10.已知直线$l:y=x-4$,点$A(0,2)$,点$B(2,0)$,设点$P$为直线$l$上一动点,若过$P,A,B$三点不能作出一个圆,则点$P$的坐标为.

10. (3,-1) 解析:用待定系数法求得直线 AB 的解析式为 y=-x+2,解方程组 $\begin{cases}y=-x+2,\\y=x-4,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x=3,\\y=-1,\end{cases}$
∴ P(3,-1).

11.若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为.

11. 2-√3或2+√3 解析:如图,存在两种情况:当△ABC 为△A₁BC 时,
∵ 点 O 是等腰△A₁BC 的外心,且∠BOC=60°, BC=2, OB=OC,
∴ △OBC 为等边三角形, OB=OC=BC=2. 设 OA₁ ⊥ BC 于点 D,
∴ CD = 1, OD = $\sqrt{3}$,
∴ $S_{△A_1BC}$ = $\frac{1}{2}BC·A_1D$ = $\frac{1}{2}×2×(2-\sqrt{3})$ = 2-√3; 当△ABC 为△A₂BC 时, $S_{△A_2BC}$ = $\frac{1}{2}×2×(2+\sqrt{3})$ = 2+√3. 综上,△ABC 的面积为 2-√3 或 2+√3.

12. (河北中考)如图，∠A=∠B=50°，点P为AB的中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP并延长，使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α.
(1)求证:△APM≌△BPN；
(2)当MN=2BN时，求α的度数；
(3)若△BPN的外心在该三角形的内部，写出α的取值范围.

12. (1)
∵ 点 P 是 AB 的中点,
∴ PA = PB. 在△APM 和△BPN 中, $\begin{cases}∠A=∠B,\\PA=PB,\\∠APM=∠BPN,\end{cases}$
∴ △APM ≌ △BPN(ASA).
(2)由(1)得,△APM ≌ △BPN,
∴ PM = PN,
∴ MN = 2PN.
∵ MN = 2BN,
∴ BN = PN,
∴ α = ∠B = 50°.
(3)
∵ △BPN 的外心在该三角形的内部,
∴ △BPN 是锐角三角形.
∵ ∠B = 50°,
∴ 40°＜∠BPN＜90°, 即 40°＜α＜90°.

13. 如图,在$Rt△ ABC$中,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF,下列三角形中,外心不是点M的是 ()


A.$△ ABC$
B.$△ AEC$
C.$△ ACF$
D.$△ BCE$

13. C 解析:连接 FM,如图所示, 在 Rt△ABC 中,点 M 是斜边 BC 的中点,
∴ AM = BM = CM,
∴ 点 M 是△ABC 的外心.
∵ 四边形 AMEF 是正方形,
∴ AM = EM = AF,
∴ AM = ME = CM,
∴ 点 M 是△AEC 的外心,点 M 是△BCE 的外心,在等腰 Rt△AFM 中, AM = AF, 由勾股定理可得 FM = $\sqrt{2}AM$,
∴ AM = CM ≠ FM,
∴ 点 M 不是△ACF 的外心,故选 C.

14. (2026·泰州月考)命题证明:有公共斜边的两个直角三角形有相同的外接圆.
已知:在△ABC与△ABD中,∠C=∠D=90°.
求证:△ABC与△ABD有相同的外接圆.请选择图①或图②进行证明.

拓展应用:如图③,已知AB是⊙O的直径,P是⊙O内的一点,

(1)仅用无刻度的直尺过点P作AB的垂线,垂足为D,交AB上方的弧于C;
(2)在(1)的条件下,若∠POD=45°,PC² + (PC+2PD)²=16,求⊙O的半径.

14. 命题证明:选择图①,
证明:取 AB 中点 M,连接 MC, MD, 如图①,
∵ ∠ACB = 90°,
∴ MA = MB = MC. 又
∵ ∠ADB = 90°,
∴ MA = MB = MD,
∴ MA = MB = MC = MD, 即点 A,B,C,D 在以点 M 为圆心, AM 为半径的圆上,
∴ △ABC 与△ABD 有相同的外接圆.
选择图②,同理可证.
拓展应用:
(1)如图②所示,CD 即为所求,
(2)连接 OC, OP, 延长 CD 交⊙O 于点 E, 如图③,
由(1)知, CD ⊥ AB, AB 为⊙O 的直径,
∴ CD = DE,
∴ PE = PD + DE = PD + CD = PD + PD + PC = 2PD + PC.
∵ PC² + (PC + 2PD)² = 16,
∴ PC² + PE² = 16. 设 CD = DE = a, PD = b, 则 $(a-b)^2+(a+b)^2=16$,
∴ $a^2+b^2=8$, 即 $CD^2+PD^2=8$.
∵ ∠POD = 45°, ∠PDO = 90°,
∴ PD = OD,
∴ $CD^2+OD^2=8$,
在 Rt△CDO 中, $CD^2+OD^2=OC^2$, 即 $OC^2=8$,
∴ OC = $2\sqrt{2}$,
∴ ⊙O 半径为 $2\sqrt{2}$.