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17. 如图,学校印刷厂与A,D两地有公路、铁路相连,从A地购进一批每吨8000元的白纸,制成每吨10000元的作业本运到D地批发,已知公路运价1.5元/(t·km),铁路运价1.2元/(t·km).这两次运输支出公路运费4200元,铁路运费26280元.
(1)白纸和作业本各有多少吨?
(2)这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多多少元?
(1)白纸和作业本各有多少吨?
(2)这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多多少元?
答案
(1)设白纸有$x\ \mathrm{t}$,作业本有$y\ \mathrm{t}$.
根据题意,得$\begin{cases} 1.5(20y+10x)=4\ 200, \\ 1.2(110y+120x)=26\ 280. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=100, \\ y=90. \end{cases}$
答:白纸有100 t,作业本有90 t.
(2)$90×10\ 000-100×8\ 000-4\ 200-26\ 280=69\ 520$(元).
答:这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多69 520元.
根据题意,得$\begin{cases} 1.5(20y+10x)=4\ 200, \\ 1.2(110y+120x)=26\ 280. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=100, \\ y=90. \end{cases}$
答:白纸有100 t,作业本有90 t.
(2)$90×10\ 000-100×8\ 000-4\ 200-26\ 280=69\ 520$(元).
答:这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多69 520元.
解析
【分析】
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：第一步设未知数，分别设白纸质量为$x\ \mathrm{t}$，作业本质量为$y\ \mathrm{t}$；第二步找等量关系：①两次运输公路总运费4200元：白纸运输的公路运费（10km路段，运价1.5元/(t·km)）+作业本运输的公路运费（20km路段，运价1.5元/(t·km)）=4200元；②两次运输铁路总运费26280元：白纸运输的铁路运费（120km路段，运价1.2元/(t·km)）+作业本运输的铁路运费（110km路段，运价1.2元/(t·km)）=26280元；第三步根据等量关系列方程组，求解得到$x、y$的值即可解决第(1)问；第(2)问用作业本总销售款减去白纸购进款，再减去总运输费，即可得到所求差额。
【解析】
(1) 设白纸有$x\ \mathrm{t}$，作业本有$y\ \mathrm{t}$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 1.5(10x+20y)=4\ 200 \\ 1.2(120x+110y)=26\ 280 \end{cases}$
化简方程组：
第一个方程两边除以1.5得$10x+20y=2800$，再除以10得$x+2y=280$ ①；
第二个方程两边除以1.2得$120x+110y=21900$，再除以10得$12x+11y=2190$ ②；
由①得$x=280-2y$，代入②得：
$12×(280-2y)+11y=2190$
$3360-24y+11y=2190$
$-13y=-1170$，解得$y=90$
将$y=90$代入①得$x=280-2×90=100$
即方程组的解为$\begin{cases} x=100 \\ y=90 \end{cases}$
(2) 根据题意计算差额：
$90×10000-100×8000-4200-26280=900000-800000-30480=69520$（元）
【答案】
(1) 白纸有100 t，作业本有90 t；
(2) 这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多69520元。
【知识点】
二元一次方程组应用，运费计算，有理数混合运算
【点评】
本题结合运输场景考查方程思想的应用，解题核心是从图文信息中准确提取数量关系，建立方程组求解，计算时可先化简方程，降低运算难度，提升准确率。
【难度系数】
0.7
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：第一步设未知数，分别设白纸质量为$x\ \mathrm{t}$，作业本质量为$y\ \mathrm{t}$；第二步找等量关系：①两次运输公路总运费4200元：白纸运输的公路运费（10km路段，运价1.5元/(t·km)）+作业本运输的公路运费（20km路段，运价1.5元/(t·km)）=4200元；②两次运输铁路总运费26280元：白纸运输的铁路运费（120km路段，运价1.2元/(t·km)）+作业本运输的铁路运费（110km路段，运价1.2元/(t·km)）=26280元；第三步根据等量关系列方程组，求解得到$x、y$的值即可解决第(1)问；第(2)问用作业本总销售款减去白纸购进款，再减去总运输费，即可得到所求差额。
【解析】
(1) 设白纸有$x\ \mathrm{t}$，作业本有$y\ \mathrm{t}$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 1.5(10x+20y)=4\ 200 \\ 1.2(120x+110y)=26\ 280 \end{cases}$
化简方程组：
第一个方程两边除以1.5得$10x+20y=2800$，再除以10得$x+2y=280$ ①；
第二个方程两边除以1.2得$120x+110y=21900$，再除以10得$12x+11y=2190$ ②；
由①得$x=280-2y$，代入②得：
$12×(280-2y)+11y=2190$
$3360-24y+11y=2190$
$-13y=-1170$，解得$y=90$
将$y=90$代入①得$x=280-2×90=100$
即方程组的解为$\begin{cases} x=100 \\ y=90 \end{cases}$
(2) 根据题意计算差额：
$90×10000-100×8000-4200-26280=900000-800000-30480=69520$（元）
【答案】
(1) 白纸有100 t，作业本有90 t；
(2) 这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多69520元。
【知识点】
二元一次方程组应用，运费计算，有理数混合运算
【点评】
本题结合运输场景考查方程思想的应用，解题核心是从图文信息中准确提取数量关系，建立方程组求解，计算时可先化简方程，降低运算难度，提升准确率。
【难度系数】
0.7
18. 工作人员从仓库领取如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，制成如图②所示的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完。
下表是工作人员四次领取纸板数量的记录：
（1）利用第一次领取的纸板能够制成竖式与横式纸盒各多少个？
（2）仓库管理员在核查时，发现一次记录有误。请你判断第几次的记录有误，并说明理由。
下表是工作人员四次领取纸板数量的记录：
（1）利用第一次领取的纸板能够制成竖式与横式纸盒各多少个？
（2）仓库管理员在核查时，发现一次记录有误。请你判断第几次的记录有误，并说明理由。
答案
(1)设利用第一次领取的纸板能够制成$x$个竖式无盖纸盒,$y$个横式无盖纸盒. 根据题意,得
$\begin{cases} x+2y=560, \\ 4x+3y=940. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=40, \\ y=260. \end{cases}$
答:利用第一次领取的纸板能够制成竖式与横式纸盒分别为40个,260个.
(2)第三次的记录有误. 理由如下:
设制成$m$个竖式纸盒,$n$个横式纸盒,则需要正方形纸板$(m+2n)$张,长方形纸板$(4m+3n)$张.
$\therefore m+2n+4m+3n=5m+5n=5(m+n)$.
$\therefore$ 领取的正方形纸板和长方形纸板之和应该是5的倍数.
$\therefore$ 第三次记录有误.
$\begin{cases} x+2y=560, \\ 4x+3y=940. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=40, \\ y=260. \end{cases}$
答:利用第一次领取的纸板能够制成竖式与横式纸盒分别为40个,260个.
(2)第三次的记录有误. 理由如下:
设制成$m$个竖式纸盒,$n$个横式纸盒,则需要正方形纸板$(m+2n)$张,长方形纸板$(4m+3n)$张.
$\therefore m+2n+4m+3n=5m+5n=5(m+n)$.
$\therefore$ 领取的正方形纸板和长方形纸板之和应该是5的倍数.
$\therefore$ 第三次记录有误.
解析
【分析】
（1）首先明确两种无盖纸盒的纸板用量：1个竖式无盖纸盒需1张正方形纸板、4张长方形纸板；1个横式无盖纸盒需2张正方形纸板、3张长方形纸板。求解第一问时，设竖式纸盒数量为$x$，横式纸盒数量为$y$，结合第一次领取的正方形、长方形纸板总数，分别列方程联立成二元一次方程组，求解即可得到两种纸盒的数量。
（2）要判断错误记录，先推导总纸板数的规律：设制作$m$个竖式纸盒、$n$个横式纸盒，将所需正方形、长方形纸板总数相加，化简可得总纸板数为$5(m+n)$，即总纸板数一定是5的倍数，因此哪次记录的两种纸板数量之和不是5的倍数，那次记录就有误。
【解析】
（1）设利用第一次领取的纸板能够制成$x$个竖式无盖纸盒，$y$个横式无盖纸盒。
根据题意，两种纸盒消耗的正方形纸板总数为560，长方形纸板总数为940，可列方程组：
$\begin{cases} x+2y=560 \\ 4x+3y=940 \end{cases}$
由第一个方程变形得$x=560-2y$，代入第二个方程：
$4(560-2y)+3y=940$
$2240-8y+3y=940$
$-5y=-1300$
解得$y=260$，将$y=260$代入$x=560-2y$，得$x=560-2×260=40$
即方程组的解为$\begin{cases} x=40 \\ y=260 \end{cases}$
（2）第三次的记录有误，理由如下：
设制成$m$个竖式纸盒，$n$个横式纸盒，则需要正方形纸板$(m+2n)$张，长方形纸板$(4m+3n)$张。
两种纸板总数量为：$(m+2n)+(4m+3n)=5m+5n=5(m+n)$
因为$m$、$n$均为非负整数，所以领取的正方形纸板和长方形纸板之和一定是5的倍数，第三次记录的两种纸板数量之和不满足是5的倍数的特征，因此第三次记录有误。
【答案】
(1) 利用第一次领取的纸板能够制成竖式与横式纸盒分别为40个，260个。
(2) 第三次的记录有误，理由：领取的正方形纸板和长方形纸板之和应该是5的倍数，第三次记录不符合该规律。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 整式的加减运算
3. 5的倍数特征
【点评】
本题结合实际生产场景考查方程的应用，既需要学生掌握二元一次方程组的列解步骤，又需要学生通过代数式变形挖掘隐含的数量规律，能够有效锻炼学生的数学建模能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
（1）首先明确两种无盖纸盒的纸板用量：1个竖式无盖纸盒需1张正方形纸板、4张长方形纸板；1个横式无盖纸盒需2张正方形纸板、3张长方形纸板。求解第一问时，设竖式纸盒数量为$x$，横式纸盒数量为$y$，结合第一次领取的正方形、长方形纸板总数，分别列方程联立成二元一次方程组，求解即可得到两种纸盒的数量。
（2）要判断错误记录，先推导总纸板数的规律：设制作$m$个竖式纸盒、$n$个横式纸盒，将所需正方形、长方形纸板总数相加，化简可得总纸板数为$5(m+n)$，即总纸板数一定是5的倍数，因此哪次记录的两种纸板数量之和不是5的倍数，那次记录就有误。
【解析】
（1）设利用第一次领取的纸板能够制成$x$个竖式无盖纸盒，$y$个横式无盖纸盒。
根据题意，两种纸盒消耗的正方形纸板总数为560，长方形纸板总数为940，可列方程组：
$\begin{cases} x+2y=560 \\ 4x+3y=940 \end{cases}$
由第一个方程变形得$x=560-2y$，代入第二个方程：
$4(560-2y)+3y=940$
$2240-8y+3y=940$
$-5y=-1300$
解得$y=260$，将$y=260$代入$x=560-2y$，得$x=560-2×260=40$
即方程组的解为$\begin{cases} x=40 \\ y=260 \end{cases}$
（2）第三次的记录有误，理由如下：
设制成$m$个竖式纸盒，$n$个横式纸盒，则需要正方形纸板$(m+2n)$张，长方形纸板$(4m+3n)$张。
两种纸板总数量为：$(m+2n)+(4m+3n)=5m+5n=5(m+n)$
因为$m$、$n$均为非负整数，所以领取的正方形纸板和长方形纸板之和一定是5的倍数，第三次记录的两种纸板数量之和不满足是5的倍数的特征，因此第三次记录有误。
【答案】
(1) 利用第一次领取的纸板能够制成竖式与横式纸盒分别为40个，260个。
(2) 第三次的记录有误，理由：领取的正方形纸板和长方形纸板之和应该是5的倍数，第三次记录不符合该规律。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 整式的加减运算
3. 5的倍数特征
【点评】
本题结合实际生产场景考查方程的应用，既需要学生掌握二元一次方程组的列解步骤，又需要学生通过代数式变形挖掘隐含的数量规律，能够有效锻炼学生的数学建模能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
