8. 如图,在$\odot O$中,弦$AB=8$,点C在AB上移动,连接OC,过点C作$CD⊥ OC$交$\odot O$于点D,则CD的最大值是 ()


A.2
B.4
C.6
D.8

8. B 解析:连接$OD$,
∵ $CD ⊥ OC$,
∴ $∠DCO=90°$,
∴ $CD=\sqrt{OD^2-OC^2}$.
∵ OD的长度为定值,
∴ 当OC的值最小时,CD的值最大,而$OC ⊥ AB$时,OC最小,此时D,B两点重合,$∴ CD=CB=\frac{1}{2}AB=4$,即 CD 的最大值为 4.

9. (1)(牡丹江中考)AB是$\odot O$的弦，$OM ⊥ AB$，垂足为M，连接OA。若$△ AOM$中有一个角是$30°$，$OM=2\sqrt{3}$，则弦AB的长为。
(2)(青海中考)已知$\odot O$的直径为10 cm，AB，CD是$\odot O$的两条弦，$AB // CD$，$AB=8$ cm，$CD=6$ cm，则AB与CD之间的距离为cm。

9. (1)12或4 解析:
∵ $OM ⊥ AB$,
∴ $∠OMA=90°$,$AM=BM$,如图①,若$∠OAM=30°$,则$OM=\frac{1}{2}OA$,
∴ $OA=2OM=4\sqrt{3}$,$∴ AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=6$,$∴ AB=2AM=12$;如图②,若$∠AOM=30°$,则$AM=\frac{1}{2}OA$,即$OA=2AM$,又
∵ $AM^2+OM^2=OA^2$,
∴ $AM^2+12=4AM^2$,
∴ $AM=2$,
∴ $AB=2AM=4$.
(2)1或7 解析:作$OE ⊥ AB$于点E,延长 EO(或 OE)交 CD 于点 F,连接 OA,OC,
∵ $AB// CD$,$OE ⊥ AB$,
∴ $OF ⊥ CD$,$∴ AE=BE=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$,$CF=DF=\frac{1}{2}CD=3\ \mathrm{cm}$,$∴ OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=3\ \mathrm{cm}$,$OF=\sqrt{CO^2-CF^2}=4\ \mathrm{cm}$.当 AB,CD 在圆心两侧时,如图①,$EF=OF+OE=4+3=7(\mathrm{cm})$;当 AB,CD 在圆心同侧时,如图②,$EF=OF-OE=4-3=1(\mathrm{cm})$.综上所述,AB 与 CD 之间的距离为 1 或 7 cm.
易错提醒 如果题目没有给出具体的图形,需要注意是否要分类讨论,通常是对点、角、线段(边)的位置分情况讨论,圆中的分类讨论问题,详见后面的专题.

10. (教材变式) 如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向600 km的B处,以每小时200 km的速度向北偏东$60°$的方向移动,距台风中心500 km的范围内是受台风影响的区域.
(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?
(2)若A城受到这次台风的影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间?

10. (1)如图,过点 A 作$AC ⊥ BM$,垂足为 C,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由题意可知$∠CBA=30°$,
∴ $AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×600=300(\mathrm{km})$.
∵ $300＜500$,
∴ A 城要受这次台风的影响.
(2)以 A 为圆心,500 km 为半径作圆弧,分别交 MB 于点 E,F,连接 AE,AF,如图所示.
∵ $AC ⊥ EF$,
∴ $CE=\sqrt{AE^2-AC^2}=400\ \mathrm{km}$,$EC=FC$,
∴ $EF=2CE=800\ \mathrm{km}$,
∴ A 城受台风影响的时间为$800÷200=4$(小时).

11. 教材变式 改编题 (1)如图①,AB,CD为$\odot O$的两条弦,圆心O到它们的距离分别为OM,ON,如果AB＜CD,那么OMON(填“＞”“＜”或“=”);若$ON=\frac{1}{2}AB$,则OM和CD的数量关系为.
(2)如图②,M为$\odot O$内任意一点,AB为过点M且和OM垂直的一条弦,CD为过点M的任意一条弦(不与AB重合).
①猜测AB与CD的大小关系,并证明;
②在过点M的所有弦中,最长的弦与OM的位置关系为,最短的弦与OM的位置关系为.
(3)如图③,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线$y=kx-3k+4$与$\odot O$交于B,C两点,求弦BC的长的最小值.

11. (1)＞ $OM=\frac{1}{2}CD$ 解析:设圆的半径是r,$ON=x$,$AB=2x$,根据勾股定理和垂径定理用含r和x的式子分别表示出CD,OM的长,可得$OM=\frac{1}{2}CD$.
(2)①$AB＜CD$.证明如下:作$ON ⊥ CD$于点N,连接OA,OD,如图①,可得$DN=\frac{1}{2}CD$,$OM＞ON$.
∵ $OM ⊥ AB$,
∴ $AM=\frac{1}{2}AB$.
∵ $AM^2=OA^2-OM^2$,$DN^2=OD^2-ON^2$,$OA=OD$,
∴ $AM^2＜DN^2$,$∴ AM＜DN$,
∴ $AB＜CD$.
②重合 垂直 解析:如图②,由①可知,在过点 M 的所有弦中,AB 是最短的一条.
∵ CD 为过点 M 的任意一条弦,连接 OC,OD,
∴ $OC+OD≥CD$,$OC+OD=$直径,即在过点 M 的所有弦中,直径是最长的,故与 OM 重合.
(3)直线$y=kx-3k+4=k(x-3)+4$,故直线$y=kx-3k+4$恒经过点$(3,4)$,记为点 D.如图③,过点 D 作$DH ⊥ x$轴于点 H,连接 OD,则有$OH=3$,$DH=4$,
∴ $OD=5$.
∵ 点$A(13,0)$,
∴ $OA=13$,
∴ $OB=OA=13$.由于过圆内定点 D 的所有弦中,与 OD 垂直的弦最短,因此运用垂径定理及勾股定理可得$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=12$,
∴ $BC=24$.
归纳总结 同圆或等圆中,较长的弦对应的弦心距较短,较短的弦对应的弦心距较长;经过圆内一点(非圆心)的所有弦中,最长的弦是经过该点的直径,最短的弦垂直于最长的弦(直径).