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三、解答题
16. 计算：
(1) $\sqrt[3]{-8} + \sqrt{12} -9\sqrt{\frac{1}{3}} + (3\sqrt{2} +4)(3\sqrt{2} -4)$；
(2) $\sqrt{18} × (1 - \sqrt{\frac{1}{6}}) - \sqrt{6} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}}$。
16. 计算：
(1) $\sqrt[3]{-8} + \sqrt{12} -9\sqrt{\frac{1}{3}} + (3\sqrt{2} +4)(3\sqrt{2} -4)$；
(2) $\sqrt{18} × (1 - \sqrt{\frac{1}{6}}) - \sqrt{6} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}}$。
答案
16.(1)$-\sqrt{3}$
(2)$2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(2)$2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
本题是二次根式混合运算题，解题遵循"先化简、再运算、最后合并同类二次根式"的原则：
(1) 先拆分运算单元：分别计算立方根、二次根式化简、二次根式乘法（可利用平方差公式简化计算），再将所有结果合并同类二次根式即可。
(2) 按照四则运算顺序，先算乘除、后算加减，有括号先算括号内的运算：先计算二次根式的乘法、除法，再将所有项化为最简二次根式，最后合并同类二次根式得到结果，计算时注意符号规则。
【解析】
(1) 分别计算各部分：
$\sqrt[3]{-8} = -2$，
$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，
$9\sqrt{\frac{1}{3}} = 9×\frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$，
利用平方差公式计算：$(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)=(3\sqrt{2})^2 - 4^2 = 18 - 16 = 2$，
合并同类项得：
原式$=-2 + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2 = -\sqrt{3}$
(2) 按先乘除后加减的顺序计算：
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
$\sqrt{18}×(1-\sqrt{\frac{1}{6}})=3\sqrt{2} - 3\sqrt{2×\frac{1}{6}} = 3\sqrt{2} - \sqrt{3}$，
$\sqrt{6}÷\sqrt{3} = \sqrt{6÷3} = \sqrt{2}$，
$\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
合并同类项得：
原式$=3\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3}$
【答案】
(1)$-\sqrt{3}$
(2)$2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的化简规则、运算法则及常用乘法公式的应用，计算时需注意每一步化简的准确性，避免符号或计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式混合运算题，解题遵循"先化简、再运算、最后合并同类二次根式"的原则：
(1) 先拆分运算单元：分别计算立方根、二次根式化简、二次根式乘法（可利用平方差公式简化计算），再将所有结果合并同类二次根式即可。
(2) 按照四则运算顺序，先算乘除、后算加减，有括号先算括号内的运算：先计算二次根式的乘法、除法，再将所有项化为最简二次根式，最后合并同类二次根式得到结果，计算时注意符号规则。
【解析】
(1) 分别计算各部分：
$\sqrt[3]{-8} = -2$，
$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，
$9\sqrt{\frac{1}{3}} = 9×\frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$，
利用平方差公式计算：$(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)=(3\sqrt{2})^2 - 4^2 = 18 - 16 = 2$，
合并同类项得：
原式$=-2 + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2 = -\sqrt{3}$
(2) 按先乘除后加减的顺序计算：
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
$\sqrt{18}×(1-\sqrt{\frac{1}{6}})=3\sqrt{2} - 3\sqrt{2×\frac{1}{6}} = 3\sqrt{2} - \sqrt{3}$，
$\sqrt{6}÷\sqrt{3} = \sqrt{6÷3} = \sqrt{2}$，
$\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
合并同类项得：
原式$=3\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3}$
【答案】
(1)$-\sqrt{3}$
(2)$2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的化简规则、运算法则及常用乘法公式的应用，计算时需注意每一步化简的准确性，避免符号或计算错误。
【难度系数】
0.7
17.若$x,y$是实数，且$y=\sqrt{4x-1}+\sqrt{1-4x}+\frac{1}{3}$，求$3\sqrt{\frac{y}{x}}$的值。
答案
17.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
要计算$3\sqrt{\frac{y}{x}}$的值，需先求出$x$、$y$的取值。观察$y$的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，可列出关于$x$的不等式组，求解得到$x$的值，再代入表达式求出$y$的值，最后将$x$、$y$代入待求式化简计算即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可得：
$\begin{cases}4x-1≥0 \\1-4x≥0 \end{cases}$
由$4x-1≥0$得$x≥\frac{1}{4}$，由$1-4x≥0$得$x≤\frac{1}{4}$，因此$x=\frac{1}{4}$。
将$x=\frac{1}{4}$代入$y=\sqrt{4x-1}+\sqrt{1-4x}+\frac{1}{3}$，得：
$y=0+0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$
将$x=\frac{1}{4}$，$y=\frac{1}{3}$代入$3\sqrt{\frac{y}{x}}$：
先计算$\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$，
则$3\sqrt{\frac{y}{x}}=3\sqrt{\frac{4}{3}}=3×\frac{2\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式化简求值
【点评】
本题核心是利用二次根式的非负性确定未知数的值，解题突破口是发现两个被开方数互为相反数，因此只能同时为0，进而求出x、y后代入计算，是二次根式章节的基础常考题。
【难度系数】
0.7
要计算$3\sqrt{\frac{y}{x}}$的值，需先求出$x$、$y$的取值。观察$y$的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，可列出关于$x$的不等式组，求解得到$x$的值，再代入表达式求出$y$的值，最后将$x$、$y$代入待求式化简计算即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可得：
$\begin{cases}4x-1≥0 \\1-4x≥0 \end{cases}$
由$4x-1≥0$得$x≥\frac{1}{4}$，由$1-4x≥0$得$x≤\frac{1}{4}$，因此$x=\frac{1}{4}$。
将$x=\frac{1}{4}$代入$y=\sqrt{4x-1}+\sqrt{1-4x}+\frac{1}{3}$，得：
$y=0+0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$
将$x=\frac{1}{4}$，$y=\frac{1}{3}$代入$3\sqrt{\frac{y}{x}}$：
先计算$\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$，
则$3\sqrt{\frac{y}{x}}=3\sqrt{\frac{4}{3}}=3×\frac{2\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式化简求值
【点评】
本题核心是利用二次根式的非负性确定未知数的值，解题突破口是发现两个被开方数互为相反数，因此只能同时为0，进而求出x、y后代入计算，是二次根式章节的基础常考题。
【难度系数】
0.7
18. 已知 $ a = \frac{1}{2+\sqrt{3}} $，求 $ \frac{a^2 -9}{a-3} - \frac{\sqrt{a^2 -4a +4}}{a^2 -2a} $ 的值.
答案
18.7
解析
【分析】
这是一道二次根式与分式结合的化简求值题，解题思路如下：1. 先对a进行分母有理化，得到a的最简形式，同时判断a与2的大小关系，为后续去根号（去绝对值）做准备；2. 化简所求代数式：第一个分式利用平方差公式因式分解后约分，第二个分式先将根号内的式子化为完全平方形式，根据a的大小去绝对值后，再对分母因式分解约分，将代数式化为最简形式；3. 将化简后的a代入最简代数式计算即可。
【解析】
步骤1：化简a并判断取值范围
对a进行分母有理化：
$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
可得$a=2-\sqrt{3}＜2$，即$a-2＜0$，且$a≠0,a≠3$。
步骤2：化简所求代数式
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2-9}{a-3}-\frac{\sqrt{a^2-4a+4}}{a^2-2a}\\&=\frac{(a+3)(a-3)}{a-3}-\frac{\sqrt{(a-2)^2}}{a(a-2)}\\&=a+3-\frac{|a-2|}{a(a-2)}\end{aligned}$
因为$a-2＜0$，所以$|a-2|=2-a$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=a+3-\frac{2-a}{a(a-2)}\\&=a+3-\frac{-(a-2)}{a(a-2)}\\&=a+3+\frac{1}{a}\end{aligned}$
步骤3：代入计算
已知$a=2-\sqrt{3}$，则$\frac{1}{a}=2+\sqrt{3}$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=(2-\sqrt{3})+3+(2+\sqrt{3})\\&=2-\sqrt{3}+3+2+\sqrt{3}\\&=7\end{aligned}$
【答案】
7
【知识点】
分母有理化，二次根式的性质，分式化简求值
【点评】
本题属于二次根式综合计算类基础题，解题核心是先化简再代值，避免直接代入复杂的a值计算，同时要注意二次根式开方结果的非负性，根据a的取值范围正确去掉绝对值符号，能有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
这是一道二次根式与分式结合的化简求值题，解题思路如下：1. 先对a进行分母有理化，得到a的最简形式，同时判断a与2的大小关系，为后续去根号（去绝对值）做准备；2. 化简所求代数式：第一个分式利用平方差公式因式分解后约分，第二个分式先将根号内的式子化为完全平方形式，根据a的大小去绝对值后，再对分母因式分解约分，将代数式化为最简形式；3. 将化简后的a代入最简代数式计算即可。
【解析】
步骤1：化简a并判断取值范围
对a进行分母有理化：
$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
可得$a=2-\sqrt{3}＜2$，即$a-2＜0$，且$a≠0,a≠3$。
步骤2：化简所求代数式
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2-9}{a-3}-\frac{\sqrt{a^2-4a+4}}{a^2-2a}\\&=\frac{(a+3)(a-3)}{a-3}-\frac{\sqrt{(a-2)^2}}{a(a-2)}\\&=a+3-\frac{|a-2|}{a(a-2)}\end{aligned}$
因为$a-2＜0$，所以$|a-2|=2-a$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=a+3-\frac{2-a}{a(a-2)}\\&=a+3-\frac{-(a-2)}{a(a-2)}\\&=a+3+\frac{1}{a}\end{aligned}$
步骤3：代入计算
已知$a=2-\sqrt{3}$，则$\frac{1}{a}=2+\sqrt{3}$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=(2-\sqrt{3})+3+(2+\sqrt{3})\\&=2-\sqrt{3}+3+2+\sqrt{3}\\&=7\end{aligned}$
【答案】
7
【知识点】
分母有理化，二次根式的性质，分式化简求值
【点评】
本题属于二次根式综合计算类基础题，解题核心是先化简再代值，避免直接代入复杂的a值计算，同时要注意二次根式开方结果的非负性，根据a的取值范围正确去掉绝对值符号，能有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
