14. 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯,他把纸杯整齐地叠放在一起,如图所示. 请你根据图中信息,若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时,它的高度约是 cm.

56

【分析】
本题是二元一次方程组在生活实际中的应用问题，叠放纸杯的总高度由两部分构成：单个纸杯的基础高度，以及每多叠1个纸杯新增的突出高度。首先观察图形确定两组不同数量纸杯叠放的对应高度，设未知数建立方程组，求解得到单个纸杯高度和每叠一个新增的高度，再代入计算50个纸杯的总高度即可。
【解析】
观察图形可知：3个纸杯叠放高度为9cm，8个纸杯叠放高度为14cm。
设1个纸杯的高度为$ y $ cm，每多叠放1个纸杯高度增加$ x $ cm，根据题意列方程组：
$\begin{cases}y + (3-1)x = 9 \\y + (8-1)x = 14\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$ 5x=5 $，解得$ x=1 $。
将$ x=1 $代入第一个方程，得：$ y + 2×1=9 $，解得$ y=7 $。
则50个纸杯叠放的总高度为：$ y + (50-1)x = 7 + 49×1 = 56 $（cm）
【答案】
56
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.实际问题等量关系建立
【点评】
本题结合生活场景考查方程的实际应用，解题核心是理清叠放高度的组成逻辑，准确找到等量关系列方程求解，题型贴近生活，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

三、解答题
15. 解下列二元一次方程组：
(1) $\begin{cases} x = y + 5, \\ 2x - y = 8; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 5x + 6y = 7, \\ 2x + 3y = 4. \end{cases}$

(1)$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-1, \\ y=2 \end{cases}$

【分析】
解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元求解：
(1) 第一个方程组中已直接给出x用y表示的式子，优先选择代入消元法，把x=y+5代入第二个方程消去x，得到关于y的一元一次方程，求出y的值后再代入原式求x即可。
(2) 第二个方程组中y的系数分别为6和3，存在2倍的倍数关系，优先选择加减消元法，将第二个方程左右两边同时乘2，使两个方程中y的系数相等，再作差消去y，得到关于x的一元一次方程，求出x的值后再代入原式求y即可。
【解析】
(1) 记$\begin{cases} x = y + 5&①, \\ 2x - y = 8&②; \end{cases}$
将①代入②，得：$2(y+5) - y = 8$
展开计算：$2y + 10 - y = 8$
合并同类项得：$y + 10 = 8$
解得：$y = -2$
把$y=-2$代入①，得：$x = -2 + 5 = 3$
(2) 记$\begin{cases} 5x + 6y = 7&①, \\ 2x + 3y = 4&②; \end{cases}$
将②×2，得：$4x + 6y = 8$ ③
用① - ③，得：$(5x + 6y) - (4x + 6y) = 7 - 8$
化简得：$x = -1$
把$x=-1$代入②，得：$2×(-1) + 3y = 4$
计算得：$-2 + 3y = 4$
解得：$y=2$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-1, \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，加减消元法，二元一次方程组求解
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，重点考查消元法的灵活选择，解题时可根据方程组的特点选择更简便的消元方法，计算过程注意符号问题即可。
【难度系数】
0.8

16. 阅读材料:善于思考的小明在解方程组$\begin{cases}3(m+5)-2(n+3)=-1, \\3(m+5)+2(n+3)=7\end{cases}$时,采用了一种“整体换元”的解法.
解:把$m+5,n+3$看成一个整体,设$m+5=x,n+3=y$,
原方程组可化为$\begin{cases}3x-2y=-1, \\3x+2y=7.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1, \\y=2,\end{cases}$即$\begin{cases}m+5=1, \\n+3=2.\end{cases}$
∴ 原方程组的解为$\begin{cases}m=-4, \\n=-1.\end{cases}$
请仿照小明的方法解方程组$\begin{cases}3(x+y)-4(x-y)=5, \\\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{6}=0.\end{cases}$

设$x+y=m,x-y=n$,
原方程组可化为$\begin{cases}3m-4n=5, \\ \frac{m}{2}+\frac{n}{6}=0,\end{cases}$即$\begin{cases}3m-4n=5, \\ 3m+n=0.\end{cases}$
②-①,得$n=-1$.
把$n=-1$代入②,得$m=\frac{1}{3}$.
$\therefore \begin{cases} m=\frac{1}{3}, \\ n=-1. \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} x+y=\frac{1}{3}, \\ x-y=-1. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-\frac{1}{3}, \\ y=\frac{2}{3}. \end{cases}$

【分析】
观察所给方程组，发现$x+y$和$x-y$两个代数式重复出现，可参考材料中的“整体换元”思路，将这两个代数式分别设为新的未知数$m$、$n$，把原方程组转化为关于$m$、$n$的简单二元一次方程组，先求解$m$、$n$的值，再代回所设的式子，求解关于$x$、$y$的二元一次方程组，即可得到原方程组的解。
【解析】
设$x+y=m$，$x-y=n$，
原方程组可化为$\begin{cases}3m-4n=5&①, \\ \dfrac{m}{2}+\dfrac{n}{6}=0&②,\end{cases}$
将②式两边同时乘6去分母，得$3m+n=0$，
用②$-$①，得：$(3m+n)-(3m-4n)=0-5$，
化简得$5n=-5$，解得$n=-1$，
把$n=-1$代入②，得$3m-1=0$，解得$m=\dfrac{1}{3}$，
即可得$\begin{cases} x+y=\dfrac{1}{3}, \\ x-y=-1, \end{cases}$
两式相加得$2x=-\dfrac{2}{3}$，解得$x=-\dfrac{1}{3}$，
把$x=-\dfrac{1}{3}$代入$x+y=\dfrac{1}{3}$，得$-\dfrac{1}{3}+y=\dfrac{1}{3}$，解得$y=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\begin{cases} x=-\dfrac{1}{3}, \\ y=\dfrac{2}{3}. \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组；二元一次方程组的解法；加减消元法
【点评】
本题是材料型应用题，核心是利用整体思想简化方程组求解，解题关键是准确识别重复出现的整体代数式，通过换元降低方程组的求解难度，需注意换元求出新未知数的值后，要还原为原未知数的方程组求解，不能直接将新未知数的解当作最终答案。
【难度系数】
0.7