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1.（2026·固原期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（
A.以点O为圆心
B.以5 cm长为半径
C.以点O为圆心，5 cm长为半径
D.以上都不对
C
）A.以点O为圆心
B.以5 cm长为半径
C.以点O为圆心，5 cm长为半径
D.以上都不对
答案
1. C 解析:圆心确定,半径确定后才可以确定圆,故选 C.
2. (2025·南京中考)下列图形中,一定有外接圆的是 (
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
A
)A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
答案
2. A 解析:
∵任何三角形的三条边的垂直平分线都交于一点(外心),且外心到三个顶点的距离相等,
∴ 三角形一定有外接圆,四边形、五边形、六边形不一定有外接圆,只有特殊的多边形(如圆内接多边形)才有,故选 A.
∵任何三角形的三条边的垂直平分线都交于一点(外心),且外心到三个顶点的距离相等,
∴ 三角形一定有外接圆,四边形、五边形、六边形不一定有外接圆,只有特殊的多边形(如圆内接多边形)才有,故选 A.
3. (2026·宜春月考)用反证法证明“若$\odot O$的半径为$r$,点$P$到圆心的距离$d＜r$,则点$P$在$\odot O$的内部”时,首先应假设 (
A.$d＞r$
B.点$P$在$\odot O$内部
C.点$P$在$\odot O$上
D.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$外部
D
)A.$d＞r$
B.点$P$在$\odot O$内部
C.点$P$在$\odot O$上
D.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$外部
答案
3. D 解析:
∵反证法首先假设命题结论不成立,
∴应假设“点P不在⊙O内部”,即“点P在⊙O上或点P在⊙O外部”.故选 D.
∵反证法首先假设命题结论不成立,
∴应假设“点P不在⊙O内部”,即“点P在⊙O上或点P在⊙O外部”.故选 D.
4. (2026·镇江期中)已知一个直角三角形两条直角边的长分别为6和8,它的外接圆的半径是 (
A.5
B.4
C.5或$\sqrt{7}$
D.4或5
A
)A.5
B.4
C.5或$\sqrt{7}$
D.4或5
答案
4. A 解析:
∵直角三角形两条直角边的长分别为6和8,
∴ 斜边c= $\sqrt{6^2+8^2}$ = $\sqrt{36+64}$ = $\sqrt{100}$ = 10,
∴ 外接圆半径R= $\frac{c}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5,因此,外接圆半径为5,故选 A.
归纳总结 锐角三角形的外心在三角形内部,直角三角形的外心在斜边中点上,钝角三角形的外心在三角形的外部.
∵直角三角形两条直角边的长分别为6和8,
∴ 斜边c= $\sqrt{6^2+8^2}$ = $\sqrt{36+64}$ = $\sqrt{100}$ = 10,
∴ 外接圆半径R= $\frac{c}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5,因此,外接圆半径为5,故选 A.
归纳总结 锐角三角形的外心在三角形内部,直角三角形的外心在斜边中点上,钝角三角形的外心在三角形的外部.
5. 将边长为2的小正方形ABCD和边长为4的大正方形EFGH如图摆放，使得C,E两点刚好重合，且B,C,H三点共线，此时经过A,F,G三点作一个圆，则该圆的半径为
2√5
。答案
5. 2√5 解析:由题意可知,AB=BC=2,CF=CH=HG=4,取CH的中点O,则OC=OH=2,OB=4,连接OA,OF,OG,如图
,由勾股定理可得OA= $\sqrt{AB^2+OB^2}$ = 2√5,同理得OF=OG=2√5,∴ OA=OF=OG,即点O为经过A,F,G三点所作圆的圆心,则该圆的半径为2√5.
6. (2026·盐城月考)如图,在平面直角坐标系中,一段圆弧经过格点A,B,C(小正方形的边长均为1).
(1)直接写出圆弧所在$\odot P$的圆心坐标:
(2)$\odot P$的半径为
(3)若点$M(-1,1)$,则点$M$在$\odot P$
(填“内”“上”或“外”)
(1)直接写出圆弧所在$\odot P$的圆心坐标:
(2,-1)
;(2)$\odot P$的半径为
2√5
;(3)若点$M(-1,1)$,则点$M$在$\odot P$
内
.(填“内”“上”或“外”)
答案
6. (1)(2,-1) 解析:如图①,作出AB,BC的垂直平分线的交点为P,P(2,-1).
(2)2√5 解析:如图②,连接AP,AP即为半径,AP= $\sqrt{2^2+4^2}$ = $\sqrt{20}$ = 2√5.
(3)内 解析:
∵ M(-1,1), P(2,-1),
∴ MP= $\sqrt{(-1-2)^2+(1+1)^2}$ = $\sqrt{9+4}$ = $\sqrt{13}$ ＜ $\sqrt{20}$,
∴ 点 M 在⊙P内.
7. 如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $AD$ 平分$∠ BAC$,
(1)在$AB$边上找一点$O$,以点$O$为圆心,且过$A,D$两点作$\odot O$(不写作法,保留作图痕迹).
(2)在(1)的条件下,若$AB=6, BD=2\sqrt{3}$,求$\odot O$的半径.
(1)在$AB$边上找一点$O$,以点$O$为圆心,且过$A,D$两点作$\odot O$(不写作法,保留作图痕迹).
(2)在(1)的条件下,若$AB=6, BD=2\sqrt{3}$,求$\odot O$的半径.
答案
7. (1)如图,⊙O即为所求.
(2)如图,连接OD,设⊙O的半径为x,即OA=OD=x,
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠CAD = ∠BAD.
∵ OA = OD,
∴ ∠BAD = ∠ADO,
∴ ∠ADO = ∠CAD,
∴ OD // AC,
∴ ∠ODB = ∠C = 90°,
∴ OD²+BD² = OB², 即 $x^2+(2\sqrt{3})^2=(6-x)^2$, 解得 x=2,
∴ ⊙O的半径为2.
8. 平面上有四个点,过其中任意三个点一共能确定圆的个数为 (
A.0或3或4
B.0或1或3
C.0或1或3或4
D.0或1或4
C
)A.0或3或4
B.0或1或3
C.0或1或3或4
D.0或1或4
答案
8. C 解析:当四点在同一条直线上时,不能确定圆;当四点共圆时,只能作一个圆,如图①;当三点在同一直线上时,可以作三个圆,如图②;当四点不共圆,且没有三点共线时,能确定四个圆,如图③.
9. (泰州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2).若点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,则点C的坐标为
(7,4)或(6,5)或(1,4)
.答案
9. (7,4)或(6,5)或(1,4) 解析:如图,
∵ 点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2),
∴ PA = PB = $\sqrt{3^2+2^2}$ = $\sqrt{13}$.
∵ 点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,
∴ PC = PA = PB = $\sqrt{13}$ = $\sqrt{2^2+3^2}$, 则点 C 的坐标为(7,4)或(6,5)或(1,4).
