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9. 已知方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\ y=1,\end{cases}$ 写出一个满足条件的方程组: ______ .
答案
$\begin{cases} x+y=3, \\ x-y=1 \end{cases}$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题思路要围绕二元一次方程组解的定义展开：首先明确二元一次方程组的解的含义是，将x、y的值代入组内每一个方程，方程左右两边都相等。因此构造满足条件的方程组，只需要写出两个不同的二元一次方程，代入x=2、y=1时均成立即可。构造时可以对x、y做简单的一次运算，比如求和、求差，得到对应的等式就是符合要求的方程，联立两个方程就得到目标方程组，也可以做其他一次运算，所以答案不唯一。
【解析】
根据二元一次方程组的解的定义，解$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$需要满足组内所有方程：
1. 构造第一个方程：计算x与y的和，可得$x+y=2+1=3$，即方程$x+y=3$；
2. 构造第二个方程：计算x与y的差，可得$x-y=2-1=1$，即方程$x-y=1$；
将两个方程联立，即可得到符合要求的方程组。（也可构造其他二元一次方程组合，只要代入解后成立即可，答案不唯一）
【答案】
$\begin{cases} x+y=3, \\ x-y=1 \end{cases}$(答案不唯一)
【知识点】
1. 二元一次方程组的解
2. 二元一次方程的概念
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对二元一次方程组解的内涵的理解，解题灵活度较高，只要掌握解的定义就能轻松作答，构造时注意两个方程需均为二元一次方程，且不能是同解方程即可。
【难度系数】
0.8
解题思路要围绕二元一次方程组解的定义展开：首先明确二元一次方程组的解的含义是，将x、y的值代入组内每一个方程，方程左右两边都相等。因此构造满足条件的方程组，只需要写出两个不同的二元一次方程，代入x=2、y=1时均成立即可。构造时可以对x、y做简单的一次运算，比如求和、求差，得到对应的等式就是符合要求的方程，联立两个方程就得到目标方程组，也可以做其他一次运算，所以答案不唯一。
【解析】
根据二元一次方程组的解的定义，解$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$需要满足组内所有方程：
1. 构造第一个方程：计算x与y的和，可得$x+y=2+1=3$，即方程$x+y=3$；
2. 构造第二个方程：计算x与y的差，可得$x-y=2-1=1$，即方程$x-y=1$；
将两个方程联立，即可得到符合要求的方程组。（也可构造其他二元一次方程组合，只要代入解后成立即可，答案不唯一）
【答案】
$\begin{cases} x+y=3, \\ x-y=1 \end{cases}$(答案不唯一)
【知识点】
1. 二元一次方程组的解
2. 二元一次方程的概念
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对二元一次方程组解的内涵的理解，解题灵活度较高，只要掌握解的定义就能轻松作答，构造时注意两个方程需均为二元一次方程，且不能是同解方程即可。
【难度系数】
0.8
10. 已知$x,y$满足方程组$\begin{cases}x+m=4, \\ y-5=m,\end{cases}$则无论$m$取何值,$x,y$恒有关系式 ______ .
答案
x+y=9
解析
【分析】
我们的目标是消去方程组中的参数m，得到仅含x、y的恒等关系式，有两种清晰的解题思路：一是分别从两个方程中用x、y表示出m，再利用m的值相等建立x、y的等式；二是将两个方程左右两边分别相加，直接消去m，整理后即可得到结果。
【解析】
方法1：
由第一个方程$x+m=4$，移项得$m=4-x$；
由第二个方程$y-5=m$，可得$m=y-5$。
因为两个表达式都等于m，所以$4-x=y-5$，
移项整理得$x+y=4+5$，即$x+y=9$。
方法2：
将两个方程左右两边分别相加，得：
$x+m + y - 5 = 4 + m$
等式两边同时减去m，得$x + y - 5 = 4$，
移项计算得$x+y=9$。
【答案】
$x+y=9$
【知识点】
1. 二元一次方程组消元 2. 等式的基本性质
【点评】
本题考查消元思想的应用，解题核心是去掉无关参数m得到x和y的对应关系，属于基础题型，熟练掌握消元方法和等式性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
我们的目标是消去方程组中的参数m，得到仅含x、y的恒等关系式，有两种清晰的解题思路：一是分别从两个方程中用x、y表示出m，再利用m的值相等建立x、y的等式；二是将两个方程左右两边分别相加，直接消去m，整理后即可得到结果。
【解析】
方法1：
由第一个方程$x+m=4$，移项得$m=4-x$；
由第二个方程$y-5=m$，可得$m=y-5$。
因为两个表达式都等于m，所以$4-x=y-5$，
移项整理得$x+y=4+5$，即$x+y=9$。
方法2：
将两个方程左右两边分别相加，得：
$x+m + y - 5 = 4 + m$
等式两边同时减去m，得$x + y - 5 = 4$，
移项计算得$x+y=9$。
【答案】
$x+y=9$
【知识点】
1. 二元一次方程组消元 2. 等式的基本性质
【点评】
本题考查消元思想的应用，解题核心是去掉无关参数m得到x和y的对应关系，属于基础题型，熟练掌握消元方法和等式性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
11.如图,母亲节那天,很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒.从图中信息可知,购买5束鲜花和5个礼盒的总价为
440
元. 答案
440
解析
【分析】
我们可以先设每束鲜花的单价为x元，每个礼盒的单价为y元，根据图中两组购买组合的总价列出二元一次方程组。观察方程的结构特征，无需单独求解x、y的具体值，先通过方程相加求出1束鲜花和1个礼盒的总价格，再乘5即可得到5束鲜花和5个礼盒的总价。
【解析】
设每束鲜花的价格为x元，每个礼盒的价格为y元，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 121&① \\ x + 2y = 143&② \end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，得：
$3x + 3y = 264$
等式两边同时除以3，得：
$x + y = 88$
则购买5束鲜花和5个礼盒的总价为：
$5(x + y) = 5×88 = 440$（元）
【答案】
440
【知识点】
二元一次方程组的应用；整体代入求值
【点评】
本题结合生活实际考查二元一次方程组的应用，解题时灵活运用整体思想，不用分别求出两个未知量的数值，可简化计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
我们可以先设每束鲜花的单价为x元，每个礼盒的单价为y元，根据图中两组购买组合的总价列出二元一次方程组。观察方程的结构特征，无需单独求解x、y的具体值，先通过方程相加求出1束鲜花和1个礼盒的总价格，再乘5即可得到5束鲜花和5个礼盒的总价。
【解析】
设每束鲜花的价格为x元，每个礼盒的价格为y元，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 121&① \\ x + 2y = 143&② \end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，得：
$3x + 3y = 264$
等式两边同时除以3，得：
$x + y = 88$
则购买5束鲜花和5个礼盒的总价为：
$5(x + y) = 5×88 = 440$（元）
【答案】
440
【知识点】
二元一次方程组的应用；整体代入求值
【点评】
本题结合生活实际考查二元一次方程组的应用，解题时灵活运用整体思想，不用分别求出两个未知量的数值，可简化计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
12. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=5, \\y=3,\end{cases}$则关于$m,n$的方程组$\begin{cases}5a_1(m+3)-2b_1(n-2)=c_1, \\5a_2(m+3)-2b_2(n-2)=c_2\end{cases}$的解为 ______ .
答案
$\begin{cases} m=-2, \\ n=\frac{1}{2} \end{cases}$
解析
【分析】
我们已知原二元一次方程组的解，说明将x=5、y=3代入原方程组，两个等式都成立。观察待求的新方程组，发现它和原方程组的系数结构完全一致，只是未知数的部分变成了含有m、n的整式，因此可以用整体代换的思路：把新方程组中与$a_1、a_2$相乘的整式看作原方程组的x，与$b_1、b_2$相乘的整式看作原方程组的y，这样就能列出关于m、n的一元一次方程，直接求解即可，不需要解复杂的二元方程组。
【解析】
解：
∵ 方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$
∴ 代入原方程得：$\begin{cases}5a_1 + 3b_1 = c_1 \\5a_2 + 3b_2 = c_2\end{cases}$
将待求方程组变形为：
$\begin{cases}a_1·[5(m+3)] + b_1·[-2(n-2)] = c_1 \\a_2·[5(m+3)] + b_2·[-2(n-2)] = c_2\end{cases}$
对比上述两个等式，可得：
$\begin{cases}5(m+3) = 5 ①\\-2(n-2) = 3 ②\end{cases}$
解①：两边同时除以5，得$m+3=1$，解得$m=-2$
解②：两边同时除以-2，得$n-2=-\frac{3}{2}$，解得$n=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\begin{cases} m=-2, \\ n=\frac{1}{2} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代换思想，一元一次方程的解法
【点评】
本题侧重考查对二元一次方程组解的概念的理解，不需要展开计算复杂的方程组，通过整体代换即可快速得出结果，是二元一次方程组的典型题型，掌握整体思想能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
我们已知原二元一次方程组的解，说明将x=5、y=3代入原方程组，两个等式都成立。观察待求的新方程组，发现它和原方程组的系数结构完全一致，只是未知数的部分变成了含有m、n的整式，因此可以用整体代换的思路：把新方程组中与$a_1、a_2$相乘的整式看作原方程组的x，与$b_1、b_2$相乘的整式看作原方程组的y，这样就能列出关于m、n的一元一次方程，直接求解即可，不需要解复杂的二元方程组。
【解析】
解：
∵ 方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$
∴ 代入原方程得：$\begin{cases}5a_1 + 3b_1 = c_1 \\5a_2 + 3b_2 = c_2\end{cases}$
将待求方程组变形为：
$\begin{cases}a_1·[5(m+3)] + b_1·[-2(n-2)] = c_1 \\a_2·[5(m+3)] + b_2·[-2(n-2)] = c_2\end{cases}$
对比上述两个等式，可得：
$\begin{cases}5(m+3) = 5 ①\\-2(n-2) = 3 ②\end{cases}$
解①：两边同时除以5，得$m+3=1$，解得$m=-2$
解②：两边同时除以-2，得$n-2=-\frac{3}{2}$，解得$n=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\begin{cases} m=-2, \\ n=\frac{1}{2} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代换思想，一元一次方程的解法
【点评】
本题侧重考查对二元一次方程组解的概念的理解，不需要展开计算复杂的方程组，通过整体代换即可快速得出结果，是二元一次方程组的典型题型，掌握整体思想能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
13. 欢欢、乐乐和萌萌三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则萌萌得分为
欢欢36分 乐乐30分 萌萌
33
分.欢欢36分 乐乐30分 萌萌
33
分答案
33
解析
【分析】
要计算萌萌的得分，需先求出投中内环、外环一次分别得多少分。观察得分情况：欢欢投中4次内环、2次外环共得36分，乐乐投中2次内环、4次外环共得30分，我们可以设未知数，根据两人得分列出二元一次方程组，求出内环、外环的单次得分后，再结合萌萌3次内环、3次外环的中靶情况计算总分即可。
【解析】
解：设投中内环一次得$x$分，投中外环一次得$y$分。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}4x + 2y = 36 \quad \mathrm{①} \\2x + 4y = 30 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解法1：先化简方程，①两边同时除以2得：$2x + y = 18 \quad \mathrm{③}$
②两边同时除以2得：$x + 2y = 15 \quad \mathrm{④}$
由③得$y = 18 - 2x$，将其代入④：
$x + 2×(18 - 2x) = 15$
解得$x = 7$，把$x=7$代入③得$y = 18 - 2×7 = 4$
萌萌投中3次内环、3次外环，总分为：$3x + 3y = 3×7 + 3×4 = 21 + 12 = 33$（分）
解法2（巧算）：①+②得$6x + 6y = 66$，两边同时除以2得$3x + 3y = 33$，直接可得萌萌总分为33分。
【答案】
33
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法
【点评】
本题贴近生活场景，考查学生从图中提取信息、建立等量关系解决实际问题的能力，既可以按常规步骤解方程组求解，也可以观察式子特征直接巧算得到结果，锻炼灵活解题的思维。
【难度系数】
0.7
要计算萌萌的得分，需先求出投中内环、外环一次分别得多少分。观察得分情况：欢欢投中4次内环、2次外环共得36分，乐乐投中2次内环、4次外环共得30分，我们可以设未知数，根据两人得分列出二元一次方程组，求出内环、外环的单次得分后，再结合萌萌3次内环、3次外环的中靶情况计算总分即可。
【解析】
解：设投中内环一次得$x$分，投中外环一次得$y$分。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}4x + 2y = 36 \quad \mathrm{①} \\2x + 4y = 30 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解法1：先化简方程，①两边同时除以2得：$2x + y = 18 \quad \mathrm{③}$
②两边同时除以2得：$x + 2y = 15 \quad \mathrm{④}$
由③得$y = 18 - 2x$，将其代入④：
$x + 2×(18 - 2x) = 15$
解得$x = 7$，把$x=7$代入③得$y = 18 - 2×7 = 4$
萌萌投中3次内环、3次外环，总分为：$3x + 3y = 3×7 + 3×4 = 21 + 12 = 33$（分）
解法2（巧算）：①+②得$6x + 6y = 66$，两边同时除以2得$3x + 3y = 33$，直接可得萌萌总分为33分。
【答案】
33
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法
【点评】
本题贴近生活场景，考查学生从图中提取信息、建立等量关系解决实际问题的能力，既可以按常规步骤解方程组求解，也可以观察式子特征直接巧算得到结果，锻炼灵活解题的思维。
【难度系数】
0.7
