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4.小明做了一个风筝如图所示，其中$EH=FH$，$ED=FD$，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线.其中蕴含的道理是
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
。答案
4. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，我们已知EH=FH、ED=FD，说明点H和点D到线段EF的两个端点E、F的距离分别相等。接着回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由此可判断D、H两点都在EF的垂直平分线上，再结合“两点确定一条直线”，就能得出DH是EF的垂直平分线，核心依据就是线段垂直平分线的判定定理。
【解析】
已知EH=FH，根据线段垂直平分线的判定定理，可得点H在EF的垂直平分线上；
又已知ED=FD，同理可得点D也在EF的垂直平分线上；
根据两点确定一条直线，过D、H两点的直线就是EF的垂直平分线，即DH是EF的垂直平分线。
因此该结论蕴含的道理为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
【答案】
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题结合风筝的实际场景考查几何定理的应用，属于基础类题目，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理，能结合已知条件匹配对应的几何原理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手，我们已知EH=FH、ED=FD，说明点H和点D到线段EF的两个端点E、F的距离分别相等。接着回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由此可判断D、H两点都在EF的垂直平分线上，再结合“两点确定一条直线”，就能得出DH是EF的垂直平分线，核心依据就是线段垂直平分线的判定定理。
【解析】
已知EH=FH，根据线段垂直平分线的判定定理，可得点H在EF的垂直平分线上；
又已知ED=FD，同理可得点D也在EF的垂直平分线上；
根据两点确定一条直线，过D、H两点的直线就是EF的垂直平分线，即DH是EF的垂直平分线。
因此该结论蕴含的道理为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
【答案】
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题结合风筝的实际场景考查几何定理的应用，属于基础类题目，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理，能结合已知条件匹配对应的几何原理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5.如图，BD是线段AC的垂直平分线.若AB=5，CD=4，则四边形ABCD的周长为
18
.答案
5. 18
解析
【分析】
解题思路：首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。观察图形可得点B和点D都在AC的垂直平分线BD上，可据此得到两组相等的线段，再结合已知边长求出四边形四条边的长度，将四条边长度相加即可得到四边形的周长。
【解析】
解：
∵BD是线段AC的垂直平分线，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AB=BC，AD=CD，
已知AB=5，CD=4，
∴BC=AB=5，AD=CD=4，
∴四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=5+5+4+4=18。
【答案】
18
【知识点】
线段垂直平分线的性质、四边形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是对线段垂直平分线性质的掌握，只要能准确找到垂直平分线上的点对应的相等线段，就能快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。观察图形可得点B和点D都在AC的垂直平分线BD上，可据此得到两组相等的线段，再结合已知边长求出四边形四条边的长度，将四条边长度相加即可得到四边形的周长。
【解析】
解：
∵BD是线段AC的垂直平分线，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AB=BC，AD=CD，
已知AB=5，CD=4，
∴BC=AB=5，AD=CD=4，
∴四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=5+5+4+4=18。
【答案】
18
【知识点】
线段垂直平分线的性质、四边形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是对线段垂直平分线性质的掌握，只要能准确找到垂直平分线上的点对应的相等线段，就能快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
6.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=12$，$BC=15$，AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E.
(1)求$△ ABD$的周长；
(2)若$∠ B=35°$，求$∠ BAD$的度数.
(1)求$△ ABD$的周长；
(2)若$∠ B=35°$，求$∠ BAD$的度数.
答案
6. 解:(1)因为 DE 是 AC 的垂直平分线,所以 AD=CD.
因为 AB=AC=12,BC=15,
所以$△ABD$的周长是 AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=12+15=27.
(2)因为 AB=AC,$∠B=35°$,所以$∠B=∠C=35°$.
又因为 AD=CD,所以$∠DAC=∠C=35°$,
所以$∠ADB=∠DAC+∠C=35°+35°=70°$,
所以$∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-35°-70°=75°$.
因为 AB=AC=12,BC=15,
所以$△ABD$的周长是 AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=12+15=27.
(2)因为 AB=AC,$∠B=35°$,所以$∠B=∠C=35°$.
又因为 AD=CD,所以$∠DAC=∠C=35°$,
所以$∠ADB=∠DAC+∠C=35°+35°=70°$,
所以$∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-35°-70°=75°$.
解析
【分析】
(1)求$△ ABD$的周长时，先明确周长为$AB+BD+AD$，已知$AB$的长度，只需转化$BD+AD$的长度：根据线段垂直平分线的性质，可得$AD=CD$，因此$BD+AD=BD+CD=BC$，代入已知数值即可求出周长。
(2)求$∠ BAD$的度数时，首先根据等腰三角形等边对等角的性质，由$AB=AC$得$∠ B=∠ C$；再由$AD=CD$得$∠ DAC=∠ C$，利用三角形外角的性质求出$∠ ADB$的度数，最后在$△ ABD$中根据三角形内角和为$180°$，即可求出$∠ BAD$的度数。
【解析】
(1)$\because DE$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore AD=CD$，
$\because AB=AC=12$，$BC=15$，
$\therefore △ ABD$的周长$=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=12+15=27$。
(2)$\because AB=AC$，$∠ B=35°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=35°$，
又$\because AD=CD$，
$\therefore ∠ DAC=∠ C=35°$，
$\because ∠ ADB$是$△ ADC$的外角，
$\therefore ∠ ADB=∠ DAC+∠ C=35°+35°=70°$，
在$△ ABD$中，$∠ BAD=180°-∠ B-∠ ADB=180°-35°-70°=75°$。
【答案】
(1)$27$；(2)$75°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题侧重考查基础几何性质的应用，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段与角的等量转化，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1)求$△ ABD$的周长时，先明确周长为$AB+BD+AD$，已知$AB$的长度，只需转化$BD+AD$的长度：根据线段垂直平分线的性质，可得$AD=CD$，因此$BD+AD=BD+CD=BC$，代入已知数值即可求出周长。
(2)求$∠ BAD$的度数时，首先根据等腰三角形等边对等角的性质，由$AB=AC$得$∠ B=∠ C$；再由$AD=CD$得$∠ DAC=∠ C$，利用三角形外角的性质求出$∠ ADB$的度数，最后在$△ ABD$中根据三角形内角和为$180°$，即可求出$∠ BAD$的度数。
【解析】
(1)$\because DE$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore AD=CD$，
$\because AB=AC=12$，$BC=15$，
$\therefore △ ABD$的周长$=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=12+15=27$。
(2)$\because AB=AC$，$∠ B=35°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=35°$，
又$\because AD=CD$，
$\therefore ∠ DAC=∠ C=35°$，
$\because ∠ ADB$是$△ ADC$的外角，
$\therefore ∠ ADB=∠ DAC+∠ C=35°+35°=70°$，
在$△ ABD$中，$∠ BAD=180°-∠ B-∠ ADB=180°-35°-70°=75°$。
【答案】
(1)$27$；(2)$75°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题侧重考查基础几何性质的应用，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段与角的等量转化，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
7. (东莞模拟)如图所示,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,已知$∠ CAD:∠ DAB=1:2$,则$∠ B$的度数是 (
A.$34°$
B.$36°$
C.$60°$
D.$72°$
B
)A.$34°$
B.$36°$
C.$60°$
D.$72°$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件“AB的垂直平分线交BC于D”入手，回忆线段垂直平分线的性质，可得出AD=BD，进而推出∠DAB=∠B；再结合∠CAD与∠DAB的比例关系，设未知数表示∠CAD、∠DAB、∠B，最后利用直角三角形两锐角和为90°的性质列方程求解，即可得到∠B的度数。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B。
已知∠CAD:∠DAB=1:2，设∠CAD=x，则∠DAB=2x，∠B=2x。
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠CAB + ∠B = 90°，即∠CAD + ∠DAB + ∠B = 90°，
代入得：$x + 2x + 2x = 90°$，
解得$x=18°$，
∴$∠ B=2x=2×18°=36°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是角度计算的常见题型，综合考查了线段垂直平分线、等腰三角形、直角三角形的相关性质，运用方程思想求解角度是这类题的常用技巧，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“AB的垂直平分线交BC于D”入手，回忆线段垂直平分线的性质，可得出AD=BD，进而推出∠DAB=∠B；再结合∠CAD与∠DAB的比例关系，设未知数表示∠CAD、∠DAB、∠B，最后利用直角三角形两锐角和为90°的性质列方程求解，即可得到∠B的度数。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B。
已知∠CAD:∠DAB=1:2，设∠CAD=x，则∠DAB=2x，∠B=2x。
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠CAB + ∠B = 90°，即∠CAD + ∠DAB + ∠B = 90°，
代入得：$x + 2x + 2x = 90°$，
解得$x=18°$，
∴$∠ B=2x=2×18°=36°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是角度计算的常见题型，综合考查了线段垂直平分线、等腰三角形、直角三角形的相关性质，运用方程思想求解角度是这类题的常用技巧，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
8. (延安模拟)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$为$BC$的中点,连接$AD$,$AC$的垂直平分线$EF$交$AB$于点$E$,交$AD$于点$O$,交$AC$于点$F$,连接$OB$,$OC$.
(1)求证:$△ AOB$是等腰三角形;
(2)若$∠ BAD=18°$,求$∠ AEF$的度数.
(1)求证:$△ AOB$是等腰三角形;
(2)若$∠ BAD=18°$,求$∠ AEF$的度数.
答案
8. (1)证明:因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,
所以 AD 是 BC 的垂直平分线,所以 OB=OC.
因为 EF 是 AC 的垂直平分线,所以 OA=OC,所以 OA=OB,
所以$△AOB$是等腰三角形.
(2)解:因为$EF⊥AC$,所以$∠AFE=90°$.
因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD 平分$∠BAC$,
所以$∠EAF=2∠BAD=36°$,所以$∠AEF=90°-∠EAF=54°$.
所以 AD 是 BC 的垂直平分线,所以 OB=OC.
因为 EF 是 AC 的垂直平分线,所以 OA=OC,所以 OA=OB,
所以$△AOB$是等腰三角形.
(2)解:因为$EF⊥AC$,所以$∠AFE=90°$.
因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD 平分$∠BAC$,
所以$∠EAF=2∠BAD=36°$,所以$∠AEF=90°-∠EAF=54°$.
解析
【分析】
(1)要证明△AOB是等腰三角形，核心是证明两条边相等，即OA=OB。首先根据等腰三角形三线合一的性质，结合AB=AC、D是BC中点的条件，可得AD垂直平分BC，由线段垂直平分线的性质推出OB=OC；再结合EF是AC的垂直平分线，可得OA=OC，通过等量代换得到OA=OB，即可完成证明。
(2)要求∠AEF的度数，已知EF⊥AC，△AEF是直角三角形，只需先求出∠BAC的度数即可。根据等腰三角形三线合一的性质，AD是∠BAC的角平分线，可得∠BAC=2∠BAD，再利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠BAC的度数即可得到∠AEF的度数。
【解析】
(1)证明：
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴OB=OC。
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形。
(2)解：
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=90°。
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠EAF=2∠BAD=2×18°=36°，
∴∠AEF=90°-∠EAF=90°-36°=54°。
【答案】
(1)△AOB是等腰三角形，证明如上；
(2)∠AEF的度数为54°
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何基础综合题，重点考察对基础几何性质的应用能力，解题关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、线段垂直平分线的性质，快速找到边的等量关系和角度的数量关系。
【难度系数】
0.8
(1)要证明△AOB是等腰三角形，核心是证明两条边相等，即OA=OB。首先根据等腰三角形三线合一的性质，结合AB=AC、D是BC中点的条件，可得AD垂直平分BC，由线段垂直平分线的性质推出OB=OC；再结合EF是AC的垂直平分线，可得OA=OC，通过等量代换得到OA=OB，即可完成证明。
(2)要求∠AEF的度数，已知EF⊥AC，△AEF是直角三角形，只需先求出∠BAC的度数即可。根据等腰三角形三线合一的性质，AD是∠BAC的角平分线，可得∠BAC=2∠BAD，再利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠BAC的度数即可得到∠AEF的度数。
【解析】
(1)证明：
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴OB=OC。
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形。
(2)解：
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=90°。
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠EAF=2∠BAD=2×18°=36°，
∴∠AEF=90°-∠EAF=90°-36°=54°。
【答案】
(1)△AOB是等腰三角形，证明如上；
(2)∠AEF的度数为54°
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何基础综合题，重点考察对基础几何性质的应用能力，解题关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、线段垂直平分线的性质，快速找到边的等量关系和角度的数量关系。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BC=8,△ABD是等边三角形,点P是∠BAC的平分线上一动点,连接PC,PD,则PC+PD的最小值为
5
。答案
9. 5
解析
【分析】
本题是最短路径求线段和最小值的题型，解题思路如下：①首先结合等腰三角形三线合一的性质，判断∠BAC的平分线AP是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得PC=PB，即可将PC+PD转化为PB+PD；②根据两点之间线段最短的原理，PB+PD的最小值就是点B到点D的线段长度；③结合等边三角形的边长相等，计算出BD的长度即可得到答案。
【解析】
解：连接PB
∵ AB=AC，AP平分∠BAC
∴ 由等腰三角形三线合一的性质可知，AP垂直平分BC
∵ 点P在AP上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
∴ PC=PB
∴ PC+PD = PB+PD
根据两点之间线段最短，当B、P、D三点共线时，PB+PD取得最小值，最小值为线段BD的长度
又
∵ △ABD是等边三角形，AB=5
∴ BD=AB=5
即PC+PD的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，最短路径问题
【点评】
本题属于常见的最短路径类考题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质和线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条线段和的最小值转化为两点之间的线段长度求解，解题时要注意结合已知的等边三角形条件求边长。
【难度系数】
0.6
本题是最短路径求线段和最小值的题型，解题思路如下：①首先结合等腰三角形三线合一的性质，判断∠BAC的平分线AP是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得PC=PB，即可将PC+PD转化为PB+PD；②根据两点之间线段最短的原理，PB+PD的最小值就是点B到点D的线段长度；③结合等边三角形的边长相等，计算出BD的长度即可得到答案。
【解析】
解：连接PB
∵ AB=AC，AP平分∠BAC
∴ 由等腰三角形三线合一的性质可知，AP垂直平分BC
∵ 点P在AP上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
∴ PC=PB
∴ PC+PD = PB+PD
根据两点之间线段最短，当B、P、D三点共线时，PB+PD取得最小值，最小值为线段BD的长度
又
∵ △ABD是等边三角形，AB=5
∴ BD=AB=5
即PC+PD的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，最短路径问题
【点评】
本题属于常见的最短路径类考题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质和线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条线段和的最小值转化为两点之间的线段长度求解，解题时要注意结合已知的等边三角形条件求边长。
【难度系数】
0.6
