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6. (延安模拟)如图，$∠ 2=2∠ 1$，$∠ 3=70°$，$∠ 4=120°$，则$∠ 1$的度数是
25°
。答案
6. 25°
解析
【分析】
解题时利用三角形外角的性质建立角的等量关系即可求解：首先，∠3是△ABE的外角，可推出∠3=∠A+∠1，进而用含∠1的式子表示∠A；其次，∠4是△ABC的外角，可推出∠4=∠A+∠ABC，结合∠ABC=∠1+∠2、∠2=2∠1的条件，将∠A和∠ABC都替换为含∠1的式子，列方程就能求出∠1的度数。
【解析】
1. 由三角形外角的性质可知，∠3是△ABE的外角，因此：
$∠ 3 = ∠ A + ∠ 1$
已知$∠ 3=70°$，变形得$∠ A = 70° - ∠ 1$。
2. 同理，∠4是△ABC的外角，因此：
$∠ 4 = ∠ A + ∠ ABC$
其中$∠ ABC = ∠1 + ∠2$，结合已知$∠2=2∠1$，可得$∠ ABC = ∠1 + 2∠1 = 3∠1$。
3. 将$∠ A =70°-∠1$、$∠ ABC=3∠1$、$∠4=120°$代入$∠ 4 = ∠ A + ∠ ABC$，得：
$120° = (70° - ∠1) + 3∠1$
化简计算：
$120° =70° +2∠1$
$2∠1=50°$
$∠1=25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，核心考查三角形外角性质的应用，解题的关键是准确识别外角对应的两个不相邻内角，建立等量后代入已知条件求解即可。
【难度系数】
0.75
解题时利用三角形外角的性质建立角的等量关系即可求解：首先，∠3是△ABE的外角，可推出∠3=∠A+∠1，进而用含∠1的式子表示∠A；其次，∠4是△ABC的外角，可推出∠4=∠A+∠ABC，结合∠ABC=∠1+∠2、∠2=2∠1的条件，将∠A和∠ABC都替换为含∠1的式子，列方程就能求出∠1的度数。
【解析】
1. 由三角形外角的性质可知，∠3是△ABE的外角，因此：
$∠ 3 = ∠ A + ∠ 1$
已知$∠ 3=70°$，变形得$∠ A = 70° - ∠ 1$。
2. 同理，∠4是△ABC的外角，因此：
$∠ 4 = ∠ A + ∠ ABC$
其中$∠ ABC = ∠1 + ∠2$，结合已知$∠2=2∠1$，可得$∠ ABC = ∠1 + 2∠1 = 3∠1$。
3. 将$∠ A =70°-∠1$、$∠ ABC=3∠1$、$∠4=120°$代入$∠ 4 = ∠ A + ∠ ABC$，得：
$120° = (70° - ∠1) + 3∠1$
化简计算：
$120° =70° +2∠1$
$2∠1=50°$
$∠1=25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，核心考查三角形外角性质的应用，解题的关键是准确识别外角对应的两个不相邻内角，建立等量后代入已知条件求解即可。
【难度系数】
0.75
7.(榆林模拟)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点P,△ABC的外角∠ACD的平分线与BP的延长线交于点Q,若∠Q=$\frac{1}{2}$∠CPQ,则∠A的度数为
60°
.答案
7. 60°
解析
【分析】
解题时先利用角平分线的定义和三角形外角的性质，推导∠Q和∠A的数量关系；再根据∠ACB和∠ACD是邻补角，结合两条角平分线的性质得到∠PCQ为直角；最后利用直角三角形两锐角互余的性质，结合题目给出的∠Q和∠CPQ的关系求出∠Q的度数，进而算出∠A的度数。
【解析】
1. 推导∠Q与∠A的关系：
∵ BQ平分∠ABC，CQ平分∠ACD
∴ $∠ QBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ QCD=\frac{1}{2}∠ ACD$
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ $∠ ACD=∠ A+∠ ABC$
∵ ∠QCD是△QBC的外角，
∴ $∠ QCD=∠ Q+∠ QBC$
∴ $∠ Q=∠ QCD-∠ QBC=\frac{1}{2}∠ ACD-\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}(∠ ACD-∠ ABC)=\frac{1}{2}∠ A$ ①
2. 求∠PCQ的度数：
∵ CP平分∠ACB，CQ平分∠ACD
∴ $∠ ACP=\frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ ACQ=\frac{1}{2}∠ ACD$
∵ $∠ ACB+∠ ACD=180°$（邻补角的定义）
∴ $∠ PCQ=∠ ACP+∠ ACQ=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ ACD)=90°$
△PCQ为直角三角形，故$∠ Q+∠ CPQ=90°$
3. 计算∠A的度数：
由题知$∠ Q=\frac{1}{2}∠ CPQ$，即$∠ CPQ=2∠ Q$，代入上式得：
$∠ Q+2∠ Q=90°$，解得$∠ Q=30°$
将$∠ Q=30°$代入①式，得$30°=\frac{1}{2}∠ A$，故$∠ A=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题综合考查了角平分线性质和三角形内外角的相关计算，解题的关键是挖掘出$∠ Q=\frac{1}{2}∠ A$、$∠ PCQ=90°$这两个隐含结论，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
解题时先利用角平分线的定义和三角形外角的性质，推导∠Q和∠A的数量关系；再根据∠ACB和∠ACD是邻补角，结合两条角平分线的性质得到∠PCQ为直角；最后利用直角三角形两锐角互余的性质，结合题目给出的∠Q和∠CPQ的关系求出∠Q的度数，进而算出∠A的度数。
【解析】
1. 推导∠Q与∠A的关系：
∵ BQ平分∠ABC，CQ平分∠ACD
∴ $∠ QBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ QCD=\frac{1}{2}∠ ACD$
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ $∠ ACD=∠ A+∠ ABC$
∵ ∠QCD是△QBC的外角，
∴ $∠ QCD=∠ Q+∠ QBC$
∴ $∠ Q=∠ QCD-∠ QBC=\frac{1}{2}∠ ACD-\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}(∠ ACD-∠ ABC)=\frac{1}{2}∠ A$ ①
2. 求∠PCQ的度数：
∵ CP平分∠ACB，CQ平分∠ACD
∴ $∠ ACP=\frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ ACQ=\frac{1}{2}∠ ACD$
∵ $∠ ACB+∠ ACD=180°$（邻补角的定义）
∴ $∠ PCQ=∠ ACP+∠ ACQ=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ ACD)=90°$
△PCQ为直角三角形，故$∠ Q+∠ CPQ=90°$
3. 计算∠A的度数：
由题知$∠ Q=\frac{1}{2}∠ CPQ$，即$∠ CPQ=2∠ Q$，代入上式得：
$∠ Q+2∠ Q=90°$，解得$∠ Q=30°$
将$∠ Q=30°$代入①式，得$30°=\frac{1}{2}∠ A$，故$∠ A=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题综合考查了角平分线性质和三角形内外角的相关计算，解题的关键是挖掘出$∠ Q=\frac{1}{2}∠ A$、$∠ PCQ=90°$这两个隐含结论，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
8. 下列语句中,是定义的是 （
A.点 A 到点 B 的距离是 3 cm
B.两直线平行,同位角相等
C.直角都相等
D.两边相等的三角形是等腰三角形
D
）A.点 A 到点 B 的距离是 3 cm
B.两直线平行,同位角相等
C.直角都相等
D.两边相等的三角形是等腰三角形
答案
8. D
解析
【分析】
要判断哪个语句是定义，首先要明确定义的本质：定义是对名称或术语的含义作出明确规定的语句，作用是明确某个概念“是什么”，区别于普通的事实陈述、性质定理等真命题。接下来我们逐个分析每个选项是否符合定义的特征即可得出答案。
【解析】
首先明确定义的判定标准：对某一概念的含义进行明确、唯一的规定的语句属于定义。
选项A：仅陈述了点A到点B的距离这一具体事实，没有对任何概念的含义作出规定，不属于定义；
选项B：是平行线的性质定理，是经过证明得到的真命题，描述的是平行线的特征，不是对某个概念的定义，不属于定义；
选项C：描述的是直角的性质，属于真命题，但没有对“直角”的含义作出规定，不属于定义；
选项D：明确规定了“两边相等的三角形”叫做等腰三角形，是对等腰三角形这一概念的含义的明确规定，属于定义。
综上，符合要求的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
定义的识别；几何命题辨析
【点评】
本题主要考查对定义与普通命题、定理的区分能力，解题核心是抓住定义“明确规定概念含义”这一本质特征，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
要判断哪个语句是定义，首先要明确定义的本质：定义是对名称或术语的含义作出明确规定的语句，作用是明确某个概念“是什么”，区别于普通的事实陈述、性质定理等真命题。接下来我们逐个分析每个选项是否符合定义的特征即可得出答案。
【解析】
首先明确定义的判定标准：对某一概念的含义进行明确、唯一的规定的语句属于定义。
选项A：仅陈述了点A到点B的距离这一具体事实，没有对任何概念的含义作出规定，不属于定义；
选项B：是平行线的性质定理，是经过证明得到的真命题，描述的是平行线的特征，不是对某个概念的定义，不属于定义；
选项C：描述的是直角的性质，属于真命题，但没有对“直角”的含义作出规定，不属于定义；
选项D：明确规定了“两边相等的三角形”叫做等腰三角形，是对等腰三角形这一概念的含义的明确规定，属于定义。
综上，符合要求的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
定义的识别；几何命题辨析
【点评】
本题主要考查对定义与普通命题、定理的区分能力，解题核心是抓住定义“明确规定概念含义”这一本质特征，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
9. 下列命题中是假命题的是 （
A.两直线平行，同旁内角互补
B.若 $ x^2 ＞ 9 $，则 $ x ＞ 3 $
C.若 $ a // b, a ⊥ c $，那么 $ b ⊥ c $
D.对顶角相等
B
）A.两直线平行，同旁内角互补
B.若 $ x^2 ＞ 9 $，则 $ x ＞ 3 $
C.若 $ a // b, a ⊥ c $，那么 $ b ⊥ c $
D.对顶角相等
答案
9. B
解析
【分析】
要判断哪个是假命题，首先明确假命题的定义：当命题的题设成立时，不能保证结论一定成立的命题就是假命题。解题时可以逐一分析每个选项对应的知识点，验证命题的真假，也可以通过举反例的方式快速判断假命题。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，该命题是真命题，不符合题意；
B. 若$x^2＞9$，则$x＞3$或$x＜-3$，例如取$x=-4$，此时$x^2=16＞9$，满足题设，但$x=-4＜3$，不满足结论，因此该命题是假命题，符合题意；
C. 根据平行线的推论：如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线，因此若$a// b,a⊥ c$，则$b⊥ c$，该命题是真命题，不符合题意；
D. 对顶角相等是对顶角的基本性质，该命题是真命题，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，不等式的解集，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，考查对常见数学结论的掌握程度，判断命题真假时可以通过举反例的方法快速验证，降低解题难度。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是假命题，首先明确假命题的定义：当命题的题设成立时，不能保证结论一定成立的命题就是假命题。解题时可以逐一分析每个选项对应的知识点，验证命题的真假，也可以通过举反例的方式快速判断假命题。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，该命题是真命题，不符合题意；
B. 若$x^2＞9$，则$x＞3$或$x＜-3$，例如取$x=-4$，此时$x^2=16＞9$，满足题设，但$x=-4＜3$，不满足结论，因此该命题是假命题，符合题意；
C. 根据平行线的推论：如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线，因此若$a// b,a⊥ c$，则$b⊥ c$，该命题是真命题，不符合题意；
D. 对顶角相等是对顶角的基本性质，该命题是真命题，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，不等式的解集，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，考查对常见数学结论的掌握程度，判断命题真假时可以通过举反例的方法快速验证，降低解题难度。
【难度系数】
0.9
10.命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是
该逆命题是
周长相等的三角形是全等三角形
，该逆命题是
假
(填“真”或“假”)命题.答案
10. 周长相等的三角形是全等三角形 假
解析
【分析】
首先要明确逆命题的改写规则：逆命题是将原命题的题设和结论互换位置得到的命题。第一步先拆分原命题“全等三角形的周长相等”的题设和结论：原命题的题设为“两个三角形是全等三角形”，结论为“这两个三角形的周长相等”，互换题设和结论就能得到逆命题。接下来判断逆命题的真假：只要能举出一个符合逆命题的题设，但不符合逆命题结论的反例，就能证明该命题是假命题，可通过列举两组周长相等但边长不全相等的三角形验证。
【解析】
1. 改写逆命题：
将原命题“全等三角形的周长相等”改写为标准的“如果…那么…”形式：“如果两个三角形是全等三角形，那么它们的周长相等”。互换题设和结论后得到：“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形是全等三角形”，简化表述为“周长相等的三角形是全等三角形”。
2. 判断命题真假：
全等三角形要求三组对应边、三组对应角都完全相等。举反例：边长为3、4、5的三角形周长是12，边长为4、4、4的等边三角形周长也是12，两个三角形周长相等，但边长、角度都不相同，显然不全等，因此该逆命题是假命题。
【答案】
周长相等的三角形是全等三角形；假
【知识点】
逆命题的改写、真假命题判断、全等三角形的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对命题相关概念的理解，解题关键是准确拆分原命题的题设和结论，判断假命题只需举出一个反例即可。
【难度系数】
0.8
首先要明确逆命题的改写规则：逆命题是将原命题的题设和结论互换位置得到的命题。第一步先拆分原命题“全等三角形的周长相等”的题设和结论：原命题的题设为“两个三角形是全等三角形”，结论为“这两个三角形的周长相等”，互换题设和结论就能得到逆命题。接下来判断逆命题的真假：只要能举出一个符合逆命题的题设，但不符合逆命题结论的反例，就能证明该命题是假命题，可通过列举两组周长相等但边长不全相等的三角形验证。
【解析】
1. 改写逆命题：
将原命题“全等三角形的周长相等”改写为标准的“如果…那么…”形式：“如果两个三角形是全等三角形，那么它们的周长相等”。互换题设和结论后得到：“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形是全等三角形”，简化表述为“周长相等的三角形是全等三角形”。
2. 判断命题真假：
全等三角形要求三组对应边、三组对应角都完全相等。举反例：边长为3、4、5的三角形周长是12，边长为4、4、4的等边三角形周长也是12，两个三角形周长相等，但边长、角度都不相同，显然不全等，因此该逆命题是假命题。
【答案】
周长相等的三角形是全等三角形；假
【知识点】
逆命题的改写、真假命题判断、全等三角形的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对命题相关概念的理解，解题关键是准确拆分原命题的题设和结论，判断假命题只需举出一个反例即可。
【难度系数】
0.8
11. 如图, 在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,$CE ⊥ AB$于点$E$,$AD$与$CE$相交于点$F$.
请你添加一个适当的条件,使$△ AEF ≌ △ CEB$.下列添加的条件中不正确的是
（
A.$EF=EB$
B.$EA=EC$
C.$AF=CB$
D.$∠ AFE=∠ B$
请你添加一个适当的条件,使$△ AEF ≌ △ CEB$.下列添加的条件中不正确的是
（
D
）A.$EF=EB$
B.$EA=EC$
C.$AF=CB$
D.$∠ AFE=∠ B$
答案
11. D
解析
【分析】
首先根据已知的垂直关系，可得出△AEF和△CEB都为直角三角形，再利用同角的余角相等推出两个三角形已有两组角对应相等，要判定全等只需添加一组对应边相等即可，接下来逐一分析各选项的条件是否符合全等三角形的判定定理即可。
【解析】
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEF=∠CEB=∠ADB=90°，
∴∠EAF + ∠B = 90°，∠ECB + ∠B = 90°，
∴∠EAF=∠ECB。
对各选项逐一判断：
A. 若添加EF=EB，在△AEF和△CEB中，$\{\begin{array}{l}∠ EAF=∠ ECB\\ ∠ AEF=∠ CEB\\ EF=EB\end{array} $，满足AAS判定定理，可证△AEF≌△CEB，不符合题意；
B. 若添加EA=EC，在△AEF和△CEB中，$\{\begin{array}{l}∠ EAF=∠ ECB\\ EA=EC\\ ∠ AEF=∠ CEB\end{array} $，满足ASA判定定理，可证△AEF≌△CEB，不符合题意；
C. 若添加AF=CB，在△AEF和△CEB中，$\{\begin{array}{l}∠ EAF=∠ ECB\\ ∠ AEF=∠ CEB\\ AF=CB\end{array} $，满足AAS判定定理，可证△AEF≌△CEB，不符合题意；
D. 若添加∠AFE=∠B，此时仅能得到两个三角形三组角对应相等（AAA），AAA不能判定三角形全等，无法证明△AEF≌△CEB，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定；同角的余角相等
【点评】
本题解题核心是先推导得到两个三角形已有的两组等角，再结合全等三角形的判定定理判断新增条件是否有效，需特别注意三个角对应相等仅能证明三角形相似，不能证明全等。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的垂直关系，可得出△AEF和△CEB都为直角三角形，再利用同角的余角相等推出两个三角形已有两组角对应相等，要判定全等只需添加一组对应边相等即可，接下来逐一分析各选项的条件是否符合全等三角形的判定定理即可。
【解析】
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEF=∠CEB=∠ADB=90°，
∴∠EAF + ∠B = 90°，∠ECB + ∠B = 90°，
∴∠EAF=∠ECB。
对各选项逐一判断：
A. 若添加EF=EB，在△AEF和△CEB中，$\{\begin{array}{l}∠ EAF=∠ ECB\\ ∠ AEF=∠ CEB\\ EF=EB\end{array} $，满足AAS判定定理，可证△AEF≌△CEB，不符合题意；
B. 若添加EA=EC，在△AEF和△CEB中，$\{\begin{array}{l}∠ EAF=∠ ECB\\ EA=EC\\ ∠ AEF=∠ CEB\end{array} $，满足ASA判定定理，可证△AEF≌△CEB，不符合题意；
C. 若添加AF=CB，在△AEF和△CEB中，$\{\begin{array}{l}∠ EAF=∠ ECB\\ ∠ AEF=∠ CEB\\ AF=CB\end{array} $，满足AAS判定定理，可证△AEF≌△CEB，不符合题意；
D. 若添加∠AFE=∠B，此时仅能得到两个三角形三组角对应相等（AAA），AAA不能判定三角形全等，无法证明△AEF≌△CEB，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定；同角的余角相等
【点评】
本题解题核心是先推导得到两个三角形已有的两组等角，再结合全等三角形的判定定理判断新增条件是否有效，需特别注意三个角对应相等仅能证明三角形相似，不能证明全等。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在$△ ABC$中，点D在边BC上，$CD=AB$，$DE// AB$，$∠ DCE=∠ A$. 求证：$DE=BC$.
答案
12. 证明:因为 DE//AB,所以∠EDC=∠B.
在△CDE和△ABC中,{∠EDC=∠B,CD=AB,∠DCE=∠A,
所以△CDE≌△ABC(ASA),
所以DE=BC.
在△CDE和△ABC中,{∠EDC=∠B,CD=AB,∠DCE=∠A,
所以△CDE≌△ABC(ASA),
所以DE=BC.
解析
【分析】
要证明DE=BC，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先根据已知DE//AB，利用平行线的性质可得到一组对应角∠EDC=∠B；结合题目给出的CD=AB、∠DCE=∠A，刚好满足角边角（ASA）的全等判定条件，可证△CDE≌△ABC，再根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ EDC=∠ B$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ CDE$和$△ ABC$中：
$\begin{cases}∠ EDC=∠ B, \\CD=AB, \\∠ DCE=∠ A,\end{cases}$
$\therefore △ CDE≌△ ABC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore DE=BC$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
证明:因为 DE//AB,所以∠EDC=∠B.
在△CDE和△ABC中,$\begin{cases}∠EDC=∠B,\\CD=AB,\\∠DCE=∠A,\end{cases}$
所以△CDE≌△ABC(ASA),
所以DE=BC.
【知识点】
平行线的性质；全等三角形ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，主要考查平行线性质与全等三角形相关定理的综合运用，解题关键是找准全等三角形，梳理清楚已知条件中对应的角、边相等关系，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明DE=BC，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先根据已知DE//AB，利用平行线的性质可得到一组对应角∠EDC=∠B；结合题目给出的CD=AB、∠DCE=∠A，刚好满足角边角（ASA）的全等判定条件，可证△CDE≌△ABC，再根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ EDC=∠ B$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ CDE$和$△ ABC$中：
$\begin{cases}∠ EDC=∠ B, \\CD=AB, \\∠ DCE=∠ A,\end{cases}$
$\therefore △ CDE≌△ ABC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore DE=BC$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
证明:因为 DE//AB,所以∠EDC=∠B.
在△CDE和△ABC中,$\begin{cases}∠EDC=∠B,\\CD=AB,\\∠DCE=∠A,\end{cases}$
所以△CDE≌△ABC(ASA),
所以DE=BC.
【知识点】
平行线的性质；全等三角形ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，主要考查平行线性质与全等三角形相关定理的综合运用，解题关键是找准全等三角形，梳理清楚已知条件中对应的角、边相等关系，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13. 如图，已知$AC=BD$，$∠ A=∠ B$，$∠ E=∠ F$.
(1)求证：$△ ADF ≌ △ BCE$；
(2)若$∠ A=40°$，$∠ E=20°$，求$∠ 1$的度数.
(1)求证：$△ ADF ≌ △ BCE$；
(2)若$∠ A=40°$，$∠ E=20°$，求$∠ 1$的度数.
答案
13. (1)证明:因为 AC=BD,
所以 AC−CD=BD−CD,
所以 AD=BC.
在△ADF和△BCE中,{∠F=∠E,∠A=∠B,AD=BC,
所以△ADF≌△BCE(AAS).
(2)解:因为∠B=∠A=40°,∠E=20°,
所以∠1=∠B+∠E=40°+20°=60°.
所以 AC−CD=BD−CD,
所以 AD=BC.
在△ADF和△BCE中,{∠F=∠E,∠A=∠B,AD=BC,
所以△ADF≌△BCE(AAS).
(2)解:因为∠B=∠A=40°,∠E=20°,
所以∠1=∠B+∠E=40°+20°=60°.
解析
【分析】
(1) 要证明△ADF≌△BCE，已知已有两组对应角相等：∠A=∠B、∠E=∠F，还缺一组对应边相等的条件。结合已知AC=BD，两条线段同时减去公共部分CD，即可得到AD=BC，恰好满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 求∠1的度数时，观察图形可知∠1是△BCE的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知∠E=20°，∠B和∠A相等为40°，直接代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AC=BD$，
∴ $AC-CD=BD-CD$，即 $AD=BC$。
在$△ ADF$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}∠F=∠E \\∠A=∠B \\AD=BC\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ BCE(\mathrm{AAS})$。
(2) 解：
由已知得$∠B=∠A=40°$，
∵ $∠1$是$△ BCE$的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，
∴ $∠1=∠B+∠E$，
代入$∠B=40°$，$∠E=20°$，得：
$∠1=40°+20°=60°$。
【答案】
(1) 已证$△ ADF ≌ △ BCE$；
(2) $∠1=60°$
【知识点】
全等三角形AAS判定；三角形外角性质；线段和差计算
【点评】
本题是几何基础题型，解题核心是先通过线段的和差关系得到全等判定所需的对应边，结合已知角的条件即可完成全等证明；第二问直接利用外角性质计算，解题逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△ADF≌△BCE，已知已有两组对应角相等：∠A=∠B、∠E=∠F，还缺一组对应边相等的条件。结合已知AC=BD，两条线段同时减去公共部分CD，即可得到AD=BC，恰好满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 求∠1的度数时，观察图形可知∠1是△BCE的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知∠E=20°，∠B和∠A相等为40°，直接代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AC=BD$，
∴ $AC-CD=BD-CD$，即 $AD=BC$。
在$△ ADF$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}∠F=∠E \\∠A=∠B \\AD=BC\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ BCE(\mathrm{AAS})$。
(2) 解：
由已知得$∠B=∠A=40°$，
∵ $∠1$是$△ BCE$的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，
∴ $∠1=∠B+∠E$，
代入$∠B=40°$，$∠E=20°$，得：
$∠1=40°+20°=60°$。
【答案】
(1) 已证$△ ADF ≌ △ BCE$；
(2) $∠1=60°$
【知识点】
全等三角形AAS判定；三角形外角性质；线段和差计算
【点评】
本题是几何基础题型，解题核心是先通过线段的和差关系得到全等判定所需的对应边，结合已知角的条件即可完成全等证明；第二问直接利用外角性质计算，解题逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
