19. 如图,在矩形ABCD中,AD=6,DC=8,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,AH=2,连接CF.
(1)若DG=2,求证:四边形EFGH为正方形;
(2)若DG=6,求△FCG的面积.

19.(1)证明:$\because$ 四边形EFGH为菱形,$\therefore HG=EH$.
$\because AH=2,DG=2$,$\therefore DG=AH$.
在$\mathrm{Rt}△ DHG$和$\mathrm{Rt}△ AEH$中,
$\begin{cases} HG=EH, \\ DG=AH, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ DHG≌\mathrm{Rt}△ AEH(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ DHG=∠ AEH$.
$\because ∠ AEH+∠ AHE=90°$,
$\therefore ∠ DHG+∠ AHE=90°$,
$\therefore ∠ GHE=90°$.
$\because$ 四边形EFGH为菱形,
$\therefore$ 四边形EFGH为正方形.
(2)解:如答图,作$FQ⊥ CD$,交DC的延长线于点Q,连接GE.
$\because$ 四边形ABCD为矩形,
$\therefore AB// CD$,
$\therefore ∠ AEG=∠ QGE$,即$∠ AEH+∠ HEG = ∠ QGF+∠ FGE$.
$\because$ 四边形EFGH为菱形,
$\therefore HE=GF,HE// GF$,
$\therefore ∠ HEG=∠ FGE$,
$\therefore ∠ AEH=∠ QGF$.
在$△ AEH$和$△ QGF$中,
$\begin{cases} ∠ A=∠ Q, \\ ∠ AEH=∠ QGF, \\ HE=FG, \end{cases}$
$\therefore △ AEH≌△ QGF(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AH=QF=2$.
$\because DG=6,CD=8$,$\therefore CG=2$,
$\therefore S_{△ FCG}=\frac{1}{2}CG· FQ=\frac{1}{2}×2×2=2$.

【分析】
(1)要证明菱形EFGH为正方形，依据正方形的判定规则，有一个内角为直角的菱形是正方形，因此只需证明该菱形存在90°内角即可。已知菱形四边相等可得HG=EH，结合AH=DG=2的条件，可通过HL判定证明Rt△DHG和Rt△AEH全等，再利用直角三角形两锐角互余的性质推导得到∠GHE=90°，即可完成证明。
(2)求△FCG的面积时，已知CD=8、DG=6，可直接求出底CG的长度，只需再求出CG边上的高即可。过F作DC延长线的垂线FQ构造直角三角形，结合矩形、菱形对边平行且相等的性质，证明△AEH和△QGF全等，得到高FQ的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明：$\because$ 四边形EFGH为菱形，$\therefore HG=EH$。
$\because AH=2,DG=2$，$\therefore DG=AH$。
在$\mathrm{Rt}△ DHG$和$\mathrm{Rt}△ AEH$中，
$\begin{cases} HG=EH, \\ DG=AH, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DHG≌\mathrm{Rt}△ AEH(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ DHG=∠ AEH$。
$\because ∠ AEH+∠ AHE=90°$，
$\therefore ∠ DHG+∠ AHE=90°$，
$\therefore ∠ GHE=90°$。
$\because$ 四边形EFGH为菱形，
$\therefore$ 四边形EFGH为正方形。
(2)解：如答图，作$FQ⊥ CD$，交DC的延长线于点Q，连接GE。
$\because$ 四边形ABCD为矩形，
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ AEG=∠ QGE$，即$∠ AEH+∠ HEG = ∠ QGF+∠ FGE$。
$\because$ 四边形EFGH为菱形，
$\therefore HE=GF,HE// GF$，
$\therefore ∠ HEG=∠ FGE$，
$\therefore ∠ AEH=∠ QGF$。
在$△ AEH$和$△ QGF$中，
$\begin{cases} ∠ A=∠ Q, \\ ∠ AEH=∠ QGF, \\ HE=FG, \end{cases}$
$\therefore △ AEH≌△ QGF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AH=QF=2$。
$\because DG=6,CD=8$，$\therefore CG=8-6=2$，
$\therefore S_{△ FCG}=\frac{1}{2}CG· FQ=\frac{1}{2}×2×2=2$。

【答案】
(1) 四边形EFGH为正方形，证明成立；
(2) $△ FCG$的面积为2。

【知识点】
菱形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了矩形、菱形、正方形的相关性质和判定，以及全等三角形的应用，解题的关键是合理构造辅助线，将未知的高转化为已知线段长度，有助于提升特殊四边形相关知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

20. 如图,四边形ABCD为正方形,$AB=2\sqrt{2}$,点E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作$EF ⊥ DE$,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形.
(2)探究:$CE+CG$的值是否为定值.若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

20.解:(1)如答图,过点E作$EM⊥ BC$于点M,过点E作$EN⊥ CD$于点N.
$\because$ 四边形ABCD为正方形,
$\therefore ∠ BCD=90°$,$∠ ECN=45°$,
$\therefore ∠ EMC=∠ ENC=∠ BCD=90°$且$NE=NC$,
$\therefore$ 四边形EMCN为正方形.
$\because$ 四边形DEFG是矩形,
$\therefore EM=EN$,$∠ DEN + ∠ NEF = ∠ FEM + ∠ NEF=90°$,
$\therefore ∠ DEN=∠ FEM$,
在$△ DEN$和$△ FEM$中,
$\begin{cases} ∠ DNE=∠ FME, \\ EN=EM, \\ ∠ DEN=∠ FEM, \end{cases}$
$\therefore △ DEN≌△ FEM(\mathrm{ASA})$,
$\therefore ED=EF$,
$\therefore$ 矩形DEFG是正方形.
(2)$CE+CG$的值为定值.理由如下:
$\because$ 矩形DEFG为正方形,
$\therefore DE=DG$,$∠ EDC+∠ CDG=90°$.
$\because$ 四边形ABCD是正方形,
$\therefore AD=DC$,$∠ ADE+∠ EDC=90°$,
$\therefore ∠ ADE=∠ CDG$.
在$△ ADE$和$△ CDG$中,
$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠ ADE=∠ CDG, \\ DE=DG, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CDG(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AE=CG$,
$\therefore AC=AE+CE=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$,
$\therefore CE+CG=4$,是定值.

【分析】
(1) 要证明矩形DEFG是正方形，只需证明矩形的一组邻边相等，即DE=EF。结合正方形ABCD对角线的性质，过E分别作BC、CD的垂线，可构造两个直角三角形，利用正方形角的性质得到一组直角边相等，再结合EF⊥DE的条件推导等角，即可证明三角形全等得到DE=EF。
(2) 探究CE+CG是否为定值，可通过全等三角形将线段进行转化：结合正方形DEFG和正方形ABCD的边、角关系，证明△ADE和△CDG全等，得到CG=AE，即可将CE+CG转化为CE+AE，也就是正方形的对角线AC，计算AC的长度即可得到定值。
【解析】
(1) 如答图，过点E作$EM⊥ BC$于点M，过点E作$EN⊥ CD$于点N。
$\because$ 四边形ABCD为正方形，
$\therefore ∠ BCD=90°$，$∠ ECN=45°$，
$\therefore ∠ EMC=∠ ENC=∠ BCD=90°$且$NE=NC$，
$\therefore$ 四边形EMCN为正方形，$\therefore EM=EN$。
$\because$ 四边形DEFG是矩形，$EF ⊥ DE$，
$\therefore ∠DEF=90°$，即$∠ DEN + ∠ NEF =90°$，
又$\because ∠ FEM + ∠ NEF=∠ MEN=90°$，
$\therefore ∠ DEN=∠ FEM$。
在$△ DEN$和$△ FEM$中，
$\begin{cases} ∠ DNE=∠ FME=90°, \\ EN=EM, \\ ∠ DEN=∠ FEM, \end{cases}$
$\therefore △ DEN≌△ FEM(\mathrm{ASA})$，
$\therefore ED=EF$，
$\therefore$ 邻边相等的矩形DEFG是正方形。
(2) $CE+CG$的值为定值，理由如下：
$\because$ 矩形DEFG为正方形，
$\therefore DE=DG$，$∠EDG=90°$，即$∠ EDC+∠ CDG=90°$。
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore AD=DC$，$∠ADC=90°$，即$∠ ADE+∠ EDC=90°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ CDG$。
在$△ ADE$和$△ CDG$中，
$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠ ADE=∠ CDG, \\ DE=DG, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CDG(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=CG$，
$\therefore CE+CG=CE+AE=AC$。
在正方形ABCD中，$AC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
$\therefore CE+CG=4$，是定值。
【答案】
(1) 矩形DEFG是正方形，证明过程如上；
(2) $CE+CG$的值为定值，定值为4。

【知识点】
1. 正方形的判定与性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 矩形的性质
【点评】
本题是几何综合题，将特殊四边形的性质与全等三角形的判定结合考查，解题核心是通过构造全等三角形实现线段的等量转化，对几何逻辑推理能力有一定要求，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.6