登录
1. (2025·淮安中考)已知二次函数 $y = \frac{1}{2}x^2 - mx + m - 1$（$m$ 为常数）.
(1)若点 $(2, -1)$ 在该函数图象上，则 $m =$
(2)证明:该二次函数的图象与 $x$ 轴有两个不同的公共点;
(3)若该函数图象上有两个点 $A(m+1, y_1)$，$B(m+p, y_2)$，当 $y_1 ＜ y_2$ 时，直接写出 $p$ 的取值范围.
(1)若点 $(2, -1)$ 在该函数图象上，则 $m =$
2
;(2)证明:该二次函数的图象与 $x$ 轴有两个不同的公共点;
(3)若该函数图象上有两个点 $A(m+1, y_1)$，$B(m+p, y_2)$，当 $y_1 ＜ y_2$ 时，直接写出 $p$ 的取值范围.
答案
(1) 2
(2) 证明：$\Delta = (-m)^2 - 4×\frac{1}{2}×(m-1) = m^2 - 2m + 2 = (m-1)^2 + 1$，
$\because (m-1)^2\ge0,\therefore (m-1)^2+1＞0,\therefore \Delta＞0,\therefore$ 该二次函数的图象与 $x$ 轴有两个不同的公共点.
(3) $p＞1$ 或 $p＜-1$.
解析：$y=\frac{1}{2}x^2 -mx +m -1$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{-m}{2×\frac{1}{2}}=m$，二次项系数 $\frac{1}{2}＞0$，$\therefore$ 二次函数图象开口向上.$\because y_1＜y_2,\therefore$ 点$A(m+1,y_1)$到对称轴的距离小于点 $B(m+p,y_2)$到对称轴的距离，$\therefore |m+1-m|＜|m+p-m|$，即$|p|＞1$，$\therefore p＞1$ 或 $p＜-1$.
(2) 证明：$\Delta = (-m)^2 - 4×\frac{1}{2}×(m-1) = m^2 - 2m + 2 = (m-1)^2 + 1$，
$\because (m-1)^2\ge0,\therefore (m-1)^2+1＞0,\therefore \Delta＞0,\therefore$ 该二次函数的图象与 $x$ 轴有两个不同的公共点.
(3) $p＞1$ 或 $p＜-1$.
解析：$y=\frac{1}{2}x^2 -mx +m -1$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{-m}{2×\frac{1}{2}}=m$，二次项系数 $\frac{1}{2}＞0$，$\therefore$ 二次函数图象开口向上.$\because y_1＜y_2,\therefore$ 点$A(m+1,y_1)$到对称轴的距离小于点 $B(m+p,y_2)$到对称轴的距离，$\therefore |m+1-m|＜|m+p-m|$，即$|p|＞1$，$\therefore p＞1$ 或 $p＜-1$.
2. (2025·连云港中考)已知二次函数$y=x^2 + 2(a+1)x + 3a^2 -2a +3$，a为常数.
(1)若该二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点，则a的取值范围是
(2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
(3)求证：该二次函数的图象不经过原点.
(1)若该二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点，则a的取值范围是
$a＞\frac{1}{2}$
；(2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
(3)求证：该二次函数的图象不经过原点.
答案
(1) $a＞\frac{1}{2}$
解析：$\because$ 二次函数 $y=x^2 + 2(a+1)x + 3a^2 -2a +3$ 中，1＞0，$\therefore$ 二次函数的图象开口向上.$\because$ 二次函数的图象与直线 $y=2a^2$ 有两个交点，$\therefore$ 函数的最小值小于 $2a^2$，则 $\frac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2$，即 $2a^2-4a+2＜2a^2$，解得 $a＞\frac{1}{2}$.
(2) $\because$ 二次函数的图象与 $x$ 轴有交点，$\therefore \Delta=4(a+1)^2 -4×1×(3a^2-2a+3)=-8a^2+16a-8=-8(a-1)^2\ge0$，$\therefore 8(a-1)^2\le0$.
又$\because 8(a-1)^2\ge0,\therefore 8(a-1)^2=0$，解得 $a=1$.
(3) 证明：$\because$ 当 $x=0$ 时，$y=3a^2-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}＞0$，$\therefore$ 二次函数的图象不经过原点.
解析：$\because$ 二次函数 $y=x^2 + 2(a+1)x + 3a^2 -2a +3$ 中，1＞0，$\therefore$ 二次函数的图象开口向上.$\because$ 二次函数的图象与直线 $y=2a^2$ 有两个交点，$\therefore$ 函数的最小值小于 $2a^2$，则 $\frac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2$，即 $2a^2-4a+2＜2a^2$，解得 $a＞\frac{1}{2}$.
(2) $\because$ 二次函数的图象与 $x$ 轴有交点，$\therefore \Delta=4(a+1)^2 -4×1×(3a^2-2a+3)=-8a^2+16a-8=-8(a-1)^2\ge0$，$\therefore 8(a-1)^2\le0$.
又$\because 8(a-1)^2\ge0,\therefore 8(a-1)^2=0$，解得 $a=1$.
(3) 证明：$\because$ 当 $x=0$ 时，$y=3a^2-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}＞0$，$\therefore$ 二次函数的图象不经过原点.
3. (2025·安徽中考)已知抛物线$y = ax^2 + bx(a ≠ 0)$经过点$(4,0)$。
(1)该抛物线的对称轴是________。
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y = ax^2 + bx$和$y = x^2 - 2x$上(A,B与原点都不重合)。
①若$a = \frac{1}{2}$，且$x_1 = x_2$，比较$y_1$与$y_2$的大小；
②当$\frac{y_2}{y_1} = \frac{x_2}{x_1}$时，若$\frac{x_2}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值，求$a$与$b$的值。
(1)该抛物线的对称轴是________。
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y = ax^2 + bx$和$y = x^2 - 2x$上(A,B与原点都不重合)。
①若$a = \frac{1}{2}$，且$x_1 = x_2$，比较$y_1$与$y_2$的大小；
②当$\frac{y_2}{y_1} = \frac{x_2}{x_1}$时，若$\frac{x_2}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值，求$a$与$b$的值。
答案
(1) 直线$x=2$
解析：由题意得，将点$(4,0)$代入 $y=ax^2+bx$，得 $16a+4b=0$，即 $b=-4a$，所以 $-\frac{b}{2a}=2$，故所求抛物线的对称轴是直线 $x=2$.
(2) ①由(1)可知，当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$b=-4a=-2$，抛物线 $y=ax^2+bx$ 的解析式为 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$.$\because x_1=x_2$，$\therefore y_2-y_1=(x_2^2-2x_2)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=x_1^2-2x_1-\frac{1}{2}x_1^2+2x_1=\frac{1}{2}x_1^2$.$\because$ 抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$ 过原点，且点 $A$ 与原点不重合，$\therefore x_1\ne0$，$\frac{1}{2}x_1^2＞0$，故 $y_2＞y_1$.
②由题意知，$y_1=ax_1^2-4ax_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$.$\because \frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$，$\therefore \frac{x_2^2-2x_2}{a(x_1^2-4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$.$\because$ 两条抛物线均过原点，且 $A,B$ 与原点都不重合，$\therefore x_1\ne0,x_2\ne0$. 故 $\frac{x_2-2}{a(x_1-4)}=1$，即 $x_2=a(x_1-4)+2$. 于是 $\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1-4)+2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$. 依题意知，$a+\frac{2-4a}{x_1}$ 是与 $x_1$ 无关的定值. 则 $2-4a=0$，解得 $a=\frac{1}{2}$. 经检验，当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$ 是一个与 $x_1$ 无关的定值，符合题意，$\therefore a=\frac{1}{2}$，$b=-4a=-2$.
解析：由题意得，将点$(4,0)$代入 $y=ax^2+bx$，得 $16a+4b=0$，即 $b=-4a$，所以 $-\frac{b}{2a}=2$，故所求抛物线的对称轴是直线 $x=2$.
(2) ①由(1)可知，当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$b=-4a=-2$，抛物线 $y=ax^2+bx$ 的解析式为 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$.$\because x_1=x_2$，$\therefore y_2-y_1=(x_2^2-2x_2)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=x_1^2-2x_1-\frac{1}{2}x_1^2+2x_1=\frac{1}{2}x_1^2$.$\because$ 抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$ 过原点，且点 $A$ 与原点不重合，$\therefore x_1\ne0$，$\frac{1}{2}x_1^2＞0$，故 $y_2＞y_1$.
②由题意知，$y_1=ax_1^2-4ax_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$.$\because \frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$，$\therefore \frac{x_2^2-2x_2}{a(x_1^2-4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$.$\because$ 两条抛物线均过原点，且 $A,B$ 与原点都不重合，$\therefore x_1\ne0,x_2\ne0$. 故 $\frac{x_2-2}{a(x_1-4)}=1$，即 $x_2=a(x_1-4)+2$. 于是 $\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1-4)+2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$. 依题意知，$a+\frac{2-4a}{x_1}$ 是与 $x_1$ 无关的定值. 则 $2-4a=0$，解得 $a=\frac{1}{2}$. 经检验，当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$ 是一个与 $x_1$ 无关的定值，符合题意，$\therefore a=\frac{1}{2}$，$b=-4a=-2$.
4. (2025·德州中考)已知抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n$($m,n$为常数)过点$(1,5)$.
(1)若该抛物线与$y$轴交于点$(0,-1)$.
①求该抛物线的解析式；
②已知$A(x_1,y_1)$，$B(2,y_2)$在该抛物线上，若对于$3t-1＜x_1＜3t+2$，都有$y_1＞y_2$，则$t$的取值范围是________.
(2)若对于任意实数$x$，都有$x^2+(2m+3)x+n≥3x+2$，此时抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n$与直线$y=4$交于$M,N$两点，求$MN$的长.
(1)若该抛物线与$y$轴交于点$(0,-1)$.
①求该抛物线的解析式；
②已知$A(x_1,y_1)$，$B(2,y_2)$在该抛物线上，若对于$3t-1＜x_1＜3t+2$，都有$y_1＞y_2$，则$t$的取值范围是________.
(2)若对于任意实数$x$，都有$x^2+(2m+3)x+n≥3x+2$，此时抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n$与直线$y=4$交于$M,N$两点，求$MN$的长.
答案
(1) ①$\because$ 抛物线 $y=x^2+(2m+3)x+n$ 过点 $(1,5)$ 和 $(0,-1)$，
$\therefore \begin{cases}1+2m+3+n=5,\\n=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1,\\n=-1,\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=x^2+5x-1$.
②$t\le-3$ 或 $t\ge1$
解析：$\because$ 抛物线 $y=x^2+5x-1$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{5}{2}$，$\therefore B(2,y_2)$ 关于对称轴的对称点为 $B'(-7,y_2)$.$\because$ 对于 $3t-1＜x_1＜3t+2$，都有 $y_1＞y_2$，$\therefore 3t+2\le-7$ 或 $3t-1\ge2$，解得 $t\le-3$ 或 $t\ge1$.
(2) $\because$ 抛物线 $y=x^2+(2m+3)x+n$ 过点 $(1,5)$，$\therefore 1+2m+3+n=5$，则 $n=1-2m$.$\because$ 对于任意实数 $x$，都有 $x^2+(2m+3)x+n\ge3x+2$，$\therefore x^2+2mx-1-2m\ge0$ 对任意实数 $x$ 都成立，$\therefore \Delta=4m^2-4(-1-2m)\le0$，$\therefore (m+1)^2\le0$，$\therefore m=-1$，$\therefore$ 抛物线解析式为 $y=x^2+x+3$，联立抛物线 $y=x^2+x+3$ 与直线 $y=4$，得 $x^2+x+3=4$，解得 $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，$\therefore$ 交点 $M,N$ 的横坐标分别为 $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 和 $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\therefore MN=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$.
$\therefore \begin{cases}1+2m+3+n=5,\\n=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1,\\n=-1,\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=x^2+5x-1$.
②$t\le-3$ 或 $t\ge1$
解析：$\because$ 抛物线 $y=x^2+5x-1$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{5}{2}$，$\therefore B(2,y_2)$ 关于对称轴的对称点为 $B'(-7,y_2)$.$\because$ 对于 $3t-1＜x_1＜3t+2$，都有 $y_1＞y_2$，$\therefore 3t+2\le-7$ 或 $3t-1\ge2$，解得 $t\le-3$ 或 $t\ge1$.
(2) $\because$ 抛物线 $y=x^2+(2m+3)x+n$ 过点 $(1,5)$，$\therefore 1+2m+3+n=5$，则 $n=1-2m$.$\because$ 对于任意实数 $x$，都有 $x^2+(2m+3)x+n\ge3x+2$，$\therefore x^2+2mx-1-2m\ge0$ 对任意实数 $x$ 都成立，$\therefore \Delta=4m^2-4(-1-2m)\le0$，$\therefore (m+1)^2\le0$，$\therefore m=-1$，$\therefore$ 抛物线解析式为 $y=x^2+x+3$，联立抛物线 $y=x^2+x+3$ 与直线 $y=4$，得 $x^2+x+3=4$，解得 $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，$\therefore$ 交点 $M,N$ 的横坐标分别为 $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 和 $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\therefore MN=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$.
