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8. 实数 $ a, b $ 在数轴上的位置如图所示，化简 $ |a + b| - \sqrt{a^2} - \sqrt[3]{(a - b)^3} = (\quad) $.
A.$ -a $
B.$ -3a $
C.$ 2b + a $
D.$ 2b - a $
A.$ -a $
B.$ -3a $
C.$ 2b + a $
D.$ 2b - a $
答案
8.B
解析
【分析】
首先根据数轴上点的位置，判断出a、b的符号以及绝对值的大小关系，确定a+b、a、a-b的正负；再结合绝对值的性质、二次根式$\sqrt{a^2}=|a|$的性质、立方根$\sqrt[3]{x^3}=x$的性质，将原式中的各项分别化简，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知：$b＜0＜a$，且$|b|＞|a|$，因此可得：
$a+b＜0$，$a-b＞0$。
根据相关性质逐项化简：
1. 绝对值化简：$|a+b|=-(a+b)=-a-b$（负数的绝对值等于它的相反数）；
2. 二次根式化简：$\sqrt{a^2}=|a|=a$（$a＞0$，正数的绝对值是它本身）；
3. 立方根化简：$\sqrt[3]{(a-b)^3}=a-b$（开立方与立方运算互为逆运算）。
将化简后的项代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(-a-b)-a-(a-b)\\&=-a-b-a-a+b\\&=-3a\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值与立方根化简
【点评】
本题是代数化简类的典型题型，解题核心是先通过数轴判断未知字母的正负和大小关系，再结合各类运算的性质对式子进行化简，需要注意去括号时的符号变化，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴上点的位置，判断出a、b的符号以及绝对值的大小关系，确定a+b、a、a-b的正负；再结合绝对值的性质、二次根式$\sqrt{a^2}=|a|$的性质、立方根$\sqrt[3]{x^3}=x$的性质，将原式中的各项分别化简，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知：$b＜0＜a$，且$|b|＞|a|$，因此可得：
$a+b＜0$，$a-b＞0$。
根据相关性质逐项化简：
1. 绝对值化简：$|a+b|=-(a+b)=-a-b$（负数的绝对值等于它的相反数）；
2. 二次根式化简：$\sqrt{a^2}=|a|=a$（$a＞0$，正数的绝对值是它本身）；
3. 立方根化简：$\sqrt[3]{(a-b)^3}=a-b$（开立方与立方运算互为逆运算）。
将化简后的项代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(-a-b)-a-(a-b)\\&=-a-b-a-a+b\\&=-3a\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值与立方根化简
【点评】
本题是代数化简类的典型题型，解题核心是先通过数轴判断未知字母的正负和大小关系，再结合各类运算的性质对式子进行化简，需要注意去括号时的符号变化，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
9. 在化简$\frac{m - n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲：$\frac{m - n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \frac{(m - n)(\sqrt{m} - \sqrt{n})}{(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n})} = \frac{(m - n)(\sqrt{m} - \sqrt{n})}{(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2} = \sqrt{m} - \sqrt{n}$；
乙：$\frac{m - n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n})}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \sqrt{m} - \sqrt{n}$。
那么两人的解法(
A.两人的解法都对
B.甲错乙对
C.甲对乙错
D.两人都错
甲：$\frac{m - n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \frac{(m - n)(\sqrt{m} - \sqrt{n})}{(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n})} = \frac{(m - n)(\sqrt{m} - \sqrt{n})}{(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2} = \sqrt{m} - \sqrt{n}$；
乙：$\frac{m - n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n})}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \sqrt{m} - \sqrt{n}$。
那么两人的解法(
B
)。A.两人的解法都对
B.甲错乙对
C.甲对乙错
D.两人都错
答案
9.B
解析
【分析】
要判断两人解法是否正确，需结合分式的基本性质分析：分式的分子分母同乘或除以的整式必须不为0。首先看甲的解法：甲对分母有理化时，分子分母同乘$\sqrt{m}-\sqrt{n}$，但未考虑当$m=n$时，$\sqrt{m}-\sqrt{n}=0$，此时该操作不符合分式的基本性质，存在漏洞。再看乙的解法：先将分子用平方差公式分解因式，因为原式有意义的前提是分母$\sqrt{m}+\sqrt{n}≠0$，因此可直接约去公因式，操作符合要求，因此乙对甲错。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
1. 分析甲的解法：
甲进行分母有理化时，分子分母同时乘$\sqrt{m}-\sqrt{n}$，但没有考虑到当$m=n$时，$\sqrt{m}-\sqrt{n}=0$，此时乘以0不符合分式的基本性质，因此甲的解法错误。
2. 分析乙的解法：
原式$\frac{m - n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$有意义的前提是$\sqrt{m}+\sqrt{n}≠0$，且$m≥0$，$n≥0$。
乙将分子$m-n$变形为$(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2$，利用平方差公式分解得：
$(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2=(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n})$
此时因为$\sqrt{m}+\sqrt{n}≠0$，可以直接约去分子分母的公因式$\sqrt{m}+\sqrt{n}$，得到$\sqrt{m}-\sqrt{n}$，该过程符合分式的基本性质，因此乙的解法正确。
综上，甲错乙对，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质，二次根式化简，平方差公式
【点评】
本题易错点是容易忽略分母有理化时所乘因式不能为0的要求，解题时要注意运算的前提条件是否成立，避免忽略特殊情况导致判断错误。
【难度系数】
0.6
要判断两人解法是否正确，需结合分式的基本性质分析：分式的分子分母同乘或除以的整式必须不为0。首先看甲的解法：甲对分母有理化时，分子分母同乘$\sqrt{m}-\sqrt{n}$，但未考虑当$m=n$时，$\sqrt{m}-\sqrt{n}=0$，此时该操作不符合分式的基本性质，存在漏洞。再看乙的解法：先将分子用平方差公式分解因式，因为原式有意义的前提是分母$\sqrt{m}+\sqrt{n}≠0$，因此可直接约去公因式，操作符合要求，因此乙对甲错。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
1. 分析甲的解法：
甲进行分母有理化时，分子分母同时乘$\sqrt{m}-\sqrt{n}$，但没有考虑到当$m=n$时，$\sqrt{m}-\sqrt{n}=0$，此时乘以0不符合分式的基本性质，因此甲的解法错误。
2. 分析乙的解法：
原式$\frac{m - n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$有意义的前提是$\sqrt{m}+\sqrt{n}≠0$，且$m≥0$，$n≥0$。
乙将分子$m-n$变形为$(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2$，利用平方差公式分解得：
$(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2=(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n})$
此时因为$\sqrt{m}+\sqrt{n}≠0$，可以直接约去分子分母的公因式$\sqrt{m}+\sqrt{n}$，得到$\sqrt{m}-\sqrt{n}$，该过程符合分式的基本性质，因此乙的解法正确。
综上，甲错乙对，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质，二次根式化简，平方差公式
【点评】
本题易错点是容易忽略分母有理化时所乘因式不能为0的要求，解题时要注意运算的前提条件是否成立，避免忽略特殊情况导致判断错误。
【难度系数】
0.6
10. 若式子$\sqrt{4 - 4a + a^2} + \sqrt{a^2 - 8a + 16}$的值为2，那么$a$的取值范围是(
A.$a≤4$
B.$a≥2$
C.$a=2$或$a=4$
D.$2≤ a≤4$
D
).A.$a≤4$
B.$a≥2$
C.$a=2$或$a=4$
D.$2≤ a≤4$
答案
10.D
解析
【分析】
本题可先利用完全平方公式将根号内的多项式变形，再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为两个绝对值相加的形式，最后通过分段讨论去掉绝对值符号，结合原式值为2的条件，即可求出$a$的取值范围。
【解析】
先对根号内的式子因式分解：
$4-4a+a^2=(a-2)^2$，$a^2-8a+16=(a-4)^2$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可化简为：
$\sqrt{(a-2)^2}+\sqrt{(a-4)^2}=|a-2|+|a-4|$
已知该式的值为2，即$|a-2|+|a-4|=2$，分三类情况讨论：
1. 当$a＜2$时，$a-2＜0$，$a-4＜0$，去绝对值得：
$|a-2|+|a-4|=2-a+4-a=6-2a$
令$6-2a=2$，解得$a=2$，不符合$a＜2$的前提，舍去；
2. 当$2≤ a≤4$时，$a-2≥0$，$a-4≤0$，去绝对值得：
$|a-2|+|a-4|=a-2+4-a=2$，恰好满足原式值为2，符合条件；
3. 当$a＞4$时，$a-2＞0$，$a-4＞0$，去绝对值得：
$|a-2|+|a-4|=a-2+a-4=2a-6$
令$2a-6=2$，解得$a=4$，不符合$a＞4$的前提，舍去；
综上，$a$的取值范围是$2≤ a≤4$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简与绝对值运算的综合题，解题的核心是熟练掌握二次根式的性质，将原式转化为绝对值和的形式，再通过分段讨论或数轴上两点距离的几何意义快速求解，能有效考查学生的分类讨论能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
本题可先利用完全平方公式将根号内的多项式变形，再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为两个绝对值相加的形式，最后通过分段讨论去掉绝对值符号，结合原式值为2的条件，即可求出$a$的取值范围。
【解析】
先对根号内的式子因式分解：
$4-4a+a^2=(a-2)^2$，$a^2-8a+16=(a-4)^2$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可化简为：
$\sqrt{(a-2)^2}+\sqrt{(a-4)^2}=|a-2|+|a-4|$
已知该式的值为2，即$|a-2|+|a-4|=2$，分三类情况讨论：
1. 当$a＜2$时，$a-2＜0$，$a-4＜0$，去绝对值得：
$|a-2|+|a-4|=2-a+4-a=6-2a$
令$6-2a=2$，解得$a=2$，不符合$a＜2$的前提，舍去；
2. 当$2≤ a≤4$时，$a-2≥0$，$a-4≤0$，去绝对值得：
$|a-2|+|a-4|=a-2+4-a=2$，恰好满足原式值为2，符合条件；
3. 当$a＞4$时，$a-2＞0$，$a-4＞0$，去绝对值得：
$|a-2|+|a-4|=a-2+a-4=2a-6$
令$2a-6=2$，解得$a=4$，不符合$a＞4$的前提，舍去；
综上，$a$的取值范围是$2≤ a≤4$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简与绝对值运算的综合题，解题的核心是熟练掌握二次根式的性质，将原式转化为绝对值和的形式，再通过分段讨论或数轴上两点距离的几何意义快速求解，能有效考查学生的分类讨论能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11. 已知$|x - y + 2| + \sqrt{x + y - 2} = 0$，则$x^2 - y^2$的值为
11. 已知$|x - y + 2| + \sqrt{x + y - 2} = 0$，则$x^2 - y^2$的值为
-4
。答案
11.-4
解析
【分析】
本题可根据非负数的性质求解，解题思路如下：首先，绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，据此可列出关于x、y的等式，求出x-y和x+y的值；再观察所求代数式$x^2-y^2$，可利用平方差公式因式分解为$(x-y)(x+y)$，最后将求出的$x-y$和$x+y$的值整体代入计算即可，无需单独求解x、y的具体值，可简化运算。
【解析】
解：
∵绝对值和二次根式的结果均为非负数，即
$|x - y + 2| ≥ 0$，$\sqrt{x + y - 2} ≥ 0$
又
∵$|x - y + 2| + \sqrt{x + y - 2} = 0$
∴可得：
$\begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases}$
整理得：$x - y = -2$，$x + y = 2$
根据平方差公式，$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
将$x - y = -2$，$x + y = 2$代入得：
$x^2 - y^2 = (-2) × 2 = -4$
【答案】
-4
【知识点】
非负数的性质、平方差公式、二次根式的非负性
【点评】
本题属于基础题，核心考查非负数的性质与代数式求值的结合，解题的关键是明确“若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”，利用整体代入的方法计算可有效提升解题效率，即使单独求解x、y的值也可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题可根据非负数的性质求解，解题思路如下：首先，绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，据此可列出关于x、y的等式，求出x-y和x+y的值；再观察所求代数式$x^2-y^2$，可利用平方差公式因式分解为$(x-y)(x+y)$，最后将求出的$x-y$和$x+y$的值整体代入计算即可，无需单独求解x、y的具体值，可简化运算。
【解析】
解：
∵绝对值和二次根式的结果均为非负数，即
$|x - y + 2| ≥ 0$，$\sqrt{x + y - 2} ≥ 0$
又
∵$|x - y + 2| + \sqrt{x + y - 2} = 0$
∴可得：
$\begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases}$
整理得：$x - y = -2$，$x + y = 2$
根据平方差公式，$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
将$x - y = -2$，$x + y = 2$代入得：
$x^2 - y^2 = (-2) × 2 = -4$
【答案】
-4
【知识点】
非负数的性质、平方差公式、二次根式的非负性
【点评】
本题属于基础题，核心考查非负数的性质与代数式求值的结合，解题的关键是明确“若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”，利用整体代入的方法计算可有效提升解题效率，即使单独求解x、y的值也可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
12. 化简：$(\sqrt{5} - 2)^{2024} × (\sqrt{5} + 2)^{2025} =$
$\sqrt{5}+2$
.答案
12.$\sqrt{5}+2$
解析
【分析】
观察待化简的式子，首先发现两个幂的底数$\sqrt{5}-2$和$\sqrt{5}+2$满足平方差公式的形式，二者相乘结果为1，是简化运算的突破口；其次两个幂的指数仅相差1，因此可以将指数更高的$(\sqrt{5}+2)^{2025}$拆分为$(\sqrt{5}+2)^{2024}×(\sqrt{5}+2)$，再逆用积的乘方运算法则，将同指数的两个幂先算底数乘积，再计算乘方，即可快速化简。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{5}-2)^{2024}×(\sqrt{5}+2)^{2024}×(\sqrt{5}+2)\\&=[(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}+2)]^{2024}×(\sqrt{5}+2)\\&=[(\sqrt{5})^2 - 2^2]^{2024}×(\sqrt{5}+2)\\&=(5-4)^{2024}×(\sqrt{5}+2)\\&=1^{2024}×(\sqrt{5}+2)\\&=\sqrt{5}+2\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{5}+2$
【知识点】
积的乘方逆运算、平方差公式、二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，核心是通过观察底数的结构特征，结合幂的运算性质对式子进行合理变形，利用平方差公式得到特殊值简化计算，考验对运算公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
观察待化简的式子，首先发现两个幂的底数$\sqrt{5}-2$和$\sqrt{5}+2$满足平方差公式的形式，二者相乘结果为1，是简化运算的突破口；其次两个幂的指数仅相差1，因此可以将指数更高的$(\sqrt{5}+2)^{2025}$拆分为$(\sqrt{5}+2)^{2024}×(\sqrt{5}+2)$，再逆用积的乘方运算法则，将同指数的两个幂先算底数乘积，再计算乘方，即可快速化简。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{5}-2)^{2024}×(\sqrt{5}+2)^{2024}×(\sqrt{5}+2)\\&=[(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}+2)]^{2024}×(\sqrt{5}+2)\\&=[(\sqrt{5})^2 - 2^2]^{2024}×(\sqrt{5}+2)\\&=(5-4)^{2024}×(\sqrt{5}+2)\\&=1^{2024}×(\sqrt{5}+2)\\&=\sqrt{5}+2\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{5}+2$
【知识点】
积的乘方逆运算、平方差公式、二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，核心是通过观察底数的结构特征，结合幂的运算性质对式子进行合理变形，利用平方差公式得到特殊值简化计算，考验对运算公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
13.若$a,b$都为实数，且$b=2024\sqrt{a-2}+2025\sqrt{2-a}$，则$a=$
2
，$a^b=$1
。答案
13.2 1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需利用二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。题目中两个根号内的式子a-2和2-a互为相反数，只有当二者都等于0时才能同时满足非负的要求，由此可先求出a的值，再代入求出b的值，最后计算$a^b$即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}a-2≥0 \quad \mathrm{①} \\2-a≥0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①得：$a≥2$
解不等式②得：$a≤2$
因此a只能取2，即$a=2$。
将$a=2$代入$b=2024\sqrt{a-2}+2025\sqrt{2-a}$中，得：
$b=2024×\sqrt{0}+2025×\sqrt{0}=0$
再计算$a^b$，根据非零数的0次幂等于1，可得：
$a^b=2^0=1$
【答案】
2；1
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 零指数幂的性质
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，解题的核心是抓住二次根式被开方数非负的特征列不等式组确定a的取值，再代入计算即可，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需利用二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。题目中两个根号内的式子a-2和2-a互为相反数，只有当二者都等于0时才能同时满足非负的要求，由此可先求出a的值，再代入求出b的值，最后计算$a^b$即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}a-2≥0 \quad \mathrm{①} \\2-a≥0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①得：$a≥2$
解不等式②得：$a≤2$
因此a只能取2，即$a=2$。
将$a=2$代入$b=2024\sqrt{a-2}+2025\sqrt{2-a}$中，得：
$b=2024×\sqrt{0}+2025×\sqrt{0}=0$
再计算$a^b$，根据非零数的0次幂等于1，可得：
$a^b=2^0=1$
【答案】
2；1
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 零指数幂的性质
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，解题的核心是抓住二次根式被开方数非负的特征列不等式组确定a的取值，再代入计算即可，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
14.若实数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示,则化简$\sqrt{(a+c)^2} - |b - c| =$
$-a-b$
答案
14.$-a-b$
解析
【分析】
解题时首先根据数轴上数的位置规律：数轴上右侧的数总大于左侧的数，先判断出a、b、c的大小关系，以及各数的正负、绝对值的大小关系；再分别判断二次根式内的a+c和绝对值内的b-c的正负性；接下来结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，以及绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉根号和绝对值符号，最后去括号合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
根据数轴可得：$ c ＜ b ＜ 0 ＜ a $，且$ |c| ＞ |a| $
1. 判断$a+c$的符号：
因为$c$为负数，且$|c| ＞ |a|$，因此$a + c ＜ 0$，根据二次根式的性质：
$ \sqrt{(a+c)^2} = |a+c| = -(a+c) = -a -c $
2. 判断$b - c$的符号：
因为$b ＞ c$，因此$b - c ＞ 0$，根据绝对值的性质：
$ |b - c| = b - c $
3. 代入原式化简：
$\begin{aligned}\sqrt{(a+c)^2} - |b - c|&= (-a -c) - (b - c)\\&=-a -c -b + c\\&=-a -b\end{aligned}$
【答案】
$-a-b$
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，解题的核心是先借助数轴确定待化简式子中各部分的正负性，再结合相关性质去符号，计算时要注意去括号时的符号变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据数轴上数的位置规律：数轴上右侧的数总大于左侧的数，先判断出a、b、c的大小关系，以及各数的正负、绝对值的大小关系；再分别判断二次根式内的a+c和绝对值内的b-c的正负性；接下来结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，以及绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉根号和绝对值符号，最后去括号合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
根据数轴可得：$ c ＜ b ＜ 0 ＜ a $，且$ |c| ＞ |a| $
1. 判断$a+c$的符号：
因为$c$为负数，且$|c| ＞ |a|$，因此$a + c ＜ 0$，根据二次根式的性质：
$ \sqrt{(a+c)^2} = |a+c| = -(a+c) = -a -c $
2. 判断$b - c$的符号：
因为$b ＞ c$，因此$b - c ＞ 0$，根据绝对值的性质：
$ |b - c| = b - c $
3. 代入原式化简：
$\begin{aligned}\sqrt{(a+c)^2} - |b - c|&= (-a -c) - (b - c)\\&=-a -c -b + c\\&=-a -b\end{aligned}$
【答案】
$-a-b$
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，解题的核心是先借助数轴确定待化简式子中各部分的正负性，再结合相关性质去符号，计算时要注意去括号时的符号变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
15.若$m=\dfrac{2020}{\sqrt{2021}-1}$，则$m^3 - m^2 - 2022m + 2020=$
4040
答案
15.4040
解析
【分析】
首先观察m的表达式，分母含有二次根式，直接代入多项式计算运算量过大，因此解题思路分为两步：第一步先对m进行分母有理化，得到m的最简形式；第二步通过对最简形式变形得到m满足的低次整式关系，再将所求多项式降幂变形，用整体代入的方法计算结果，大幅简化运算。
【解析】
步骤1：对m进行分母有理化
$\begin{aligned}m&=\frac{2020}{\sqrt{2021}-1}\\&=\frac{2020×(\sqrt{2021}+1)}{(\sqrt{2021}-1)(\sqrt{2021}+1)}\\&=\frac{2020(\sqrt{2021}+1)}{2021-1}\\&=\sqrt{2021}+1\end{aligned}$
步骤2：推导m满足的整式关系
由$m=\sqrt{2021}+1$移项得$m-1=\sqrt{2021}$，两边平方：
$\begin{aligned}(m-1)^2&=(\sqrt{2021})^2\\m^2-2m+1&=2021\\m^2-2m&=2020\end{aligned}$
步骤3：对所求多项式降幂变形，整体代入计算
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=m^3 - m^2 - 2022m + 2020\\&=m· m^2 - m^2 - 2022m + 2020\\&\mathrm{将}m^2=2m+2020\mathrm{代入得：}\\&=m(2m+2020) - m^2 - 2022m + 2020\\&=2m^2 + 2020m - m^2 - 2022m + 2020\\&=m^2 - 2m + 2020\\&\mathrm{将}m^2-2m=2020\mathrm{代入得：}\\&=2020 + 2020 = 4040\end{aligned}$
【答案】
4040
【知识点】
1. 分母有理化
2. 代数式化简求值
3. 整体代入法
【点评】
本题是二次根式与整式运算结合的典型题型，核心考查化简运算能力，解题的关键是先化简含二次根式的参数，再通过变形得到低次整式关系，避免直接代入带来的复杂计算，能有效考查转化思想和运算技巧。
【难度系数】
0.6
首先观察m的表达式，分母含有二次根式，直接代入多项式计算运算量过大，因此解题思路分为两步：第一步先对m进行分母有理化，得到m的最简形式；第二步通过对最简形式变形得到m满足的低次整式关系，再将所求多项式降幂变形，用整体代入的方法计算结果，大幅简化运算。
【解析】
步骤1：对m进行分母有理化
$\begin{aligned}m&=\frac{2020}{\sqrt{2021}-1}\\&=\frac{2020×(\sqrt{2021}+1)}{(\sqrt{2021}-1)(\sqrt{2021}+1)}\\&=\frac{2020(\sqrt{2021}+1)}{2021-1}\\&=\sqrt{2021}+1\end{aligned}$
步骤2：推导m满足的整式关系
由$m=\sqrt{2021}+1$移项得$m-1=\sqrt{2021}$，两边平方：
$\begin{aligned}(m-1)^2&=(\sqrt{2021})^2\\m^2-2m+1&=2021\\m^2-2m&=2020\end{aligned}$
步骤3：对所求多项式降幂变形，整体代入计算
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=m^3 - m^2 - 2022m + 2020\\&=m· m^2 - m^2 - 2022m + 2020\\&\mathrm{将}m^2=2m+2020\mathrm{代入得：}\\&=m(2m+2020) - m^2 - 2022m + 2020\\&=2m^2 + 2020m - m^2 - 2022m + 2020\\&=m^2 - 2m + 2020\\&\mathrm{将}m^2-2m=2020\mathrm{代入得：}\\&=2020 + 2020 = 4040\end{aligned}$
【答案】
4040
【知识点】
1. 分母有理化
2. 代数式化简求值
3. 整体代入法
【点评】
本题是二次根式与整式运算结合的典型题型，核心考查化简运算能力，解题的关键是先化简含二次根式的参数，再通过变形得到低次整式关系，避免直接代入带来的复杂计算，能有效考查转化思想和运算技巧。
【难度系数】
0.6
