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1. 下列说法中，正确的是 （
A.三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B.三角形的高就是顶点到对边的垂线
C.三角形的角平分线就是三角形的内角平分线
D.三角形的三条中线交于一点
D
）A.三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B.三角形的高就是顶点到对边的垂线
C.三角形的角平分线就是三角形的内角平分线
D.三角形的三条中线交于一点
答案
1. D
解析
【分析】
这是一道三角形三线概念的辨析题，解题时需先准确回忆三角形中线、高、角平分线的定义，明确三者都是线段，再逐一比对每个选项的描述，判断正误即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，而非直线，故A错误；
B选项：三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的垂线段，垂线是直线，高是线段，故B错误；
C选项：三角形的角平分线是平分三角形一个内角、且与对边相交，顶点和交点之间的线段，而三角形的内角平分线是射线，二者概念不同，故C错误；
D选项：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心，描述正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握三角形三类线段的定义，注意区分线段、射线、直线的不同属性，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
这是一道三角形三线概念的辨析题，解题时需先准确回忆三角形中线、高、角平分线的定义，明确三者都是线段，再逐一比对每个选项的描述，判断正误即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，而非直线，故A错误；
B选项：三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的垂线段，垂线是直线，高是线段，故B错误；
C选项：三角形的角平分线是平分三角形一个内角、且与对边相交，顶点和交点之间的线段，而三角形的内角平分线是射线，二者概念不同，故C错误；
D选项：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心，描述正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握三角形三类线段的定义，注意区分线段、射线、直线的不同属性，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
2. (昭通模拟)如图,在$△ ABC$中,若$CE=\frac{1}{3}BC=4$,$BD=\frac{1}{4}BC$,$CD$,$BE$是$△ ABC$的两条中线,则$△ ABC$的周长是 (
A.22
B.26
C.35
D.45
B
)A.22
B.26
C.35
D.45
答案
2. B
解析
【分析】
要计算△ABC的周长，需要先分别求出AB、BC、AC三边的长度，再求和。首先根据已知的CE与BC的数量关系先求出BC的长度；再结合BE是△ABC的中线，利用中线定义（中线平分对边）得到CE与AC的倍分关系，求出AC的长度；接着根据BD与BC的数量关系求出BD的长度，再结合CD是△ABC的中线，得到BD与AB的倍分关系，求出AB的长度；最后将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
1. 求BC的长度：
已知$CE=\frac{1}{3}BC=4$，因此$BC=4×3=12$。
2. 求AC的长度：
∵ BE是△ABC的中线，
∴ E是AC的中点，即$AC=2CE$。
∵ $CE=4$，
∴ $AC=2×4=8$。
3. 求AB的长度：
已知$BD=\frac{1}{4}BC$，代入$BC=12$得$BD=\frac{1}{4}×12=3$。
∵ CD是△ABC的中线，
∴ D是AB的中点，即$AB=2BD$。
∴ $AB=2×3=6$。
4. 计算周长：
△ABC的周长$=AB+BC+AC=6+12+8=26$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质，即三角形的中线平分对边，结合已知的线段倍分关系逐步求出三角形三边长度即可求解。
【难度系数】
0.7
要计算△ABC的周长，需要先分别求出AB、BC、AC三边的长度，再求和。首先根据已知的CE与BC的数量关系先求出BC的长度；再结合BE是△ABC的中线，利用中线定义（中线平分对边）得到CE与AC的倍分关系，求出AC的长度；接着根据BD与BC的数量关系求出BD的长度，再结合CD是△ABC的中线，得到BD与AB的倍分关系，求出AB的长度；最后将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
1. 求BC的长度：
已知$CE=\frac{1}{3}BC=4$，因此$BC=4×3=12$。
2. 求AC的长度：
∵ BE是△ABC的中线，
∴ E是AC的中点，即$AC=2CE$。
∵ $CE=4$，
∴ $AC=2×4=8$。
3. 求AB的长度：
已知$BD=\frac{1}{4}BC$，代入$BC=12$得$BD=\frac{1}{4}×12=3$。
∵ CD是△ABC的中线，
∴ D是AB的中点，即$AB=2BD$。
∴ $AB=2×3=6$。
4. 计算周长：
△ABC的周长$=AB+BC+AC=6+12+8=26$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质，即三角形的中线平分对边，结合已知的线段倍分关系逐步求出三角形三边长度即可求解。
【难度系数】
0.7
3.如图，老师在讲解三角形时，用手掌遮住了一个三角形的一部分，已知三角形的一边长为9，则另两边的长不可能的是 （
A.4,5
B.3,8
C.5,6
D.6,7
A
）A.4,5
B.3,8
C.5,6
D.6,7
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先明确三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形的一条边长为9，我们只需将每个选项的两条边长与9组合，验证是否满足三边关系即可，其中最简单的验证方法是：三个长度中，较小两个长度的和大于最大长度时，就能构成三角形，反之则不能。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，逐一验证选项：
选项A：两边长为4和5，$ 4 + 5 = 9 $，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，符合题意；
选项B：两边长为3和8，$ 3 + 8 = 11 ＞ 9 $，$ 8 - 3 = 5 ＜ 9 $，满足三边关系，可以构成三角形，不符合题意；
选项C：两边长为5和6，$ 5 + 6 = 11 ＞ 9 $，$ 6 - 5 = 1 ＜ 9 $，满足三边关系，可以构成三角形，不符合题意；
选项D：两边长为6和7，$ 6 + 7 = 13 ＞ 9 $，$ 7 - 6 = 1 ＜ 9 $，满足三边关系，可以构成三角形，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心是对三角形三边关系的理解，需要注意的是，当两边之和等于第三边时，三条线段共线，无法围成三角形，这是此类题的易错点。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先明确三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形的一条边长为9，我们只需将每个选项的两条边长与9组合，验证是否满足三边关系即可，其中最简单的验证方法是：三个长度中，较小两个长度的和大于最大长度时，就能构成三角形，反之则不能。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，逐一验证选项：
选项A：两边长为4和5，$ 4 + 5 = 9 $，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，符合题意；
选项B：两边长为3和8，$ 3 + 8 = 11 ＞ 9 $，$ 8 - 3 = 5 ＜ 9 $，满足三边关系，可以构成三角形，不符合题意；
选项C：两边长为5和6，$ 5 + 6 = 11 ＞ 9 $，$ 6 - 5 = 1 ＜ 9 $，满足三边关系，可以构成三角形，不符合题意；
选项D：两边长为6和7，$ 6 + 7 = 13 ＞ 9 $，$ 7 - 6 = 1 ＜ 9 $，满足三边关系，可以构成三角形，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心是对三角形三边关系的理解，需要注意的是，当两边之和等于第三边时，三条线段共线，无法围成三角形，这是此类题的易错点。
【难度系数】
0.9
4.已知等腰三角形的两边长分别是$m,n$,若$m,n$满足$|m-10|+(n-5)^2=0$,那么它的周长是（
A.15
B.20
C.20或25
D.25
D
）A.15
B.20
C.20或25
D.25
答案
4. D
解析
【分析】
解题分三步思考：第一步，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此求出m、n的取值；第二步，结合等腰三角形两边相等的性质，分腰长为m、腰长为n两种情况讨论；第三步，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断两种情况是否能构成三角形，舍去不符合的情况，最后计算符合要求的三角形周长。
【解析】
首先根据非负数的性质求解m、n的值：
∵ |m-10|≥0，(n-5)²≥0，且|m-10|+(n-5)²=0
∴ $\begin{cases}m-10=0 \\ n-5=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=10 \\ n=5\end{cases}$
已知等腰三角形两边长为10和5，分两种情况讨论：
1. 若腰长为5，底边长为10，此时三边长为5，5，10
∵ 5+5=10，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况；
2. 若腰长为10，底边长为5，此时三边长为10，10，5
∵ 5+10＞10，10+10＞5，满足三角形三边关系，可构成三角形，周长为10+10+5=25。
综上，三角形的周长为25，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是易错题，综合考察了代数非负性和几何三角形的相关性质，解题时最容易忽略三角形三边关系的验证，直接计算两种情况的周长误选C，做涉及三角形边长的题目时，一定要先验证三边是否满足构成三角形的条件。
【难度系数】
0.7
解题分三步思考：第一步，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此求出m、n的取值；第二步，结合等腰三角形两边相等的性质，分腰长为m、腰长为n两种情况讨论；第三步，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断两种情况是否能构成三角形，舍去不符合的情况，最后计算符合要求的三角形周长。
【解析】
首先根据非负数的性质求解m、n的值：
∵ |m-10|≥0，(n-5)²≥0，且|m-10|+(n-5)²=0
∴ $\begin{cases}m-10=0 \\ n-5=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=10 \\ n=5\end{cases}$
已知等腰三角形两边长为10和5，分两种情况讨论：
1. 若腰长为5，底边长为10，此时三边长为5，5，10
∵ 5+5=10，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况；
2. 若腰长为10，底边长为5，此时三边长为10，10，5
∵ 5+10＞10，10+10＞5，满足三角形三边关系，可构成三角形，周长为10+10+5=25。
综上，三角形的周长为25，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是易错题，综合考察了代数非负性和几何三角形的相关性质，解题时最容易忽略三角形三边关系的验证，直接计算两种情况的周长误选C，做涉及三角形边长的题目时，一定要先验证三边是否满足构成三角形的条件。
【难度系数】
0.7
5. 如图，直线 $ l_1 // l_2 $，$ ∠ 1 = 45° $，$ ∠ 2 = 75° $，则$ ∠ 3 $的度数为（
A.$ 70° $
B.$ 65° $
C.$ 60° $
D.$ 55° $
C
）A.$ 70° $
B.$ 65° $
C.$ 60° $
D.$ 55° $
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先利用平行线的性质转化已知角，再结合对顶角相等将已知角归集到同一个三角形中，最后用三角形内角和定理计算∠3的度数：第一步，由$l_1 // l_2$可得∠1的内错角与∠1相等，该角位于l₂下方的三角形内；第二步，∠2的对顶角与∠2相等，同样属于这个三角形的内角；第三步，根据三角形内角和为180°，用180°减去两个已知角的度数即可得到∠3的度数。
【解析】
∵ 直线 $l_1 // l_2$，根据两直线平行，内错角相等，
∴ 与$∠1$为内错角的角的度数为$45°$，该角是所求$∠3$所在三角形的一个内角。
又
∵ 对顶角相等，
∴ 与$∠2$为对顶角的角的度数为$75°$，该角也是$∠3$所在三角形的内角。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠3=180°-45°-75°=60°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过平行线、对顶角的性质将分散的已知角转化到同一个三角形中，考查了基础几何性质的应用能力，是常见的基础考点题型。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行线的性质转化已知角，再结合对顶角相等将已知角归集到同一个三角形中，最后用三角形内角和定理计算∠3的度数：第一步，由$l_1 // l_2$可得∠1的内错角与∠1相等，该角位于l₂下方的三角形内；第二步，∠2的对顶角与∠2相等，同样属于这个三角形的内角；第三步，根据三角形内角和为180°，用180°减去两个已知角的度数即可得到∠3的度数。
【解析】
∵ 直线 $l_1 // l_2$，根据两直线平行，内错角相等，
∴ 与$∠1$为内错角的角的度数为$45°$，该角是所求$∠3$所在三角形的一个内角。
又
∵ 对顶角相等，
∴ 与$∠2$为对顶角的角的度数为$75°$，该角也是$∠3$所在三角形的内角。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠3=180°-45°-75°=60°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过平行线、对顶角的性质将分散的已知角转化到同一个三角形中，考查了基础几何性质的应用能力，是常见的基础考点题型。
【难度系数】
0.8
