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1. 下列各式中,不是二次根式的是(
A.$\sqrt{45}$
B.$\sqrt{3 - π}$
C.$\sqrt{a^2 + 2}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B
).A.$\sqrt{45}$
B.$\sqrt{3 - π}$
C.$\sqrt{a^2 + 2}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二次根式，需依据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子是二次根式，核心判定条件是被开方数必须为非负数。解题时只需逐个计算每个选项中被开方数的取值范围，若被开方数小于0，则该式子不是二次根式。
【解析】
根据二次根式的定义可知，只有被开方数为非负数时，式子才是二次根式：
选项A：被开方数为$45$，$45＞0$，因此$\sqrt{45}$是二次根式，不符合题意；
选项B：因为$π\approx3.14＞3$，所以被开方数$3-π＜0$，不符合二次根式的定义，因此$\sqrt{3-π}$不是二次根式，符合题意；
选项C：由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此被开方数$a^2+2≥2＞0$，$\sqrt{a^2+2}$是二次根式，不符合题意；
选项D：被开方数为$\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{2}＞0$，因此$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$是二次根式，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的定义 2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的判定，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须是非负数。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是不是二次根式，需依据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子是二次根式，核心判定条件是被开方数必须为非负数。解题时只需逐个计算每个选项中被开方数的取值范围，若被开方数小于0，则该式子不是二次根式。
【解析】
根据二次根式的定义可知，只有被开方数为非负数时，式子才是二次根式：
选项A：被开方数为$45$，$45＞0$，因此$\sqrt{45}$是二次根式，不符合题意；
选项B：因为$π\approx3.14＞3$，所以被开方数$3-π＜0$，不符合二次根式的定义，因此$\sqrt{3-π}$不是二次根式，符合题意；
选项C：由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此被开方数$a^2+2≥2＞0$，$\sqrt{a^2+2}$是二次根式，不符合题意；
选项D：被开方数为$\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{2}＞0$，因此$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$是二次根式，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的定义 2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的判定，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须是非负数。
【难度系数】
0.8
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(
A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{y^3}$
D.$\sqrt{a^2 + 1}$
D
).A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{y^3}$
D.$\sqrt{a^2 + 1}$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需逐个验证选项是否满足这两个条件，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
首先明确最简二次根式需同时满足两个条件：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。
选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$的被开方数含有分母，不符合条件，不是最简二次根式，可化简为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
选项B：$\sqrt{8}$的被开方数8含能开得尽方的因数4，不符合条件，不是最简二次根式，可化简为$2\sqrt{2}$；
选项C：$\sqrt{y^3}$的被开方数$y^3$含能开得尽方的因式$y^2$，不符合条件，不是最简二次根式，可化简为$y\sqrt{y}$；
选项D：$\sqrt{a^2+1}$的被开方数$a^2+1$既没有分母，也不存在能开得尽方的因数或因式，满足最简二次根式的条件。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对最简二次根式判定规则的掌握，熟练记住两个判定条件即可快速通过排除法得出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是最简二次根式，首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需逐个验证选项是否满足这两个条件，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
首先明确最简二次根式需同时满足两个条件：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。
选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$的被开方数含有分母，不符合条件，不是最简二次根式，可化简为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
选项B：$\sqrt{8}$的被开方数8含能开得尽方的因数4，不符合条件，不是最简二次根式，可化简为$2\sqrt{2}$；
选项C：$\sqrt{y^3}$的被开方数$y^3$含能开得尽方的因式$y^2$，不符合条件，不是最简二次根式，可化简为$y\sqrt{y}$；
选项D：$\sqrt{a^2+1}$的被开方数$a^2+1$既没有分母，也不存在能开得尽方的因数或因式，满足最简二次根式的条件。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对最简二次根式判定规则的掌握，熟练记住两个判定条件即可快速通过排除法得出正确答案。
【难度系数】
0.8
3. 将$\sqrt{8a^3}$化为最简二次根式，得(
A.$2a\sqrt{2a}$
B.$4\sqrt{2a^3}$
C.$2\sqrt{2a^3}$
D.$2a\sqrt{4a}$
A
).A.$2a\sqrt{2a}$
B.$4\sqrt{2a^3}$
C.$2\sqrt{2a^3}$
D.$2a\sqrt{4a}$
答案
3.A
解析
【分析】
要将二次根式化为最简二次根式，首先需明确最简二次根式的要求：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数的因数是整数、因式是整式。解题第一步先根据二次根式有意义的条件，判断出被开方数$8a^3≥0$，可得$a≥0$；再将被开方数拆分为完全平方因数（式）和剩余部分的乘积，最后利用二次根式的性质将完全平方部分开方移出根号即可。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件可知，$8a^3≥0$，因此$a≥0$。
对被开方数拆分变形可得：
$\sqrt{8a^3}=\sqrt{4× a^2× 2a}$
根据二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{4× a^2× 2a}=\sqrt{4}×\sqrt{a^2}×\sqrt{2a}=2× a×\sqrt{2a}=2a\sqrt{2a}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式；二次根式的性质；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，解题的关键是先确定被开方数中字母的取值范围，再正确拆分被开方数，提取所有能开得尽方的因数或因式，避免出现开方不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
要将二次根式化为最简二次根式，首先需明确最简二次根式的要求：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数的因数是整数、因式是整式。解题第一步先根据二次根式有意义的条件，判断出被开方数$8a^3≥0$，可得$a≥0$；再将被开方数拆分为完全平方因数（式）和剩余部分的乘积，最后利用二次根式的性质将完全平方部分开方移出根号即可。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件可知，$8a^3≥0$，因此$a≥0$。
对被开方数拆分变形可得：
$\sqrt{8a^3}=\sqrt{4× a^2× 2a}$
根据二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{4× a^2× 2a}=\sqrt{4}×\sqrt{a^2}×\sqrt{2a}=2× a×\sqrt{2a}=2a\sqrt{2a}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式；二次根式的性质；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，解题的关键是先确定被开方数中字母的取值范围，再正确拆分被开方数，提取所有能开得尽方的因数或因式，避免出现开方不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
4. 下列运算正确的是(
A.$\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{5^2} - \sqrt{4^2} = 5 - 4 = 1$
B.$\sqrt{(-16) × (-25)} = \sqrt{-16} × \sqrt{-25} = -4 × (-5) = 20$
C.$\sqrt{(\frac{5}{13})^2 + (\frac{12}{13})^2} = \frac{5}{13} + \frac{12}{13} = \frac{17}{13}$
D.$\sqrt{4^2 × 7} = \sqrt{4^2} × \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$
D
).A.$\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{5^2} - \sqrt{4^2} = 5 - 4 = 1$
B.$\sqrt{(-16) × (-25)} = \sqrt{-16} × \sqrt{-25} = -4 × (-5) = 20$
C.$\sqrt{(\frac{5}{13})^2 + (\frac{12}{13})^2} = \frac{5}{13} + \frac{12}{13} = \frac{17}{13}$
D.$\sqrt{4^2 × 7} = \sqrt{4^2} × \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算规则，解题思路如下：首先明确二次根式的核心运算要求：一是算术平方根的被开方数必须为非负数，负数没有算术平方根；二是二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$仅在$a≥0,b≥0$时成立；三是不存在$\sqrt{a\pm b}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$的运算规则，被开方数为和差形式时需先计算被开方数的结果再开方。接下来逐一验证四个选项的运算是否符合上述规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：二次根式没有“差的开方等于开方的差”的运算规则，正确计算应为$\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，原运算错误，排除A；
B选项：负数没有算术平方根，$\sqrt{-16}$、$\sqrt{-25}$本身无意义，正确运算应为$\sqrt{(-16)×(-25)}=\sqrt{16×25}=\sqrt{16}×\sqrt{25}=4×5=20$，原运算过程错误，排除B；
C选项：二次根式没有“和的开方等于开方的和”的运算规则，正确计算应为$\sqrt{(\frac{5}{13})^2 + (\frac{12}{13})^2}=\sqrt{\frac{25+144}{169}}=\sqrt{\frac{169}{169}}=1$，原运算错误，排除C；
D选项：符合二次根式乘法法则，运算过程$\sqrt{4^2×7}=\sqrt{4^2}×\sqrt{7}=4\sqrt{7}$完全正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；二次根式乘法法则；算术平方根的定义
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查对二次根式运算规则的理解和辨析，易错点是容易忽略被开方数非负的前提，或者误用和差的开方运算规则。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的运算规则，解题思路如下：首先明确二次根式的核心运算要求：一是算术平方根的被开方数必须为非负数，负数没有算术平方根；二是二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$仅在$a≥0,b≥0$时成立；三是不存在$\sqrt{a\pm b}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$的运算规则，被开方数为和差形式时需先计算被开方数的结果再开方。接下来逐一验证四个选项的运算是否符合上述规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：二次根式没有“差的开方等于开方的差”的运算规则，正确计算应为$\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，原运算错误，排除A；
B选项：负数没有算术平方根，$\sqrt{-16}$、$\sqrt{-25}$本身无意义，正确运算应为$\sqrt{(-16)×(-25)}=\sqrt{16×25}=\sqrt{16}×\sqrt{25}=4×5=20$，原运算过程错误，排除B；
C选项：二次根式没有“和的开方等于开方的和”的运算规则，正确计算应为$\sqrt{(\frac{5}{13})^2 + (\frac{12}{13})^2}=\sqrt{\frac{25+144}{169}}=\sqrt{\frac{169}{169}}=1$，原运算错误，排除C；
D选项：符合二次根式乘法法则，运算过程$\sqrt{4^2×7}=\sqrt{4^2}×\sqrt{7}=4\sqrt{7}$完全正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；二次根式乘法法则；算术平方根的定义
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查对二次根式运算规则的理解和辨析，易错点是容易忽略被开方数非负的前提，或者误用和差的开方运算规则。
【难度系数】
0.7
5. 要使式子$\frac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义，则实数$a$的取值范围是（
A.$a≥ -1$
B.$a≠2$
C.$a≥ -1$且$a≠2$
D.$a＞2$
C
）.A.$a≥ -1$
B.$a≠2$
C.$a≥ -1$且$a≠2$
D.$a＞2$
答案
5.C
解析
【分析】
要确定代数式有意义时a的取值范围，需要分别考虑式子中不同结构的取值要求：首先式子包含二次根式，二次根式的被开方数必须是非负数才能保证二次根式有意义；其次式子是分式形式，分式的分母不能为0，否则分式无意义。我们分别列出对应的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，就是a的最终取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式被开方数非负：$a+1≥0$，解得$a≥-1$；
2. 分式分母不为0：$a-2≠0$，解得$a≠2$。
综合两个条件可得，a的取值范围是$a≥-1$且$a≠2$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础常考题，解题时需注意要同时满足代数式中所有部分的有意义条件，不能遗漏任意一个限制要求，避免出现只考虑二次根式或只考虑分式的错误。
【难度系数】
0.8
要确定代数式有意义时a的取值范围，需要分别考虑式子中不同结构的取值要求：首先式子包含二次根式，二次根式的被开方数必须是非负数才能保证二次根式有意义；其次式子是分式形式，分式的分母不能为0，否则分式无意义。我们分别列出对应的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，就是a的最终取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式被开方数非负：$a+1≥0$，解得$a≥-1$；
2. 分式分母不为0：$a-2≠0$，解得$a≠2$。
综合两个条件可得，a的取值范围是$a≥-1$且$a≠2$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础常考题，解题时需注意要同时满足代数式中所有部分的有意义条件，不能遗漏任意一个限制要求，避免出现只考虑二次根式或只考虑分式的错误。
【难度系数】
0.8
6.若$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+y}=0$，则$y$的值为（
A.0
B.1
C.$-1$
D.2
C
）.A.0
B.1
C.$-1$
D.2
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的性质：算术平方根具有非负性，即$\sqrt{a} ≥ 0$（$a≥0$）。已知两个非负的二次根式相加和为0，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此可以分别令两个二次根号对应的被开方数相关式子等于0，先求出x的值，再代入计算y的值即可。
【解析】
解：
∵二次根式的运算结果为非负数
∴$\sqrt{x-1} ≥ 0$，$\sqrt{x+y} ≥ 0$
又
∵$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+y}=0$
根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x-1=0 \\x+y=0\end{cases}$
解第一个方程得：$x=1$
将$x=1$代入第二个方程：$1+y=0$，解得$y=-1$
【答案】
C
【知识点】
二次根式的非负性；非负数的性质
【点评】
本题属于二次根式模块的基础常考题，解题核心是熟练掌握二次根式的非负性，以及“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的性质：算术平方根具有非负性，即$\sqrt{a} ≥ 0$（$a≥0$）。已知两个非负的二次根式相加和为0，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此可以分别令两个二次根号对应的被开方数相关式子等于0，先求出x的值，再代入计算y的值即可。
【解析】
解：
∵二次根式的运算结果为非负数
∴$\sqrt{x-1} ≥ 0$，$\sqrt{x+y} ≥ 0$
又
∵$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+y}=0$
根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x-1=0 \\x+y=0\end{cases}$
解第一个方程得：$x=1$
将$x=1$代入第二个方程：$1+y=0$，解得$y=-1$
【答案】
C
【知识点】
二次根式的非负性；非负数的性质
【点评】
本题属于二次根式模块的基础常考题，解题核心是熟练掌握二次根式的非负性，以及“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 如果$ab＞0,a+b＜0$,那么下列各式:①$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$;②$\sqrt{\dfrac{a}{b}}·\sqrt{\dfrac{b}{a}}=1$;③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=-b$.其中正确的是(
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
B
).A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
7.B
解析
【分析】
首先根据已知条件$ab＞0$、$a+b＜0$判断$a$、$b$的符号：两数乘积为正说明同号，和为负说明两个数均为负数，即$a＜0$，$b＜0$。再结合二次根式有意义的条件、二次根式乘除运算法则、$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，逐一验证三个式子的正确性即可。
【解析】
解：$\because ab＞0$，$\therefore a$、$b$同号，
又$\because a+b＜0$，$\therefore a＜0$，$b＜0$。
① 二次根式$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$有意义的前提是$a≥0$、$b≥0$，但本题中$a＜0$、$b＜0$，$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$无意义，故①错误；
② $\because \frac{a}{b}＞0$，$\frac{b}{a}＞0$，符合二次根式乘法的条件，
$\therefore \sqrt{\dfrac{a}{b}}·\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}·\dfrac{b}{a}}=\sqrt{1}=1$，故②正确；
③ $\because ab＞0$，$\frac{a}{b}＞0$，符合二次根式除法的条件，
$\therefore \sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab÷ \dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab·\dfrac{b}{a}}=\sqrt{b^2}$，
又$\because b＜0$，$\therefore \sqrt{b^2}=|b|=-b$，故③正确。
综上，②③正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式乘除运算；二次根式的性质
【点评】
本题的易错点是忽略二次根式被开方数必须非负的要求，误判①正确。解题时需先确定字母的符号，再结合二次根式的运算法则和化简规则验证，化简$\sqrt{x^2}$时要注意根据$x$的正负去绝对值。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件$ab＞0$、$a+b＜0$判断$a$、$b$的符号：两数乘积为正说明同号，和为负说明两个数均为负数，即$a＜0$，$b＜0$。再结合二次根式有意义的条件、二次根式乘除运算法则、$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，逐一验证三个式子的正确性即可。
【解析】
解：$\because ab＞0$，$\therefore a$、$b$同号，
又$\because a+b＜0$，$\therefore a＜0$，$b＜0$。
① 二次根式$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$有意义的前提是$a≥0$、$b≥0$，但本题中$a＜0$、$b＜0$，$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$无意义，故①错误；
② $\because \frac{a}{b}＞0$，$\frac{b}{a}＞0$，符合二次根式乘法的条件，
$\therefore \sqrt{\dfrac{a}{b}}·\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}·\dfrac{b}{a}}=\sqrt{1}=1$，故②正确；
③ $\because ab＞0$，$\frac{a}{b}＞0$，符合二次根式除法的条件，
$\therefore \sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab÷ \dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab·\dfrac{b}{a}}=\sqrt{b^2}$，
又$\because b＜0$，$\therefore \sqrt{b^2}=|b|=-b$，故③正确。
综上，②③正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式乘除运算；二次根式的性质
【点评】
本题的易错点是忽略二次根式被开方数必须非负的要求，误判①正确。解题时需先确定字母的符号，再结合二次根式的运算法则和化简规则验证，化简$\sqrt{x^2}$时要注意根据$x$的正负去绝对值。
【难度系数】
0.7
