17.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作$DE // AC$,且$DE=\frac{1}{2}AC$,连接CE,OE,连接AE交OD于点F.
(1)求证:$OE=CD$;
(2)若菱形ABCD的边长为8,$∠ ABC=60°$,求AE的长.

17.(1)略
(2)解:在菱形ABCD中,$AB=BC$,$∠ ABC=60°$,
$\therefore △ ABC$是等边三角形,$\therefore AC=AB=8$,$AO=4$.
$\therefore$ 在矩形OCED中,$CE=OD=\sqrt{AD^2-AO^2}=4\sqrt{3}$.
又$\because$ 在矩形OCED中,$∠ OCE=90°$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中, $AE = \sqrt{AC^2+CE^2} = \sqrt{8^2+(4\sqrt{3})^2}=4\sqrt{7}$.

【分析】
(1) 要证$OE=CD$，首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得$OC=\frac{1}{2}AC$且$AC⊥BD$，结合已知$DE// AC$、$DE=\frac{1}{2}AC$，可推出$DE$与$OC$平行且相等，先判定四边形$OCED$是平行四边形，再由$∠ COD=90°$证得$OCED$是矩形，根据矩形对角线相等即可得$OE=CD$。
(2) 求$AE$的长时，先由菱形边长相等和$∠ ABC=60°$判定$△ ABC$是等边三角形，得到$AC$的长度，再用勾股定理算出$OD$的长度，结合矩形性质得到$CE$的长度和$∠ ACE=90°$，最后在$Rt△ ACE$中用勾股定理求出$AE$即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AC⊥ BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，
∵$DE// AC$，且$DE=\frac{1}{2}AC$，
∴$DE=OC$，$DE// OC$，
∴四边形$OCED$是平行四边形，
又
∵$AC⊥ BD$，即$∠ COD=90°$，
∴平行四边形$OCED$是矩形，
∴$OE=CD$。
(2) 解：
∵菱形$ABCD$的边长为8，
∴$AB=BC=AD=8$，
又
∵$∠ ABC=60°$，$AB=BC$，
∴$△ ABC$是等边三角形，
∴$AC=AB=8$，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=4$，
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{AD^2-AO^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，
∵四边形$OCED$是矩形，
∴$CE=OD=4\sqrt{3}$，$∠ OCE=90°$，
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{8^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{64+48}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $AE$的长为$4\sqrt{7}$。
【知识点】
菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与判定、等边三角形的判定以及勾股定理的应用，解题的核心是先证明四边形$OCED$为矩形，再结合已知条件找到直角三角形的边长求解，是特殊四边形章节的典型综合基础题。
【难度系数】
0.7

18. 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,以OC,OD为邻边作平行四边形OCED,连接OE.
(1)求证:四边形OBCE是平行四边形;
(2)连接BE交AC于点F,若AB=2,∠AOB=60°,求BF的长.

18.(1)略
(2)解:如答图,过点F作$FM⊥ BC$于点M,过点O作$ON⊥ BC$于点N.
$\because FM⊥ BC,ON⊥ BC$,$\therefore ON// FM$.
$\because$ 四边形ABCD为矩形,
$\therefore AB⊥ BC$,
$\therefore AB// ON// FM$.
$\because AO=OC$,$\therefore ON=\frac{1}{2}AB=1$.
$\because OF=FC$,$\therefore FM=\frac{1}{2}ON=\frac{1}{2}$.
$\because ∠ AOB=60°$,$OA=OB$,
$\therefore ∠ OAB=60°$,$∠ ACB=30°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\because AB=2$,$∠ ACB=30°$,
$\therefore BC=2\sqrt{3}$.
$\because ∠ ACB=30°$,$FM=\frac{1}{2}$,
$\therefore CM=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore BM=BC-CM=\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore BF=\sqrt{BM^2+FM^2}=\sqrt{7}$.

【分析】
(1) 要证明四边形OBCE是平行四边形，可采用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定思路。首先利用矩形对角线互相平分且相等的性质，得到OB=OD；再结合平行四边形OCED的性质，可得CE与OD平行且相等，等量代换后就能得到CE与OB平行且相等，即可完成证明。
(2) 求BF的长度时，先由矩形对角线相等且平分的性质，结合∠AOB=60°，可推出△AOB是等边三角形，进而得到AC、BC的长度；再利用(1)中平行四边形OBCE的性质得到F是OC中点，通过作BC的垂线构造直角三角形，结合中位线性质求出FM、CM的长度，最后用勾股定理计算BF即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC、BD相等且互相平分，即OB=OD。
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE//OD，CE=OD，
∴CE//OB，CE=OB，
∴四边形OBCE是平行四边形。
(2) 解：如答图，过点F作$FM⊥ BC$于点M，过点O作$ON⊥ BC$于点N。
∵$FM⊥ BC,ON⊥ BC$，
∴$ON// FM$。
∵四边形ABCD为矩形，
∴$AB⊥ BC$，
∴$AB// ON// FM$。
∵$AO=OC$，即ON是△ABC的中位线，
∴$ON=\frac{1}{2}AB=1$。
∵四边形OBCE是平行四边形，对角线BE、OC交于点F，
∴$OF=FC$，即FM是△ONC的中位线，
∴$FM=\frac{1}{2}ON=\frac{1}{2}$。
∵$∠ AOB=60°$，$OA=OB$，
∴△AOB是等边三角形，$∠ OAB=60°$，
∴$∠ ACB=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=2$，$∠ ACB=30°$，
∴$AC=2AB=4$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ FMC$中，$∠ ACB=30°$，$FM=\frac{1}{2}$，
∴$FC=2FM=1$，$CM=\sqrt{FC^2-FM^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$BM=BC-CM=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$BF=\sqrt{BM^2+FM^2}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{7}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $BF=\sqrt{7}$

【知识点】
矩形的性质；平行四边形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是四边形综合题，融合了特殊四边形的性质判定、特殊直角三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握各类特殊四边形的性质，合理构造辅助线将问题转化为直角三角形的计算问题，能有效考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6