8. 如图,在$\odot O$中,直径$MN=20$,正方形ABCD的四个顶点分别在半径$OP$,$OM$及$\odot O$上,且$∠ POM=45°$,则$AB=$ ()


A.$4$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{6}$
D.$6$

连接OA,如图,
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB = BC = CD,∠ABC = ∠BCD = 90°,
∴ ∠DCO = 180° - ∠BCD = 90°.
∵ ∠POM = 45°,
∴ ∠CDO = 90° - ∠POM = 45°,
∴ ∠CDO = ∠POM,
∴ CO = CD.
∵ 直径MN = 20,
∴ OA = $\frac{1}{2}$MN = 10,设AB = BC = CD = CO = x,则BO = BC + CO = 2x.在Rt△ABO中,由勾股定理得AB² + BO² = OA²,即x² + (2x)² = 10²,解得x = $2\sqrt{5}$或x = $-2\sqrt{5}$(舍去),
∴ AB = $2\sqrt{5}$.

9. 原创题 如图,点A为$\odot O$上一动点,点D为圆外一点,AD交$\odot O$于点B,OD交$\odot O$于点C,延长DO交$\odot O$于点E.
(1)若$∠ AOD=90°,AD=8$,点B恰为AD的中点,则OD的长为.
(2)若$∠ AOE=99°,BD=OA$,则$∠ ODA=$.

(1)$4\sqrt{3}$ 解析:连接OB,
∵ ∠AOD = 90°,点B为AD的中点,
∴ OB = $\frac{1}{2}$AD = AB = 4.又
∵ OA = OB,
∴ △OAB为等边三角形,
∴ OA = 4.在Rt△OAD中,由勾股定理,得OD = $4\sqrt{3}$.
(2)33° 解析:
∵ OB = OA,BD = OA,
∴ OB = BD,
∴ △OAB和△OBD均为等腰三角形.设∠ODA = x,
∴ ∠OBA = 2x,
∴ ∠OAB = 2x,
∴ ∠OAB + ∠ODA = 2x + x = ∠AOE = 99°,解得x = 33°,即∠ODA = 33°.

10.如图,AB为$\odot O$的直径,点C,D在$\odot O$上,若$∠ AOD=28°$,则$∠ BCD=$.

104° 解析:如图,连接OC,
∵ OD = OC,OC = OB,
∴ ∠D = ∠OCD,∠B = ∠OCB,
∴ ∠OCD = $\frac{180°-∠DOC}{2}$,∠OCB = $\frac{180°-∠BOC}{2}$,
∴ ∠BCD = $\frac{180°-∠DOC}{2}$ + $\frac{180°-∠BOC}{2}$ = 180° - $\frac{1}{2}$(∠DOC + ∠BOC) = 180° - $\frac{1}{2}$∠BOD.
∵ ∠AOD = 28°,AB为⊙O的直径,
∴ ∠BOD = 152°,
∴ ∠BCD = 180° - $\frac{1}{2}$∠BOD = 104°.

11. 如图,四边形ADFE和四边形BCDG都为正方形,且点F,D,C在半圆O的直径上,点E,A,B在半圆O的圆弧上,若小正方形的面积为16 cm²,求该半圆的半径.

如图,连接OA,OB,OE.
∵ 四边形ADFE为正方形,
∴ EF = AD,∠EFO = ∠ADO = 90°.又
∵ OE = OA,
∴ △OEF ≌ △OAD,
∴ OF = OD.
∵ 小正方形的面积为16 cm²,
∴ DC = CB = BG = GD = 4 cm,设OD = x cm,则OC = (x+4) cm,AD = DF = 2x cm.在Rt△AOD中,OA² = OD² + AD² = x² + (2x)² = 5x²,在Rt△OBC中,OB² = OC² + BC² = (x+4)² + 4².
∵ OA = OB,
∴ (x+4)² + 4² = 5x²,整理得x² - 2x - 8 = 0,解得x₁ = 4,x₂ = -2(舍去),
∴ OA = $\sqrt{5}$x = $4\sqrt{5}$ cm,即该半圆的半径为$4\sqrt{5}$ cm.

12. 如图,抛物线 $y=\dfrac{1}{4}x^2 -4$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点,$P$ 是以点 $C(0,3)$ 为圆心,$2$ 为半径的圆上的动点,$Q$ 是线段 $PA$ 的中点,连接 $OQ$,则线段 $OQ$ 的最大值是 ______.

$\frac{7}{2}$ 解析:连接BP,如图,令y = 0,得x₁ = 4,x₂ = -4,则A(-4,0),B(4,0).
∵ Q是线段PA的中点,
∴ OQ为△ABP的中位线,
∴ OQ = $\frac{1}{2}$BP.当BP最大时,OQ最大,而BP过圆心C时最大,即点P在P'位置时OQ最大.
∵ OB = 4,OC = 3,
∴ BC = $\sqrt{OB^2+OC^2}$ = 5,
∴ BP' = 5 + 2 = 7,
∴ 线段OQ的最大值是$\frac{7}{2}$.

13. 教材变式 改编题 人教数学课本上有这样一道练习题:“$△ ABC$中,$∠ C=90°$.求证:$A,B,C$三点在同一个圆上.”下面我们进一步探究.
(1)如图①,BD,CE是$△ ABC$的高,M是BC的中点,求证:点B,C,D,E在同一个圆上;
(2)如图②,已知正方形ABCD的边长为2,E是BC边上的动点,$BF⊥ AE$交CD于点F,垂足为G,连接CG.求CG的最小值.

(1)如图①,连接ME,MD,
∵ BD,CE分别是△ABC的高,M为BC的中点,
∴ ME = MD = MC = MB = $\frac{1}{2}$BC,
∴ 点B,C,D,E在以点M为圆心的同一个圆上.

(2)如图②,取AB的中点O,连接OC,OG,则OG = $\frac{1}{2}$AB = OA = OB,
∴ 根据题意,G点的轨迹是以点O为圆心,AO为半径的圆弧,
∴ OC和OG的长度是一定的,因此当O,G,C三点在同一条直线上时,CG取最小值.
∵ 正方形ABCD的边长为2,∠ABC = 90°,
∴ OB = 1,BC = 2,
∴ OC = $\sqrt{5}$,
∴ CG的最小值为OC - OG = $\sqrt{5}$ - 1.