△ ABD$的周长为（
A.14
B.20
C.28
D.32
B
）A.14
B.20
C.28
D.32
答案
3. B
解析
【分析】
解题时先提取题目关键条件：DE是AC的垂直平分线，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得AD=CD。再写出△ABD的周长表达式：周长=AB+BD+AD，此时将AD替换为CD，可将表达式转化为AB+BD+CD，而BD+CD就是BC的长度，最后代入已知的AB、BC的数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=DC$
△ABD的周长为：$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$
将$AD=DC$代入上式得：
$C_{△ ABD}=AB+BD+DC=AB+BC$
已知$AB=8$，$BC=12$，代入得：
$C_{△ ABD}=8+12=20$
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成边长的等量转换，把未知的周长转化为已知边长的和，简化了计算过程，主要考查学生对基础性质的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先提取题目关键条件：DE是AC的垂直平分线，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得AD=CD。再写出△ABD的周长表达式：周长=AB+BD+AD，此时将AD替换为CD，可将表达式转化为AB+BD+CD，而BD+CD就是BC的长度，最后代入已知的AB、BC的数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=DC$
△ABD的周长为：$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$
将$AD=DC$代入上式得：
$C_{△ ABD}=AB+BD+DC=AB+BC$
已知$AB=8$，$BC=12$，代入得：
$C_{△ ABD}=8+12=20$
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成边长的等量转换，把未知的周长转化为已知边长的和，简化了计算过程，主要考查学生对基础性质的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
