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4. 某工厂去年的总利润为150万元，今年的总收入比去年增加了15%，总支出比去年减少了5%，今年的总利润为260万元. 小明列出二元一次方程组$\begin{cases}m - n = 150, \\ (1 + 15\%)m - (1 - 5\%)n = 260,\end{cases}$刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的$m,n$表示的未知量分别为（ ）
A.今年的总收入为$m$万元，总支出为$n$万元
B.今年的总支出为$m$万元，总收入为$n$万元
C.去年的总收入为$m$万元，总支出为$n$万元
D.去年的总支出为$m$万元，总收入为$n$万元
A.今年的总收入为$m$万元，总支出为$n$万元
B.今年的总支出为$m$万元，总收入为$n$万元
C.去年的总收入为$m$万元，总支出为$n$万元
D.去年的总支出为$m$万元，总收入为$n$万元
答案
C
解析
【分析】
解题首先要明确核心等量关系：总利润=总收入-总支出。第一步先分析第一个方程$m-n=150$，题目已知去年总利润为150万元，说明该方程对应的是去年的利润计算关系，因此$m$、$n$是去年的总收入和总支出，可先排除表示今年量的选项。第二步再验证第二个方程，$(1+15\%)m$对应“今年总收入比去年增加15%”，说明$m$就是去年的总收入；$(1-5\%)n$对应“今年总支出比去年减少5%”，说明$n$就是去年的总支出，两者的差等于今年总利润260万元，完全符合题意，即可确定未知量的含义。
【解析】
我们结合“总利润=总收入-总支出”的关系逐步分析：
1. 观察第一个方程$m-n=150$，已知去年总利润为150万元，说明$m$和$n$分别是去年的总收入、总支出，因此直接排除A、B选项；
2. 观察第二个方程：$(1+15\%)m$是在$m$的基础上增加15%，对应“今年总收入比去年增加15%”的条件，因此$m$是去年的总收入；$(1-5\%)n$是在$n$的基础上减少5%，对应“今年总支出比去年减少5%”的条件，因此$n$是去年的总支出；
3. 验证D选项：若$m$是去年总支出、$n$是去年总收入，第一个方程$m-n$为负数，不符合总利润为正的实际情况，排除D。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；利润问题的数量关系
【点评】
本题考查二元一次方程组未知量的实际含义，解题关键是掌握总利润的基本计算公式，结合增长率对应的量判断未知量含义，只要理清等量关系就不易出错。
【难度系数】
0.75
解题首先要明确核心等量关系：总利润=总收入-总支出。第一步先分析第一个方程$m-n=150$，题目已知去年总利润为150万元，说明该方程对应的是去年的利润计算关系，因此$m$、$n$是去年的总收入和总支出，可先排除表示今年量的选项。第二步再验证第二个方程，$(1+15\%)m$对应“今年总收入比去年增加15%”，说明$m$就是去年的总收入；$(1-5\%)n$对应“今年总支出比去年减少5%”，说明$n$就是去年的总支出，两者的差等于今年总利润260万元，完全符合题意，即可确定未知量的含义。
【解析】
我们结合“总利润=总收入-总支出”的关系逐步分析：
1. 观察第一个方程$m-n=150$，已知去年总利润为150万元，说明$m$和$n$分别是去年的总收入、总支出，因此直接排除A、B选项；
2. 观察第二个方程：$(1+15\%)m$是在$m$的基础上增加15%，对应“今年总收入比去年增加15%”的条件，因此$m$是去年的总收入；$(1-5\%)n$是在$n$的基础上减少5%，对应“今年总支出比去年减少5%”的条件，因此$n$是去年的总支出；
3. 验证D选项：若$m$是去年总支出、$n$是去年总收入，第一个方程$m-n$为负数，不符合总利润为正的实际情况，排除D。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；利润问题的数量关系
【点评】
本题考查二元一次方程组未知量的实际含义，解题关键是掌握总利润的基本计算公式，结合增长率对应的量判断未知量含义，只要理清等量关系就不易出错。
【难度系数】
0.75
5. 已知方程组$\begin{cases}5x+y=3, \\ ax+5y=4\end{cases}$和$\begin{cases}x-2y=5, \\5x+by=1\end{cases}$有相同的解，则$a,b$的值分别为（ ）
A.$\begin{cases}a=14, \\b=2\end{cases}$
B.$\begin{cases}a=4, \\b=-6\end{cases}$
C.$\begin{cases}a=-6, \\b=2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a=1, \\b=2\end{cases}$
A.$\begin{cases}a=14, \\b=2\end{cases}$
B.$\begin{cases}a=4, \\b=-6\end{cases}$
C.$\begin{cases}a=-6, \\b=2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a=1, \\b=2\end{cases}$
答案
A
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程，解题思路分两步：第一步，先选取两个不含参数a、b的方程组成新的方程组，求解得到x、y的值（也就是公共解）；第二步，把求得的x、y代入剩下的含参数a、b的方程中，分别计算就能得到a、b的取值。
【解析】
∵ 两个方程组有相同的解
∴ 这个解同时满足方程$5x+y=3$和$x-2y=5$，联立得新方程组：
$\begin{cases}5x+y=3 ①\\x-2y=5 ②\end{cases}$
给①式两边同时乘2，得：$10x+2y=6$ ③
③+②，得：$11x=11$，解得$x=1$
把$x=1$代入①式，得：$5×1 + y=3$，解得$y=-2$
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$
将$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$ax+5y=4$，得：
$a×1 +5×(-2)=4$
$a-10=4$，解得$a=14$
将$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$5x+by=1$，得：
$5×1 + b×(-2)=1$
$5-2b=1$，解得$b=2$
综上，$\begin{cases}a=14\\b=2\end{cases}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】同解方程组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解
【点评】本题核心考查对“同解”概念的理解，解题的突破口是先通过不含参数的方程求出公共解，再代入求参数，是二元一次方程组章节的典型基础题型。
【难度系数】0.7
两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程，解题思路分两步：第一步，先选取两个不含参数a、b的方程组成新的方程组，求解得到x、y的值（也就是公共解）；第二步，把求得的x、y代入剩下的含参数a、b的方程中，分别计算就能得到a、b的取值。
【解析】
∵ 两个方程组有相同的解
∴ 这个解同时满足方程$5x+y=3$和$x-2y=5$，联立得新方程组：
$\begin{cases}5x+y=3 ①\\x-2y=5 ②\end{cases}$
给①式两边同时乘2，得：$10x+2y=6$ ③
③+②，得：$11x=11$，解得$x=1$
把$x=1$代入①式，得：$5×1 + y=3$，解得$y=-2$
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$
将$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$ax+5y=4$，得：
$a×1 +5×(-2)=4$
$a-10=4$，解得$a=14$
将$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$5x+by=1$，得：
$5×1 + b×(-2)=1$
$5-2b=1$，解得$b=2$
综上，$\begin{cases}a=14\\b=2\end{cases}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】同解方程组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解
【点评】本题核心考查对“同解”概念的理解，解题的突破口是先通过不含参数的方程求出公共解，再代入求参数，是二元一次方程组章节的典型基础题型。
【难度系数】0.7
6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题：“一根竿子一条索，索比竿子长一庹.折回索子去量竿，却比竿子短一庹.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（
A.$\begin{cases} x = y - 5, \\ \frac{1}{2}x = y + 5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = y + 5, \\ \frac{1}{2}x = y - 5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = y + 5, \\ 2x = y - 5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = y - 5, \\ 2x = y + 5 \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} x = y - 5, \\ \frac{1}{2}x = y + 5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = y + 5, \\ \frac{1}{2}x = y - 5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = y + 5, \\ 2x = y - 5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = y - 5, \\ 2x = y + 5 \end{cases}$
答案
B
解析
【分析】
解决这类列二元一次方程组的题目，核心是先从题干中提取两个对应的等量关系，再结合设好的未知数列方程即可。首先找第一个等量关系：题干明确“绳索比竿长5尺”，即绳索长度=竿的长度+5；再找第二个等量关系：“绳索对折后量竿，比竿短5尺”，即对折后的绳索长度=竿的长度-5，对折后的绳索长度为原长的½，据此就能列出两个方程，对应选出正确选项。
【解析】
已知设绳索长x尺，竿长y尺：
1. 根据“绳索比竿长5尺”，可列第一个方程：$x = y + 5$；
2. 绳索对折后的长度为$\frac{1}{2}x$，根据“对折后量竿比竿短5尺”，可列第二个方程：$\frac{1}{2}x = y - 5$；
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x = y + 5, \\ \frac{1}{2}x = y - 5 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 等量关系提取
【点评】
本题结合古代数学经典问题设置考点，难度较低，解题的关键是准确理解题干中两次测量的描述，正确梳理绳索和竿的长度关系，细心读题即可得分。
【难度系数】
0.8
解决这类列二元一次方程组的题目，核心是先从题干中提取两个对应的等量关系，再结合设好的未知数列方程即可。首先找第一个等量关系：题干明确“绳索比竿长5尺”，即绳索长度=竿的长度+5；再找第二个等量关系：“绳索对折后量竿，比竿短5尺”，即对折后的绳索长度=竿的长度-5，对折后的绳索长度为原长的½，据此就能列出两个方程，对应选出正确选项。
【解析】
已知设绳索长x尺，竿长y尺：
1. 根据“绳索比竿长5尺”，可列第一个方程：$x = y + 5$；
2. 绳索对折后的长度为$\frac{1}{2}x$，根据“对折后量竿比竿短5尺”，可列第二个方程：$\frac{1}{2}x = y - 5$；
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x = y + 5, \\ \frac{1}{2}x = y - 5 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 等量关系提取
【点评】
本题结合古代数学经典问题设置考点，难度较低，解题的关键是准确理解题干中两次测量的描述，正确梳理绳索和竿的长度关系，细心读题即可得分。
【难度系数】
0.8
7.若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+3y=4m+1, \\x-y=3\end{cases}$的解满足$x+y=4$,则$m$的值为 ( )
A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
答案
D
解析
【分析】
解题思路很清晰：首先题目给出的方程组里，方程$x-y=3$不含参数$m$，同时又已知方程组的解满足$x+y=4$，这两个式子都只有$x$、$y$两个未知数，我们可以先联立这两个不含$m$的方程，用加减消元法算出$x$和$y$的具体值，再把$x$、$y$代入含$m$的方程$x+3y=4m+1$，就能求出$m$的值。
【解析】
∵ 方程组的解同时满足$x-y=3$和$x+y=4$
∴ 联立得到新的二元一次方程组：
$\begin{cases}x - y = 3&① \\x + y = 4&②\end{cases}$
用①+②消去$y$，可得：
$2x=7$，解得$x=\frac{7}{2}$
把$x=\frac{7}{2}$代入②式，得：
$\frac{7}{2}+y=4$，解得$y=\frac{1}{2}$
将$\begin{cases}x=\frac{7}{2} \\y=\frac{1}{2}\end{cases}$代入$x+3y=4m+1$，得：
$\frac{7}{2}+3×\frac{1}{2}=4m+1$
计算左边得$5$，即：
$5=4m+1$
移项计算得$4m=4$，解得$m=1$
【答案】
D
【知识点】
1. 二元一次方程组的解
2. 加减消元法
3. 代入求值
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，核心是先通过无参数的方程求出未知数的值，再代入含参方程求解参数，掌握消元法解二元一次方程组就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题思路很清晰：首先题目给出的方程组里，方程$x-y=3$不含参数$m$，同时又已知方程组的解满足$x+y=4$，这两个式子都只有$x$、$y$两个未知数，我们可以先联立这两个不含$m$的方程，用加减消元法算出$x$和$y$的具体值，再把$x$、$y$代入含$m$的方程$x+3y=4m+1$，就能求出$m$的值。
【解析】
∵ 方程组的解同时满足$x-y=3$和$x+y=4$
∴ 联立得到新的二元一次方程组：
$\begin{cases}x - y = 3&① \\x + y = 4&②\end{cases}$
用①+②消去$y$，可得：
$2x=7$，解得$x=\frac{7}{2}$
把$x=\frac{7}{2}$代入②式，得：
$\frac{7}{2}+y=4$，解得$y=\frac{1}{2}$
将$\begin{cases}x=\frac{7}{2} \\y=\frac{1}{2}\end{cases}$代入$x+3y=4m+1$，得：
$\frac{7}{2}+3×\frac{1}{2}=4m+1$
计算左边得$5$，即：
$5=4m+1$
移项计算得$4m=4$，解得$m=1$
【答案】
D
【知识点】
1. 二元一次方程组的解
2. 加减消元法
3. 代入求值
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，核心是先通过无参数的方程求出未知数的值，再代入含参方程求解参数，掌握消元法解二元一次方程组就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
8.如图,在大长方形ABCD中放置10个形状、大小都相同的小长方形,大长方形ABCD的周长为34,小长方形的长比宽大4.设小长方形的长为x,宽为y,则下列方程组正确的是 (
A.$\begin{cases}2x+7y=34, \\x-y=4\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x-7y=34, \\x+y=4\end{cases}$
C.$\begin{cases}2x-7y=17, \\x+y=4\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x+7y=17, \\x-y=4\end{cases}$
D
)A.$\begin{cases}2x+7y=34, \\x-y=4\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x-7y=34, \\x+y=4\end{cases}$
C.$\begin{cases}2x-7y=17, \\x+y=4\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x+7y=17, \\x-y=4\end{cases}$
答案
D
解析
【分析】
解题时可先从简单的等量关系入手排除错误选项，再结合图形和周长条件推导剩余方程：①首先根据“小长方形的长比宽大4”可直接得到x-y=4，排除第二个方程不符的B、C选项；②再利用长方形周长公式，由大长方形周长为34可得大长方形的长+宽=34÷2=17；③最后观察图形，用x、y分别表示大长方形的长和宽：大长方形的长等于1个小长方形的长加4个小长方形的宽，大长方形的宽等于1个小长方形的长加3个小长方形的宽，两者相加整理即可得到第一个方程，对应正确选项。
【解析】
1. 推导第二个方程：已知小长方形的长为x，宽为y，且长比宽大4，因此有$x-y=4$，据此可排除第二个方程为$x+y=4$的B、C选项。
2. 推导第一个方程：已知大长方形ABCD的周长为34，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得大长方形的长与宽之和为$34÷2=17$。
观察图形可知：大长方形的长$AD=x+4y$，大长方形的宽$AB=x+3y$，因此长+宽=$(x+4y)+(x+3y)=2x+7y=17$。
3. 联立可得方程组$\begin{cases}2x+7y=17, \\x-y=4\end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用、长方形周长计算、图形等量分析
【点评】
本题是代数与几何结合的典型应用题型，解题核心是先通过直观的数量关系缩小选项范围，再准确挖掘几何图形中边长的等量关系，结合周长公式列出方程，能有效考查学生的读图分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可先从简单的等量关系入手排除错误选项，再结合图形和周长条件推导剩余方程：①首先根据“小长方形的长比宽大4”可直接得到x-y=4，排除第二个方程不符的B、C选项；②再利用长方形周长公式，由大长方形周长为34可得大长方形的长+宽=34÷2=17；③最后观察图形，用x、y分别表示大长方形的长和宽：大长方形的长等于1个小长方形的长加4个小长方形的宽，大长方形的宽等于1个小长方形的长加3个小长方形的宽，两者相加整理即可得到第一个方程，对应正确选项。
【解析】
1. 推导第二个方程：已知小长方形的长为x，宽为y，且长比宽大4，因此有$x-y=4$，据此可排除第二个方程为$x+y=4$的B、C选项。
2. 推导第一个方程：已知大长方形ABCD的周长为34，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得大长方形的长与宽之和为$34÷2=17$。
观察图形可知：大长方形的长$AD=x+4y$，大长方形的宽$AB=x+3y$，因此长+宽=$(x+4y)+(x+3y)=2x+7y=17$。
3. 联立可得方程组$\begin{cases}2x+7y=17, \\x-y=4\end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用、长方形周长计算、图形等量分析
【点评】
本题是代数与几何结合的典型应用题型，解题核心是先通过直观的数量关系缩小选项范围，再准确挖掘几何图形中边长的等量关系，结合周长公式列出方程，能有效考查学生的读图分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
