10. 摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100 km到沿途的C市吃午饭.由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了上午原计划的$\frac{1}{3}$，过了小镇，汽车赶了400 km，傍晚才停下来休息，司机说，再走C市到这里路程的一半就到达目的地.则A，B两市相距km.

B

根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断：
1. 选项A：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式；
2. 选项B：$\sqrt{x^2+1}$，被开方数不含分母，且$x^2+1$无法分解出能开得尽方的因式，是最简二次根式；
3. 选项C：$\sqrt{\frac{1}{2}}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b}$，被开方数含能开得尽方的因式$a^2$，不是最简二次根式。

11. 某学校七年级学生组织步行到郊外旅行,701班学生组成前队,速度为每小时4千米,702班学生组成后队,速度为每小时6千米,前队出发1小时后,后队才出发,同时,后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络,骑车的速度是每小时12千米(队伍长度忽略不计).
(1)后队出发后多长时间可以追上前队?
(2)后队刚好追上前队时,联络员共骑行了多少千米?
(3)联络员出发到他第一次追上前队的过程中,何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等?

2

根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，依次代入正整数验证：
1. 当a=1时，5a+3=5×1+3=8，8含有能开得尽方的因数4，$\sqrt{8}$不是最简二次根式；
2. 当a=2时，5a+3=5×2+3=13，13不含能开得尽方的因数，$\sqrt{13}$是最简二次根式。
因此最小的正整数a为2。

12. (1)甲、乙两名运动员在长为100 m的直道AB(A,B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练,两人同时从A点起跑,到达B点后,立即转身跑向A点,到达A点后,又立即转身跑向B点……若甲跑步的速度为5 m/s,乙跑步的速度为4 m/s,则起跑后100 s内,两人相遇的次数为.
(2)A,B两地相距900 km,一列快车以200 km/h的速度从A地匀速驶往B地,到达B地后立刻原路返回A地,一列慢车以75 km/h的速度从B地匀速驶往A地.两车同时出发,截止到它们都到达终点时,两车恰好相距200 km的次数为.

12. (1)4 解析:设两人相遇的次数为x,依题意可知,$\frac{100×2}{5+4}x=100$,解得x=4.5.因为x为整数,所以x取4.
(2)5 解析:相距200 km要从相遇前、相遇后、追及前、追及后以及快车已到终点这五个方面进行考虑.设两车相距200 km时,行驶的时间为t h,①当快车从A地开往B地,慢车从B地开往A地,相遇前两车相距200 km时,则有200t+75t+200=900,解得t=$\frac{28}{11}$;②当快车继续开往B地,慢车继续开往A地,相遇后背离而行,两车相距200 km时,则有200t+75t-200=900,解得t=4;③快车从A地到B地全程需要4.5 h,此时慢车从B地到A地行驶4.5×75=337.5(km).因为337.5＞200,所以当快车又从B地返回A地时追慢车,追上前相距200 km时,则有75t=200+200(t-4.5),解得t=$\frac{28}{5}$;④当快车追上慢车后并超过慢车相距200 km时,则有200(t-4.5)-75t=200,解得t=8.8;⑤当快车返回A地时所需时间是9 h,此刻慢车行驶了9×75=675(km),所以距终点还需行驶225 km,则有75t=900-200,解得t=$\frac{28}{3}$.综上所述,两车恰好相距200 km的次数为5.

【分析】
(1) 往返跑同起点相遇问题中，两人每相遇1次，合跑的总路程为2个直道全长。我们可以设相遇次数为x，根据“总路程=速度和×总时间”列方程，结合x为正整数的要求，即可求出相遇次数。
(2) 两车相距200km的问题需要分行驶阶段分类讨论：分别考虑相向行驶相遇前、相遇后背离、快车返回追及前、追及后超出、快车到终点后慢车距终点200km这五种情况，每种情况根据路程等量关系列一元一次方程，验证解的合理性后统计有效次数即可。
【解析】
(1) 设两人相遇的次数为x。
每次相遇时两人合跑路程为$2×100=200\mathrm{m}$，x次相遇的总用时为$\frac{200}{5+4}x$，根据总用时不超过100s列方程：
$\frac{100×2}{5+4}x=100$
解得$x=4.5$
因为x为正整数，所以x取4。
(2) 设两车相距200km时行驶时间为$t\mathrm{h}$，分情况讨论：
① 两车相向行驶，相遇前相距200km：$200t+75t+200=900$，解得$t=\frac{28}{11}$，符合要求；
② 两车相向行驶，相遇后背离相距200km：$200t+75t-200=900$，解得$t=4$，符合要求；
③ 快车到达B地（全程需$900÷200=4.5\mathrm{h}$）后返回追慢车，追及前相距200km：$75t=200+200(t-4.5)$，解得$t=\frac{28}{5}$，符合要求；
④ 快车追上慢车后超出200km：$200(t-4.5)-75t=200$，解得$t=8.8$，符合要求；
⑤ 快车返回A地（全程往返需9h）停止后，慢车距A地200km：$75t=900-200$，解得$t=\frac{28}{3}$，小于慢车到终点的总时长12h，符合要求。
综上，符合条件的情况共5种。
【答案】
(1)4；(2)5
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，分类讨论思想
【点评】
本题重点考察行程问题中等量关系的提取，第一问要掌握同起点往返相遇的路程规律，第二问需要按行驶逻辑有序分类，避免漏解，对思维严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.5

13. 为追寻红色足迹，锤炼意志品格，学校组织80余名师生到上杭古田会议会址参观学习.全体师生乘坐A,B两辆客车(每辆限载46人)8:20从学校同时出发，前往距离学校22 km的动车站.出发12 min后，A车出现故障，无法继续行驶，此时只能利用B车接送师生.为确保按时检票进站，全体师生最迟需在9:00到达动车站.已知每辆客车的平均速度为60 km/h，师生步行的平均速度是5 km/h，上、下车时间忽略不计.
(1)B车到达动车站后，立即返回A车故障点接等待的师生，问全体师生能否按时到站?请通过计算说明理由.
(2)请你设计一个方案，可确保全体师生按时到站，并说明理由.

C

根据同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，若被开方数与$\sqrt{3}$的被开方数3相同，即为同类二次根式，逐个化简选项：
1. 选项A：$\sqrt{6}$是最简二次根式，被开方数为6，与3不相同，不是同类二次根式；
2. 选项B：$\sqrt{9}=3$，化简后为整数，被开方数不是3，不是同类二次根式；
3. 选项C：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与3不相同，不是同类二次根式。