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二、填空题
11. 如图,在菱形ABCD中,$∠BCD=50°$,BC的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接BF,DF,则$∠DFC$的度数是
11. 如图,在菱形ABCD中,$∠BCD=50°$,BC的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接BF,DF,则$∠DFC$的度数是
130°
.答案
11.130°
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，结合菱形的性质，可知其对角线平分一组对角且四条边相等，先得到∠BCF=∠DCF、BC=DC，为证明三角形全等铺垫；第二步，根据垂直平分线的性质，可得FB=FC，推出△FBC是等腰三角形，先计算出∠BFC的度数；第三步，证明△BCF≌△DCF，可得∠DFC=∠BFC，即可求出所求角的度数。
【解析】
1.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，BC=DC，
∴∠BCF=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}$×50°=25°；
2.
∵EF是BC的垂直平分线，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB=25°；
3. 在△BFC中，由三角形内角和为180°得：
∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-25°-25°=130°；
4. 在△BCF和△DCF中：
$\{\begin{array}{l}BC=DC\\∠BCF=∠DCF\\CF=CF\end{array} $
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠DFC=∠BFC=130°。
【答案】
130°
【知识点】
菱形的性质；垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将菱形、垂直平分线、全等三角形的知识点结合考察，解题核心是通过全等把未知角转化为可计算的角。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步，结合菱形的性质，可知其对角线平分一组对角且四条边相等，先得到∠BCF=∠DCF、BC=DC，为证明三角形全等铺垫；第二步，根据垂直平分线的性质，可得FB=FC，推出△FBC是等腰三角形，先计算出∠BFC的度数；第三步，证明△BCF≌△DCF，可得∠DFC=∠BFC，即可求出所求角的度数。
【解析】
1.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，BC=DC，
∴∠BCF=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}$×50°=25°；
2.
∵EF是BC的垂直平分线，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB=25°；
3. 在△BFC中，由三角形内角和为180°得：
∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-25°-25°=130°；
4. 在△BCF和△DCF中：
$\{\begin{array}{l}BC=DC\\∠BCF=∠DCF\\CF=CF\end{array} $
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠DFC=∠BFC=130°。
【答案】
130°
【知识点】
菱形的性质；垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将菱形、垂直平分线、全等三角形的知识点结合考察，解题核心是通过全等把未知角转化为可计算的角。
【难度系数】
0.7
12.如图,在正方形ABCD中,AB=2,点E为AB的中点,AF⊥DE于点O,则AO=
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
.答案
12.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
解题时首先从已知的正方形性质入手，先确定Rt△ADE的两条直角边长度：正方形边长AB=2，故AD=2，E是AB中点可得AE=1；接下来用勾股定理求出斜边DE的长度；最后利用等面积法，△ADE的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边DE乘斜边上的高AO再乘1/2计算，列出等式即可求出AO的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AD=AB=2，∠DAE=90°，
∵点E为AB的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=1，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∵AF⊥DE，即AO是Rt△ADE斜边DE上的高，
∴$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×AD×AE=\frac{1}{2}×DE×AO$，
代入数值：$\frac{1}{2}×2×1=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×AO$，
化简得：$1=\frac{\sqrt{5}}{2}AO$，
解得：$AO=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题属于正方形相关的基础计算题，解题核心是巧妙运用等面积法建立等式求直角三角形斜边上的高，思路灵活，是正方形性质应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的正方形性质入手，先确定Rt△ADE的两条直角边长度：正方形边长AB=2，故AD=2，E是AB中点可得AE=1；接下来用勾股定理求出斜边DE的长度；最后利用等面积法，△ADE的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边DE乘斜边上的高AO再乘1/2计算，列出等式即可求出AO的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AD=AB=2，∠DAE=90°，
∵点E为AB的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=1，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∵AF⊥DE，即AO是Rt△ADE斜边DE上的高，
∴$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×AD×AE=\frac{1}{2}×DE×AO$，
代入数值：$\frac{1}{2}×2×1=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×AO$，
化简得：$1=\frac{\sqrt{5}}{2}AO$，
解得：$AO=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题属于正方形相关的基础计算题，解题核心是巧妙运用等面积法建立等式求直角三角形斜边上的高，思路灵活，是正方形性质应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
13.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$BD$为$△ ABC$的中线,过点$C$作$CE ⊥ BD$于点$E$,过点$A$作$BD$的平行线,交$CE$的延长线于点$F$,在$AF$的延长线上截取$FG=BD$,连接$BG$,$DF$.若$AF=8$,$CF=6$,则$BG=\_\_\_\_\_\_$.
答案
13.5
解析
【分析】
解题时首先从已知的平行和相等线段入手，先判定四边形BDFG是平行四边形，将求BG的长度转化为求DF的长度。再根据CE⊥BD、BD//AF推出△AFC是直角三角形，用勾股定理算出斜边AC的长度。最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出DF的长度，即可得到BG的长度。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵ AF//BD，且FG=BD，
∴ 四边形BDFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ BG=DF。
2. 求AC的长度：
∵ CE⊥BD，AF//BD，
∴ CF⊥AF，即∠CFA=90°，△AFC为直角三角形。
在Rt△AFC中，AF=8，CF=6，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AF^2+CF^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
3. 求DF的长度：
∵ BD是Rt△ABC的中线，
∴ D是AC的中点。
在Rt△AFC中，DF是斜边AC的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：
$DF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$。
4. 得BG的长度：
∵ BG=DF，
∴ BG=5。
【答案】
5
【知识点】
平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是通过平行四边形的性质实现线段的转化，结合勾股定理和直角三角形斜边中线的性质求解线段长度，考察了学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的平行和相等线段入手，先判定四边形BDFG是平行四边形，将求BG的长度转化为求DF的长度。再根据CE⊥BD、BD//AF推出△AFC是直角三角形，用勾股定理算出斜边AC的长度。最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出DF的长度，即可得到BG的长度。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵ AF//BD，且FG=BD，
∴ 四边形BDFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ BG=DF。
2. 求AC的长度：
∵ CE⊥BD，AF//BD，
∴ CF⊥AF，即∠CFA=90°，△AFC为直角三角形。
在Rt△AFC中，AF=8，CF=6，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AF^2+CF^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
3. 求DF的长度：
∵ BD是Rt△ABC的中线，
∴ D是AC的中点。
在Rt△AFC中，DF是斜边AC的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：
$DF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$。
4. 得BG的长度：
∵ BG=DF，
∴ BG=5。
【答案】
5
【知识点】
平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是通过平行四边形的性质实现线段的转化，结合勾股定理和直角三角形斜边中线的性质求解线段长度，考察了学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
14.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=8,BC=6,P$是边AB上的一个动点(异于A,B两点),过点P分别作AC,BC的垂线,垂足分别为M,N,则MN的最小值是
$\frac{24}{5}$
.答案
14.$\frac{24}{5}$
解析
【分析】
首先观察图形，过点P作AC、BC的垂线后得到的四边形CMPN有三个直角，可判定为矩形；根据矩形对角线相等的性质，可得MN=CP，因此求MN的最小值可转化为求点C到线段AB上动点P的最短距离。根据“垂线段最短”可知，当CP垂直于AB时，CP的长度最小，即此时MN取得最小值，最后利用勾股定理和直角三角形面积法计算出AB边上的高即可得到结果。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
∵$PM⊥ AC$，$PN⊥ BC$，$∠ C=90°$，
∴$∠ C=∠ PMC=∠ PNC=90°$，
∴四边形CMPN是矩形，
∴$MN=CP$。
根据“垂线段最短”，当$CP⊥ AB$时，CP的长度最小，即MN最小。
由三角形面积公式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CP$，
代入数值：$8×6=10× CP$，
解得$CP=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}$，
即MN的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理
【点评】
本题考查几何最短路径问题，通过矩形性质将所求线段转化为点到直线的垂线段，结合面积法求解，体现了转化的数学思想，要求学生熟练掌握矩形性质和直角三角形的相关计算。
【难度系数】
0.6
首先观察图形，过点P作AC、BC的垂线后得到的四边形CMPN有三个直角，可判定为矩形；根据矩形对角线相等的性质，可得MN=CP，因此求MN的最小值可转化为求点C到线段AB上动点P的最短距离。根据“垂线段最短”可知，当CP垂直于AB时，CP的长度最小，即此时MN取得最小值，最后利用勾股定理和直角三角形面积法计算出AB边上的高即可得到结果。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
∵$PM⊥ AC$，$PN⊥ BC$，$∠ C=90°$，
∴$∠ C=∠ PMC=∠ PNC=90°$，
∴四边形CMPN是矩形，
∴$MN=CP$。
根据“垂线段最短”，当$CP⊥ AB$时，CP的长度最小，即MN最小。
由三角形面积公式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CP$，
代入数值：$8×6=10× CP$，
解得$CP=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}$，
即MN的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理
【点评】
本题考查几何最短路径问题，通过矩形性质将所求线段转化为点到直线的垂线段，结合面积法求解，体现了转化的数学思想，要求学生熟练掌握矩形性质和直角三角形的相关计算。
【难度系数】
0.6
15.如图,五个正方形面积分别记为$S_1,S_2,S_3,S_4,S_5$.若$S_1=2$,$S_3=3,S_5=5$,则$S_2+S_4=$
13
.答案
15.13
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：斜放的正方形$S_2$、$S_4$分别和相邻的正放正方形夹有全等的直角三角形，结合正方形面积等于边长平方的性质，可联系勾股定理推导斜放正方形面积和相邻正放正方形面积的关系。第一步先推导$S_2$的面积：$S_2$等于相邻的$S_1$和$S_3$的面积和；第二步推导$S_4$的面积：$S_4$等于相邻的$S_3$和$S_5$的面积和；最后将两个面积相加即可得到结果。
【解析】
观察图形可知：
1. 斜放正方形$S_2$左右两侧的直角三角形全等，根据勾股定理，斜放正方形的边长是直角三角形的斜边，因此斜边的平方等于两条直角边的平方和，即正方形$S_2$的面积等于$S_1$与$S_3$的面积和：
$S_2 = S_1 + S_3 = 2 + 3 = 5$
2. 同理，斜放正方形$S_4$左右两侧的直角三角形全等，可得$S_4 = S_3 + S_5 = 3 + 5 = 8$
3. 因此$S_2 + S_4 = 5 + 8 = 13$
【答案】
13
【知识点】
勾股定理，全等三角形性质，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与正方形性质结合的典型几何题，解题的核心是发现斜放正方形面积与相邻两个正放正方形面积的等量关系，掌握该规律可快速求解此类题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：斜放的正方形$S_2$、$S_4$分别和相邻的正放正方形夹有全等的直角三角形，结合正方形面积等于边长平方的性质，可联系勾股定理推导斜放正方形面积和相邻正放正方形面积的关系。第一步先推导$S_2$的面积：$S_2$等于相邻的$S_1$和$S_3$的面积和；第二步推导$S_4$的面积：$S_4$等于相邻的$S_3$和$S_5$的面积和；最后将两个面积相加即可得到结果。
【解析】
观察图形可知：
1. 斜放正方形$S_2$左右两侧的直角三角形全等，根据勾股定理，斜放正方形的边长是直角三角形的斜边，因此斜边的平方等于两条直角边的平方和，即正方形$S_2$的面积等于$S_1$与$S_3$的面积和：
$S_2 = S_1 + S_3 = 2 + 3 = 5$
2. 同理，斜放正方形$S_4$左右两侧的直角三角形全等，可得$S_4 = S_3 + S_5 = 3 + 5 = 8$
3. 因此$S_2 + S_4 = 5 + 8 = 13$
【答案】
13
【知识点】
勾股定理，全等三角形性质，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与正方形性质结合的典型几何题，解题的核心是发现斜放正方形面积与相邻两个正放正方形面积的等量关系，掌握该规律可快速求解此类题型。
【难度系数】
0.7
三、解答题
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线交于点P.
(1)求证：四边形CODP是菱形；
(2)若AD＝6，AC＝10，求四边形CODP的面积.
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线交于点P.
(1)求证：四边形CODP是菱形；
(2)若AD＝6，AC＝10，求四边形CODP的面积.
答案
16.(1)略
(2)解:$\because AD=6,AC=10$,
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=8$.
$\because AO=CO$,
$\therefore S_{△ COD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}× AD· CD=12$.
$\because$ 四边形CODP是菱形,$\therefore S_{△ COD}=\frac{1}{2}S_{菱形CODP}=12$,
$\therefore S_{菱形CODP}=24$.
(2)解:$\because AD=6,AC=10$,
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=8$.
$\because AO=CO$,
$\therefore S_{△ COD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}× AD· CD=12$.
$\because$ 四边形CODP是菱形,$\therefore S_{△ COD}=\frac{1}{2}S_{菱形CODP}=12$,
$\therefore S_{菱形CODP}=24$.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形CODP是菱形，首先根据已知的两组对边平行关系，先判定它是平行四边形，再结合矩形对角线相等且互相平分的性质，得到邻边OC=OD，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可完成证明。
(2) 求菱形CODP的面积时，先利用矩形的内角为直角的性质，结合已知的AD、AC长度，用勾股定理求出CD的长度，计算出△ACD的面积；再根据矩形对角线互相平分的性质，得出△COD的面积是△ACD面积的一半；最后由菱形的性质可知菱形CODP的面积是△COD面积的2倍，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵DP//AC，CP//BD，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，且OC=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OC=OD，
∴平行四边形CODP是菱形。
(2) 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵AD=6，AC=10，
∴CD=$\sqrt{AC^2-AD^2}$=$\sqrt{10^2-6^2}$=8，
∴$S_{△ACD}$=$\frac{1}{2}$×AD×CD=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∵O是AC的中点，
∴$S_{△COD}$=$\frac{1}{2}$$S_{△ACD}$=12，
∵四边形CODP是菱形，
∴$S_{菱形CODP}$=2$S_{△COD}$=2×12=24。
【答案】
(1) 四边形CODP是菱形，证明成立；
(2) 24
【知识点】
矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何基础题，综合考察了特殊四边形的性质、判定以及直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质，理清三角形面积和特殊四边形面积之间的关系，是特殊四边形章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形CODP是菱形，首先根据已知的两组对边平行关系，先判定它是平行四边形，再结合矩形对角线相等且互相平分的性质，得到邻边OC=OD，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可完成证明。
(2) 求菱形CODP的面积时，先利用矩形的内角为直角的性质，结合已知的AD、AC长度，用勾股定理求出CD的长度，计算出△ACD的面积；再根据矩形对角线互相平分的性质，得出△COD的面积是△ACD面积的一半；最后由菱形的性质可知菱形CODP的面积是△COD面积的2倍，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵DP//AC，CP//BD，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，且OC=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OC=OD，
∴平行四边形CODP是菱形。
(2) 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵AD=6，AC=10，
∴CD=$\sqrt{AC^2-AD^2}$=$\sqrt{10^2-6^2}$=8，
∴$S_{△ACD}$=$\frac{1}{2}$×AD×CD=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∵O是AC的中点，
∴$S_{△COD}$=$\frac{1}{2}$$S_{△ACD}$=12，
∵四边形CODP是菱形，
∴$S_{菱形CODP}$=2$S_{△COD}$=2×12=24。
【答案】
(1) 四边形CODP是菱形，证明成立；
(2) 24
【知识点】
矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何基础题，综合考察了特殊四边形的性质、判定以及直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质，理清三角形面积和特殊四边形面积之间的关系，是特殊四边形章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
