登录
19. 观察下列等式：
$① \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \sqrt{2}-1$；
$② \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$③ \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})} = \sqrt{4}-\sqrt{3}$；
…
回答下列问题：
(1) 化简：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \_\_\_\_\_\_$；(n为正整数)
(2) 利用上面所揭示的规律计算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + $
$① \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \sqrt{2}-1$；
$② \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$③ \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})} = \sqrt{4}-\sqrt{3}$；
…
回答下列问题：
(1) 化简：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \_\_\_\_\_\_$；(n为正整数)
(2) 利用上面所揭示的规律计算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + $
答案
19.(1)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(2)$-1+\sqrt{2025}$
(2)$-1+\sqrt{2025}$
解析
【分析】
(1) 观察给出的等式可知，分母为两个相邻正整数的算术平方根之和的分式，可通过分母有理化化简：利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式（即两个根式的差），消去分母中的根号即可得到通用化简结果。
(2) 第二问可直接利用(1)中得到的规律，将每一项分式都拆成两个二次根式的差的形式，相加时中间的相邻项会相互抵消，最后仅剩首尾两项，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$：
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(2) 根据(1)的规律拆分每一项：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})+(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})$
观察可知$\sqrt{2}$与$-\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$与$-\sqrt{3}$、……、$\sqrt{2024}$与$-\sqrt{2024}$均相互抵消，仅剩：
原式$=-1+\sqrt{2025}$
【答案】
(1)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；(2)$-1+\sqrt{2025}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题属于规律探究类的二次根式运算题，先从已知示例归纳出通用化简规律，再运用裂项抵消的方法简化求和运算，能够考查规律归纳能力和二次根式运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察给出的等式可知，分母为两个相邻正整数的算术平方根之和的分式，可通过分母有理化化简：利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式（即两个根式的差），消去分母中的根号即可得到通用化简结果。
(2) 第二问可直接利用(1)中得到的规律，将每一项分式都拆成两个二次根式的差的形式，相加时中间的相邻项会相互抵消，最后仅剩首尾两项，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$：
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(2) 根据(1)的规律拆分每一项：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})+(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})$
观察可知$\sqrt{2}$与$-\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$与$-\sqrt{3}$、……、$\sqrt{2024}$与$-\sqrt{2024}$均相互抵消，仅剩：
原式$=-1+\sqrt{2025}$
【答案】
(1)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；(2)$-1+\sqrt{2025}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题属于规律探究类的二次根式运算题，先从已知示例归纳出通用化简规律，再运用裂项抵消的方法简化求和运算，能够考查规律归纳能力和二次根式运算能力。
【难度系数】
0.7
20. 观察下列各式：
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$；$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=1\frac{1}{6}$；
$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=1\frac{1}{12}$，$···$.
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
（1）猜想：$\sqrt{1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}}=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$；
（2）归纳：请根据你的观察和猜想，写出一个用$n$（$n$为正整数）表示的等式：______；
（3）应用：计算$\sqrt{\frac{82}{81}+\frac{1}{100}}$.
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$；$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=1\frac{1}{6}$；
$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=1\frac{1}{12}$，$···$.
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
（1）猜想：$\sqrt{1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}}=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$；
（2）归纳：请根据你的观察和猜想，写出一个用$n$（$n$为正整数）表示的等式：______；
（3）应用：计算$\sqrt{\frac{82}{81}+\frac{1}{100}}$.
答案
20.(1)$\sqrt{1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}}=1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=1\frac{1}{56}$
(2) $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} =\frac{n^2 +n +1}{n^2 +n}$
(3)$1\frac{1}{90}$
(2) $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} =\frac{n^2 +n +1}{n^2 +n}$
(3)$1\frac{1}{90}$
解析
【分析】
我们先观察给出的3个等式，可发现共性：等式左边根号下的结构都是“1 + 连续两个正整数平方的倒数和”，等式右边是“1加上较小正整数的倒数，减去较大正整数的倒数”，最终化简得到的带分数的分数部分分母是两个连续正整数的乘积。
（1）第1问对应较小正整数是7，较大正整数是8，直接套用发现的规律即可求解；
（2）设较小的正整数为n（n为正整数），则较大的正整数为n+1，把规律用含n的式子表达，再化简即可得到通用等式；
（3）先把待计算的二次根式的被开方数变形为我们归纳的“1 + 连续两个正整数平方的倒数和”的结构，再套用规律计算即可。
【解析】
（1）根据已知等式的规律可得：
$\sqrt{1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}}=1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$
计算得：$1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=1+\frac{8-7}{56}=1\frac{1}{56}$
（2）设n为正整数，观察规律可得通用表达式：
左边为$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$
右边化简：$1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}=\frac{n^2+n+1}{n^2+n}$
因此通用等式为$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} =\frac{n^2 +n +1}{n^2 +n}$（n为正整数）
（3）先变形被开方数：
$\frac{82}{81}+\frac{1}{100}=1+\frac{1}{81}+\frac{1}{100}=1+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{10^2}$
套用上述规律，此时n=9：
$\sqrt{1+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{10^2}}=1+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=1+\frac{10-9}{90}=1\frac{1}{90}$
【答案】
(1)$1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$；$1\frac{1}{56}$
(2)$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} =\frac{n^2 +n +1}{n^2 +n}$（n为正整数）
(3)$1\frac{1}{90}$
【知识点】
二次根式化简，规律探究，分式加减运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，需要先从特殊示例中提炼通用规律，再将规律应用到具体计算中，既考查了对二次根式、分式运算的掌握程度，也锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
我们先观察给出的3个等式，可发现共性：等式左边根号下的结构都是“1 + 连续两个正整数平方的倒数和”，等式右边是“1加上较小正整数的倒数，减去较大正整数的倒数”，最终化简得到的带分数的分数部分分母是两个连续正整数的乘积。
（1）第1问对应较小正整数是7，较大正整数是8，直接套用发现的规律即可求解；
（2）设较小的正整数为n（n为正整数），则较大的正整数为n+1，把规律用含n的式子表达，再化简即可得到通用等式；
（3）先把待计算的二次根式的被开方数变形为我们归纳的“1 + 连续两个正整数平方的倒数和”的结构，再套用规律计算即可。
【解析】
（1）根据已知等式的规律可得：
$\sqrt{1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}}=1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$
计算得：$1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=1+\frac{8-7}{56}=1\frac{1}{56}$
（2）设n为正整数，观察规律可得通用表达式：
左边为$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$
右边化简：$1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}=\frac{n^2+n+1}{n^2+n}$
因此通用等式为$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} =\frac{n^2 +n +1}{n^2 +n}$（n为正整数）
（3）先变形被开方数：
$\frac{82}{81}+\frac{1}{100}=1+\frac{1}{81}+\frac{1}{100}=1+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{10^2}$
套用上述规律，此时n=9：
$\sqrt{1+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{10^2}}=1+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=1+\frac{10-9}{90}=1\frac{1}{90}$
【答案】
(1)$1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$；$1\frac{1}{56}$
(2)$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} =\frac{n^2 +n +1}{n^2 +n}$（n为正整数）
(3)$1\frac{1}{90}$
【知识点】
二次根式化简，规律探究，分式加减运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，需要先从特殊示例中提炼通用规律，再将规律应用到具体计算中，既考查了对二次根式、分式运算的掌握程度，也锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
