5. (2025·无锡中考)已知二次函数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + mx + \frac{\sqrt{3}}{3}m (m ≠ 0)$ 图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C.
(1)若该函数图象经过点$(0,\sqrt{3})$，求点A的横坐标；
(2)若$m＜3$，点$P(2,y_1)$和$Q(4,y_2)$在该函数图象上，证明：$y_1＞y_2$；
(3)若$△ ABC$是等腰三角形，求$m$的值.

(1) $\because$ 二次函数 $y=-\frac{1}{2}x^2+mx+\frac{\sqrt{3}}{3}m(m\ne0)$ 图象过点 $(0,\sqrt{3})$，$\therefore \frac{\sqrt{3}}{3}m=\sqrt{3}$，解得 $m=3$，$\therefore$ 二次函数为 $y=-\frac{1}{2}x^2+3x+\sqrt{3}$，$\therefore x_A=-\frac{3}{2×(-\frac{1}{2})}=3$，$\therefore$ 点 $A$ 的横坐标为 $3$.
(2) 证明：$\because$ 点 $P(2,y_1)$ 和 $Q(4,y_2)$ 在函数 $y=-\frac{1}{2}x^2+mx+\frac{\sqrt{3}}{3}m(m\ne0)$ 图象上，$\therefore y_1=-2+2m+\frac{\sqrt{3}}{3}m$，$y_2=-8+4m+\frac{\sqrt{3}}{3}m$.
$\because m＜3$，$y_1-y_2=-2+2m+\frac{\sqrt{3}}{3}m - (-8+4m+\frac{\sqrt{3}}{3}m)=-2(m-3)＞0$，$\therefore y_1＞y_2$.
(3) 在函数 $y=-\frac{1}{2}x^2+mx+\frac{\sqrt{3}}{3}m(m\ne0)$ 中，当 $x=0$ 时，$y=\frac{\sqrt{3}}{3}m$，$\therefore B(0,\frac{\sqrt{3}}{3}m)$.$\because y=-\frac{1}{2}x^2+mx+\frac{\sqrt{3}}{3}m=-\frac{1}{2}(x-m)^2+\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m$，二次函数图象的顶点为 $A$，对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$，$\therefore A(m,\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m)$，$C(m,0)$，$\therefore AB^2=m^2+(\frac{m^2}{2})^2$，$BC^2=m^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2$，$AC^2=(\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2$，当 $AB=AC$ 时，则 $m^2+(\frac{m^2}{2})^2=(\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2$，解得 $m=0$(舍去)，$m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
当 $AB=BC$ 时，则 $m^2+(\frac{m^2}{2})^2=m^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2$，解得 $m=0$(舍去)，$m=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$，当 $m=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 时，$A(-\frac{2\sqrt{3}}{3},0)$，$C(-\frac{2\sqrt{3}}{3},0)$，则 $A$ 和 $C$ 重合，舍去；当 $AC=BC$ 时，则 $(\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2=m^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2$，解得 $m=0$(舍去)，$m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$m=-2\sqrt{3}$. 综上，$m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 或 $m=-2\sqrt{3}$.

6. 已知函数$y=\begin{cases} -x^2 + nx + n & (x≥ n), \\ -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{n}{2}x + \dfrac{n}{2} & (x ＜ n). \end{cases}$（$n$为常数）
(1) 当$n=5$时:
①点$P(4,b)$在此函数图象上,求$b$的值;
②求此函数的最大值.
(2) 已知线段$AB$的两个端点坐标分别为$A(2,2),B(4,2)$,当此函数的图象与线段$AB$只有一个交点时,直接写出$n$的取值范围.
(3) 当此函数图象上有4个点到$x$轴的距离等于4时,求$n$的取值范围.

(1) 当 $n=5$ 时，$y=\begin{cases}-x^2+5x+5(x\ge5),\\-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}(x＜5).\end{cases}$
①将 $P(4,b)$ 代入 $y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}$，解得 $b=\frac{9}{2}$.
②当 $x\ge5$ 时，$x=5$ 时有最大值为 $5$；当 $x＜5$ 时，$x=\frac{5}{2}$ 时有最大值为 $\frac{45}{8}$.$\because \frac{45}{8}＞5$，$\therefore$ 函数的最大值为 $\frac{45}{8}$.
(2) $2\le n＜\frac{8}{3}$ 或 $\frac{18}{5}＜n＜4$.
解析：当 $n＜0$ 时，如图①所示，显然此时不符合题意；当 $0\le n＜2$ 时，如图②所示，显然此时不符合题意；当 $n\ge2$ 时，如图③所示，此时应满足
$\begin{cases}-\frac{1}{2}×2^2+\frac{n}{2}×2+\frac{n}{2}＜2,\\-2^2+2n+n\ge2,\\-4^2+4n+n\le2,\end{cases}$ 解得 $2\le n＜\frac{8}{3}$.

当 $n\ge\frac{8}{3}$ 时，如图④所示，此时应满足
$\begin{cases}-\frac{1}{2}× n^2+\frac{n}{2}× n+\frac{n}{2}＜2,\\-\frac{1}{2}×2^2+\frac{n}{2}×2+\frac{n}{2}\ge2,\\-4^2+4n+n＞2,\end{cases}$ 解得 $\frac{18}{5}＜n＜4$.
当 $n\ge4$ 时，如图⑤所示，显然此时不符合题意.
综上，当 $2\le n＜\frac{8}{3}$ 或 $\frac{18}{5}＜n＜4$ 时，此函数图象与线段 $AB$ 只有一个交点.

(3) 如图⑥所示，当 $\begin{cases}-\frac{1}{2}× n^2+\frac{n}{2}× n+\frac{n}{2}\le-4,\\-(\frac{n}{2})^2+n·\frac{n}{2}+n＞4\end{cases}$ 时，符合题意. 解得 $n\le-8$.
如图⑦所示，当 $\begin{cases}-\frac{1}{2}× n^2+\frac{n}{2}× n+\frac{n}{2}＞-4,\\-(\frac{n}{2})^2+n·\frac{n}{2}+n=4,\\-n^2+n· n+n\le-4\end{cases}$ 时，符合题意. 解得 $n=-2\sqrt{5}-2$.

如图⑧所示，当 $\begin{cases}-\frac{1}{2}×(\frac{n}{2})^2+\frac{n}{2}×\frac{n}{2}+\frac{n}{2}=4,\\-n^2+n· n+n\ge4\end{cases}$ 时，符合题意. 解得 $n=4$.

如图⑨所示，当 $\begin{cases}-\frac{1}{2}× n^2+\frac{n}{2}× n+\frac{n}{2}\ge4,\\-n^2+n· n+n\ge4\end{cases}$ 时，符合题意. 解得 $n\ge8$.

综上，函数图象上有4个点到 $x$ 轴的距离等于4时，$n\le-8$ 或 $n=-2\sqrt{5}-2$ 或 $n=4$ 或 $n\ge8$.