1. (2025·南通中考)如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使$AD=BE=CF$.若$AB=4,AD=x,△ DEF$的面积为$y$,则$y$关于$x$的函数图象大致为 ()

∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠A=∠B=∠C,AB=BC=AC.
∵ AD=BE=CF,
∴ AB-AD=BC-BE=AC-CF,即BD=CE=AF,
∴ △ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴ DE=EF=DF,如图,过点A作AG⊥BC于点G,则∠AGB=90°,
∴ ∠BAG=30°,
∴ BG=$\frac{1}{2}$AB=2,
∴ AG=$\sqrt{AB^2-BG^2}=2\sqrt{3}$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AG=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$,过点D作DH⊥BC于点H,则∠DHB=90°,
∴ ∠BDH=30°,
∴ BH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}(4-x)$,
∴ DH=$\sqrt{BD^2-BH^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(4-x)$,
∴ $S_{△BDE}=\frac{1}{2}BE·DH=\frac{1}{2}x·\frac{\sqrt{3}}{2}(4-x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+\sqrt{3}x$,
∴ $y=S_{△ABC}-3S_{△BDE}=4\sqrt{3}-3(-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+\sqrt{3}x)=\frac{3\sqrt{3}}{4}x^2-3\sqrt{3}x+4\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}(x-2)^2+\sqrt{3}(0≤x≤4)$,
∴ y关于x的函数图象开口向上,当x=0时y=4√3,当x=4时y=4√3,当x=2时y的最小值为√3,
∴ 选项A,C,D均不符合题意,选项B符合题意.故选B.

2. (盘锦中考)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上,顶点B,C在x轴的正半轴上,D(2,√3),P(-1,-1).点M在菱形的边AD和DC上运动(不与点A,C重合),过点M作MN//y轴,与菱形的另一边交于点N,连接PM,PN,设点M的横坐标为x,△PMN的面积为y,则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是 ()

∵ 菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上,顶点B,C在x轴的正半轴上,
∴ AB=AD=2,OA=$\sqrt{3}$,
∴ OB=$\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$,
∴ OC=OB+BC=1+2=3,
∴ A(0,√3),B(1,0),C(3,0),设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(0,√3),B(1,0)代入,得$\begin{cases}k+b=0,\\b=\sqrt{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\sqrt{3},\\b=\sqrt{3},\end{cases}$
∴ 直线AB的解析式为y=-√3x+√3.
∵ MN//y轴,
∴ 点N的横坐标为x,
①当点M的横坐标x在0~1之间时,点N在线段AB上,在△PMN中,MN上的高为1+x,
∴ N(x,-√3x+√3),
∴ MN=$\sqrt{3}-(-\sqrt{3}x+\sqrt{3})=\sqrt{3}x$,
∴ $S_{△PMN}=\frac{1}{2}MN·(1+x)=\frac{1}{2}\sqrt{3}x·(1+x)=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{\sqrt{3}}{2}x$,
∴ 该段图象为开口向上的抛物线;
②当点M的横坐标x在1~2之间时,点N在线段BC上,在△PMN中,MN=√3,MN上的高为1+x,
∴ $S_{△PMN}=\frac{1}{2}MN·(1+x)=\frac{1}{2}\sqrt{3}·(1+x)=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ 该段图象为直线;
③当点M的横坐标x在2~3之间时,点N在线段BC上,在△PMN中,MN上的高为1+x,由D(2,√3),C(3,0),可得直线CD的解析式为y=-√3x+3√3,
∴ M(x,-√3x+3√3),N(x,0),
∴ MN=-√3x+3√3,
∴ $S_{△PMN}=\frac{1}{2}MN·(1+x)=\frac{1}{2}(-\sqrt{3}x+3\sqrt{3})·(1+x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\sqrt{3}x+\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴ 该段图象为开口向下的抛物线.观察四个选项可知,只有选项A满足条件.

3. (辽宁中考)如图，$∠ MAN=60°$，在射线$AM$，$AN$上分别截取$AC=AB=6$，连接$BC$，$∠ MAN$的平分线交$BC$于点$D$，点$E$为线段$AB$上的动点，作$EF ⊥ AM$交$AM$于点$F$，作$EG // AM$交射线$AD$于点$G$，过点$G$作$GH ⊥ AM$于点$H$，点$E$沿$AB$方向运动，当点$E$与点$B$重合时停止运动。设点$E$运动的路程为$x$，四边形$EFHG$与$△ ABC$重叠部分的面积为$S$，则能大致反映$S$与$x$之间函数关系的图象是 ()

∵ ∠MAN=60°,AC=AB=6,
∴ △ABC是边长为6的等边三角形.
∵ AD平分∠MAN,
∴ ∠MAD=∠NAD=30°,AD⊥BC,CD=DB=3.
①当矩形EFHG全部在△ABC之中,即由图①到图②,此时0＜x≤3,
∵ EG//AC,
∴ ∠MAD=∠AGE=30°,
∴ ∠NAD=∠AGE=30°,
∴ AE=EG=x.在Rt△AEF中,∠EAF=60°,∠AEF=30°,
∴ AF=$\frac{x}{2}$,
∴ 由勾股定理可得EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$,
∴ $S=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2$;
②如图③,当AE+AF=GE+AF=CF+AF=AC时,$x+\frac{1}{2}x=6$,解得x=4,由图②到图③,此时3＜x≤4,
如图④,记BC,EG的交点为Q,则△EQB是等边三角形,
∴ EQ=EB=BQ=6-x,
∴ GQ=x-(6-x)=2x-6,而∠PQG=60°,∠PGQ=90°,
∴ ∠GPQ=30°,
∴ PQ=2(2x-6),
∴ 由勾股定理可得PG=$\sqrt{3}(2x-6)$,
∴ $S=S_{矩形EFHG}-S_{△PQC}=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2-\frac{1}{2}×(2x-6)×\sqrt{3}(2x-6)=-\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2+12\sqrt{3}x-18\sqrt{3}$.
③如图⑥,x=6,即由图③到图⑥,此时4＜x≤6,
如图⑤,同理△EKB是等边三角形,
∴ EK=KB=EB=6-x,$FC=AC-AF=6-\frac{1}{2}x$,$EF=\frac{\sqrt{3}}{2}x$,
∴ $S=S_{梯形EKCF}=\frac{1}{2}(6-x+6-\frac{1}{2}x)×\frac{\sqrt{3}}{2}x=-\frac{3\sqrt{3}}{8}x^2+3\sqrt{3}x$.因此三段函数都是二次函数,其中第1段是开口向上的抛物线,第2段、第3段是开口向下的抛物线.

4. 如图①,已知$□ ABCD$的边长$AB=4\sqrt{3}$,$∠ B=30°$,$AE ⊥ BC$于点$E$.现将$△ ABE$沿$BC$方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,运动的$△ ABE$与$□ ABCD$重叠部分的面积$S$与运动时间$t$的函数图象如图②,则当$t$为9时,$S$的值是（）


A.$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$\frac{9\sqrt{3}}{2}$
D.$5\sqrt{3}$

∵ AB=4√3,∠B=30°,AE⊥BC于点E,
∴ AE=2√3,
∴ BE=$\sqrt{AB^2-AE^2}=6$.由运动的△ABE与□ABCD重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象得,当运动时间t≤6时,重叠部分的面积一直不变,
∴ CE=6,
∴ BC=12;当t＞6时,为二次函数图象,且在t=6时达到最大值,对称轴为直线t=6,
∴ 二次函数图象与坐标轴的另一个交点为(0,0),设二次函数的解析式为S=at(t-12),将点(6,6√3)代入得a=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$,
∴ S=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t(t-12),当t=9时,S=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$.故选C.