5. (2025·眉山中考)如图①,在$Rt△ ABC$中,$∠C=90°$,点D在AC上,$CD=\sqrt{2}$,动点P在$Rt△ ABC$的边上沿$C→B→A$方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点A时停止,以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t秒,正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到点A时,如图②,S是关于t的二次函数.在3个时刻$t_1,t_2,t_3(t_1＜t_2＜t_3)$对应的正方形DPEF的面积均相等.下列4个结论:
①当$t=1$时,$S=3$;②点P在线段BA上时,$S=2t^2-16t+34$;③$AD=4\sqrt{2}$;④$t_1+t_2=4$.其中正确结论的个数为 ()


A.1
B.2
C.3
D.4个

由题图②可知当点P运动到B点时,S=DP²=6,在Rt△PCD中,由勾股定理得DP²=DC²+BC²,
∴ BC²+($\sqrt{2}$)²=6,
∴ BC=2或BC=-2(舍去);
∵ 动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,
∴ 当t=1时,点P的运动路程为1,即此时点P在BC上,
∴ 此时CP=1,在Rt△PCD中,由勾股定理得DP=$\sqrt{CP^2+CD^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$,
∴ S=DP²=3,
∴ ①正确;当点P在AB上时,由题图②可知,对应的二次函数的顶点坐标为(4,2),
∴ 可设S关于t的函数解析式为S=a(t-4)²+2,把(2,6)代入S=a(t-4)²+2中得6=a(2-4)²+2,解得a=1,
∴ S关于t的函数解析式为S=(t-4)²+2=t²-8t+18,故②错误;在S=t²-8t+18中,当S=t²-8t+18=18时,解得t=8或t=0,
∴ AB=8-2=6,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$,
∴ AD=AC-CD=4√2-√2=3√2,故③错误;
∵ 动点P以每秒1个单位长度的速度从C点出发,在BC匀速运动,
∴ CP=t.
∵ ∠C=90°,CD=$\sqrt{2}$,
∴ DP²=CP²+CD²=t²+2,
∴ S=DP²=t²+2;点P在AB上运动时S=(t-4)²+2,函数S=(t-4)²+2可以看作是由函数S=t²+2向右平移四个单位长度得到的,设P(m₁,n),Q(m₂,n)(m₂＞m₁)是函数S=t²+2上的两点,则(m₁+4,n),(m₂+4,n)是函数S=(t-4)²+2的两点,
∴ m₁+m₂=0,
∴ m₂+m₁+4=4.
∵ 存在3个时刻t₁,t₂,t₃(t₁＜t₂＜t₃)对应的正方形DPEF的面积均相等,
∴ 可以看作t₁=m₂,t₂=m₁+4,t₃=m₂+4,
∴ t₁+t₂=4,故④正确.综上所述,正确的有2个.故选B.

6. (衡阳中考)如图①,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,P,Q两点同时从O点出发,以1 cm/s的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为O→A→D→O,点Q的运动路线为O→C→B→O.设运动的时间为x s,P,Q间的距离为y cm,y与x的函数关系的图象大致如图②所示,当点P在AD段上运动且P,Q两点间的距离最短时,P,Q两点的运动路程之和为cm.

由题图分析易知,当点P从O→A运动,点Q从O→C运动时,y不断增大,当点P运动到A点,点Q运动到C点时,由图象知此时y=PQ=2√3 cm,
∴ AC=2√3 cm.
∵ 四边形ABCD为菱形,
∴ AC⊥BD,OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$ cm.当点P运动到D点,点Q运动到B点时,结合图象,易知此时y=BD=2 cm,
∴ OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=1 cm,
∴ 在Rt△ADO中,AD=$\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$(cm),
∴ AD=AB=BC=DC=2 cm.如图,当点P在AD段上运动,点P运动到点E处,点Q在CB段上运动,点Q运动到点F处时,P,Q两点间的距离最短,此时OE=OF=$\frac{OA·OD}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ cm,AE=CF=$\sqrt{OA^2-OE^2}=\frac{3}{2}$ cm,此时P,Q两点的运动路程之和为$(\sqrt{3}+\frac{3}{2})×2=(2\sqrt{3}+3)$ cm.

7. (2026·宜昌期中)如图①,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=4$,$AB=8$,$CD⊥ AB$于$D$,点$E$在$DC$的延长线上,连接$BE$,动点$P$从$A$点出发,沿$A\to B\to E$方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点$E$时停止.连接$CP$,以$CP$为边作正方形$CPFG$.设点$P$的运动时间为$t$秒,正方形$CPFG$的面积为$S$,探究$S$与$t$的关系.
(1)如图①,当点$P$由点$A$运动到点$B$时.
①当$t=2$时,$S=$.
②$S$关于$t$的函数解析式为.
(2)如图②,当点$P$由点$B$运动到点$E$时,经探究发现$S$是关于$t$的二次函数,并绘制成如图③所示的图象.请根据图象信息,求$S$关于$t$的函数解析式及线段$CE$的长.

(1)①在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,AB=8,
∴ 根据勾股定理得BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$.
∵ CD⊥AB,
∴ 根据三角形面积公式$\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$,可得CD=$\frac{AC·BC}{AB}=\frac{4×4\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}$,
∴ AD=$\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2}=2$,当t=2时,AP=2,即点P和点D重合,
∴ CP=CD=2√3,
∴ S=CP²=$(2\sqrt{3})^2=12$.
②由题意可知AP=t,如图①,当P在AD上,即0≤t≤2时,PD=2-t,
∴ PC²=PD²+CD²=$(2-t)^2+(2\sqrt{3})^2=t^2-4t+16$,
∴ S=t²-4t+16(0≤t≤2);
如图②,当P在DB上,即2＜t≤8时,PD=t-2,
∴ PC²=PD²+CD²=$(t-2)^2+(2\sqrt{3})^2=t^2-4t+16$,
∴ S=t²-4t+16(2＜t≤8).综上,S=t²-4t+16(0≤t≤8).
(2)由题图③,可设S=a(t-14)²+12,由(1)知,当t=8时,S=8²-4×8+16=48,即(8,48),由对称性可得(20,48),把(8,48)代入S=a(t-14)²+12,得48=a(8-14)²+12,解得a=1,
∴ S=(t-14)²+12=t²-28t+208(8＜t≤20).如图③,
∵ 当t=20时,S=48,此时点P和点E重合,
∴ CP=$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$,即CE=4√3.