1. (2026·杭州月考)下列说法不正确的是 ()
①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

A.③④
B.②④
C.①②
D.①②③④

1. C 解析:当弦为直径时,平分弦的直径可能不垂直于弦,①错误;当弦为直径时,平分弦的直径可能不平分弦所对的弧,②错误;垂直平分弦的直线必过圆心(垂径定理推论),③正确;平分弧的直径必垂直平分弧所对的弦(垂径定理逆定理),④正确.
∴ 不正确的是①②,故选 C.

2. (2026·大连期末)如图,在$\odot O$中,圆心O到弦AB的距离为3 cm,$\odot O$的半径为5 cm,则弦AB的长为 ()

A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm

2. C 解析:由题意可得,$OE ⊥ AB,OE=3\ \mathrm{cm},∴ AB=2AE$,在$\mathrm{Rt}△ AOE$中,$OA=5\ \mathrm{cm},OE=3\ \mathrm{cm}$,根据勾股定理得$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{cm}),∴ AB=2AE=8\ \mathrm{cm}$.故选 C.

3. (2026·徐州期中)如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(6,3),点B的坐标为(9,0),则点A的坐标为 ()

A.(1,0)
B.(2,0)
C.(3,0)
D.(4,0)

3. C 解析:如图,连接PB,过点P作$PD ⊥ AB$于点D,$∴ AD=BD$,
∵ 点P的坐标为(6,3),点B的坐标为(9,0),
∴ D(6,0),$BD=3$,$∴ AD=BD=3$,
∴ 点A的坐标为(3,0).故选 C.

4. (2026·贵州期末)图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图，$\overset{\frown}{AB}$是$\odot O$的一部分，D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB=24 cm，碗深CD=8 cm，则$\odot O$的半径OA为 ()


A.13 cm
B.16 cm
C.17 cm
D.26 cm

4. A 解析:
∵ $\overset{\frown}{AB}$是$\odot O$的一部分,D是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$AB=24\ \mathrm{cm}$,
∴ $OD ⊥ AB,AC=BC=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$.设$\odot O$的半径 OA 为$R\ \mathrm{cm}$,则$OC=OD-CD=(R-8)\ \mathrm{cm}$.
∵ $∠OCA=90°$,
∴ $OA^2=AC^2+OC^2$,$∴ R^2=12^2+(R-8)^2$,$∴ R=13$,即$\odot O$的半径 OA 为 13 cm.故选 A.
归纳总结 (1)垂径定理的五个条件“知二推三”:对于一个圆和一条直线,下列五个条件:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.知道其中两个条件,就能推出其他三个.
(2)涉及圆内弦的题,常通过连接半径或过圆心作垂直于弦的垂线段构造直角三角形.
(3)如图,弦长a、弦心距d(圆心到弦的距离)、半径r及弓形高h(弦所对的弧的中点到弦的距离)之间的关系:$r^2=d^2+(\frac{a}{2})^2$,$r=d+h$.

5. (2026·长沙月考)如图，AB，AC是⊙O两条互相垂直的弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接DE。若AB = 6，AC = 8，则DE的长为。

5. 5 解析:
∵ $OD ⊥ AB,AB=6$,
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=3$.
∵ $OE ⊥ AC,AC=8$,
∴ $AE=\frac{1}{2}AC=4$.
∵ $AB ⊥ AC$,
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

6. (2026·无锡月考)往直径为10 m的圆柱形容器内装入一些水后,截面如图所示.若水面宽AB=6 m,则水的最大深度为.

6. 1 m 解析:如图,连接OB,过点O作$OC ⊥ AB$于点D,交$\odot O$于点C,
∵ $AB=6\ \mathrm{m}$,
∴ $BD=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{m}$.
∵ $\odot O$的直径为10 m,
∴ $OB=OC=5\ \mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{m})$,$∴ CD=OC-OD=5-4=1(\mathrm{m})$,即水的最大深度为1 m.

7. 教材变式 如图为一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度$AB=80\ \mathrm{m}$，桥拱到水面的最大高度为$20\ \mathrm{m}$。
(1)求桥拱的半径。
(2)现有一轮船宽$60\ \mathrm{m}$，船舱顶部为长方形并高出水面$9\ \mathrm{m}$，要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由。

7. (1)如图①,设点 E 是桥拱所在圆的圆心,作$EF ⊥ AB$于点F,延长EF交$\overset{\frown}{AB}$于点D,则由垂径定理知,点 F 是 AB 的中点,$AF=FB=\frac{1}{2}AB=40\ \mathrm{m}$,$EF=ED-FD=AE-DF$.设桥拱的半径是$r\ \mathrm{m}$,则在$\mathrm{Rt}△ AEF$中,$AE^2=AF^2+EF^2$,即$r^2=40^2+(r-20)^2$,解得$r=50$.
∴ 桥拱的半径为 50 m.
(2)能顺利通过.理由:如图②,连接EM,$DE ⊥ MN$,交MN于点G,设$MN=60\ \mathrm{m}$,则$GM=30\ \mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ GEM$中,$GE=\sqrt{EM^2-GM^2}=40\ \mathrm{m}$.
∵ $EF=50-20=30(\mathrm{m})$,$∴ GF=GE-EF=40-30=10(\mathrm{m})$,$10\ \mathrm{m}＞9\ \mathrm{m}$,
∴ 这艘轮船能顺利通过.
归纳总结 船或车通过桥梁隧道等弧形洞口问题,通常是补出弧所在圆的圆心,构造直角三角形,利用勾股定理求出圆的半径,进而判断宽度或高度是否在洞口允许通过的范围内.