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1 [2025湖北]若一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，则下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题思路为：首先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中各项系数$a、b、c$的取值，再根据韦达定理的两个公式分别计算两根之和、两根之积，最后将计算结果和选项逐一比对，即可选出正确结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1、x_2$，则根与系数的关系为：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在题干方程$x^2 -4x +3=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=3$，代入公式计算可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$。
逐一核对选项：A、B选项的两根之和结果错误，C选项的两根之积结果错误，只有D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题，是韦达定理的直接应用类题型，只要准确记忆公式、正确识别方程各项系数，代入计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题思路为：首先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中各项系数$a、b、c$的取值，再根据韦达定理的两个公式分别计算两根之和、两根之积，最后将计算结果和选项逐一比对，即可选出正确结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1、x_2$，则根与系数的关系为：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在题干方程$x^2 -4x +3=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=3$，代入公式计算可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$。
逐一核对选项：A、B选项的两根之和结果错误，C选项的两根之积结果错误，只有D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题，是韦达定理的直接应用类题型，只要准确记忆公式、正确识别方程各项系数，代入计算即可得分。
【难度系数】
0.9
2 若$x=-1$是关于$x$的方程$x^2 + x + m = 0$的一个根，则此方程的另一个根是（
A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=1$
D.$x=2$
B
）A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=1$
D.$x=2$
答案
B
解析
【分析】
解题可以从两个思路入手：思路1：利用一元二次方程根的定义，先将已知根x=-1代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根的情况下，直接通过两根之和的公式计算另一个根，这种方法更简便，适合快速求解选择题。
【解析】
方法一（根与系数的关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2 + x + m = 0$，则$a=1$，$b=1$，已知一个根$x_1=-1$，代入公式得：
$-1 + x_2 = -\frac{1}{1} = -1$
解得$x_2=0$。
方法二（代入求参法）：
将$x=-1$代入原方程$x^2 + x + m = 0$，得：
$(-1)^2 + (-1) + m = 0$
计算得$1 - 1 + m = 0$，解得$m=0$。
则原方程为$x^2 + x = 0$，因式分解得$x(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=0$，即另一个根为0。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，两种解题方法都是一元二次方程章节的核心方法，熟练掌握根与系数的关系可以简化计算，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
解题可以从两个思路入手：思路1：利用一元二次方程根的定义，先将已知根x=-1代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根的情况下，直接通过两根之和的公式计算另一个根，这种方法更简便，适合快速求解选择题。
【解析】
方法一（根与系数的关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2 + x + m = 0$，则$a=1$，$b=1$，已知一个根$x_1=-1$，代入公式得：
$-1 + x_2 = -\frac{1}{1} = -1$
解得$x_2=0$。
方法二（代入求参法）：
将$x=-1$代入原方程$x^2 + x + m = 0$，得：
$(-1)^2 + (-1) + m = 0$
计算得$1 - 1 + m = 0$，解得$m=0$。
则原方程为$x^2 + x = 0$，因式分解得$x(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=0$，即另一个根为0。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，两种解题方法都是一元二次方程章节的核心方法，熟练掌握根与系数的关系可以简化计算，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
3 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x + m - 2 = 0$的两个根，且该方程的两根互为倒数，则$m$的值为
3
。答案
3
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：题目给出一元二次方程的两根互为倒数，根据倒数的性质可知两根的乘积为1；再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可以直接写出该方程两根之积的表达式，令其等于1即可列方程求出m的值；最后需要验证此时方程的判别式大于0，确保方程有两个实数根，保证结果符合题意。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x + m - 2 = 0$的两个根，且两根互为倒数，
∴根据倒数的性质可得：$x_1x_2=1$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，
在方程$x^2 - 3x + m - 2 = 0$中，$a=1$，$c=m-2$，
∴根据韦达定理得：$x_1x_2 = m-2$，
∴$m-2=1$，解得$m=3$，
验证判别式：$\Delta=(-3)^2 -4×1×(3-2)=9-4=5＞0$，此时方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 倒数的性质
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础类题型，核心考查韦达定理的应用，解题的关键是结合倒数性质得到两根乘积的定值，再代入韦达定理列方程求解，注意求出参数后要验证判别式，避免出现方程无实根的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：题目给出一元二次方程的两根互为倒数，根据倒数的性质可知两根的乘积为1；再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可以直接写出该方程两根之积的表达式，令其等于1即可列方程求出m的值；最后需要验证此时方程的判别式大于0，确保方程有两个实数根，保证结果符合题意。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x + m - 2 = 0$的两个根，且两根互为倒数，
∴根据倒数的性质可得：$x_1x_2=1$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，
在方程$x^2 - 3x + m - 2 = 0$中，$a=1$，$c=m-2$，
∴根据韦达定理得：$x_1x_2 = m-2$，
∴$m-2=1$，解得$m=3$，
验证判别式：$\Delta=(-3)^2 -4×1×(3-2)=9-4=5＞0$，此时方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 倒数的性质
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础类题型，核心考查韦达定理的应用，解题的关键是结合倒数性质得到两根乘积的定值，再代入韦达定理列方程求解，注意求出参数后要验证判别式，避免出现方程无实根的错误。
【难度系数】
0.8
4 [2024 西宁]已知$x^2 + 2x - 1 = 0$的两根分别为a和b，则$4a^2 + 8ab + 4b^2$的值为
16
。答案
16
解析
【分析】
解题时先从已知条件和所求代数式的特点入手：首先已知一元二次方程的两根，可先根据根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和a+b的值；再观察所求代数式的结构，先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解，将其转化为含a+b的形式，最后代入数值计算即可，无需单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$x^2 + 2x - 1 = 0$的两根分别为$a$和$b$，
根据根与系数的关系，得：$a + b = -\frac{2}{1} = -2$。
对所求代数式化简变形：
$4a^2 + 8ab + 4b^2$
$= 4(a^2 + 2ab + b^2)$
$= 4(a + b)^2$
将$a + b = -2$代入上式，得：
原式$= 4× (-2)^2 = 4× 4 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
韦达定理，完全平方公式，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用类题目，核心是掌握韦达定理的内容，同时能熟练对整式进行因式分解变形，将未知代数式转化为可直接代入已知条件计算的形式，能有效避免直接求根带来的复杂计算。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件和所求代数式的特点入手：首先已知一元二次方程的两根，可先根据根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和a+b的值；再观察所求代数式的结构，先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解，将其转化为含a+b的形式，最后代入数值计算即可，无需单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$x^2 + 2x - 1 = 0$的两根分别为$a$和$b$，
根据根与系数的关系，得：$a + b = -\frac{2}{1} = -2$。
对所求代数式化简变形：
$4a^2 + 8ab + 4b^2$
$= 4(a^2 + 2ab + b^2)$
$= 4(a + b)^2$
将$a + b = -2$代入上式，得：
原式$= 4× (-2)^2 = 4× 4 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
韦达定理，完全平方公式，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用类题目，核心是掌握韦达定理的内容，同时能熟练对整式进行因式分解变形，将未知代数式转化为可直接代入已知条件计算的形式，能有效避免直接求根带来的复杂计算。
【难度系数】
0.8
5 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -4x +1=0$的两个实数根，求下面各式的值.
(1) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$；
(2) $x_1^2 + x_2^2$.
(1) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$；
(2) $x_1^2 + x_2^2$.
答案
由一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1 + x_2=4,x_1x_2=1.$
(1) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=1×4=4$
(2) $x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2×1=14$
(1) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=1×4=4$
(2) $x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2×1=14$
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根组成的代数式的值，无需直接求解方程得到两根的具体值，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积，再将待求的代数式通过因式分解、完全平方公式变形为含有两根之和、两根之积的形式，最后整体代入数值计算即可，比直接求根代入更简便。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 -4x +1=0$，可得：
$x_1 + x_2=4$，$x_1x_2=1$
(1) 对$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$提取公因式变形：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$
将$x_1 + x_2=4$，$x_1x_2=1$代入得：
原式$=1×4=4$
(2) 利用完全平方公式对$x_1^2 + x_2^2$变形：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
将$x_1 + x_2=4$，$x_1x_2=1$代入得：
原式$=4^2-2×1=16-2=14$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{14}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 因式分解；3. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握代数式的恒等变形技巧，运用整体代入的思想简化计算，可有效规避求解方程根带来的繁琐运算。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程两根组成的代数式的值，无需直接求解方程得到两根的具体值，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积，再将待求的代数式通过因式分解、完全平方公式变形为含有两根之和、两根之积的形式，最后整体代入数值计算即可，比直接求根代入更简便。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 -4x +1=0$，可得：
$x_1 + x_2=4$，$x_1x_2=1$
(1) 对$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$提取公因式变形：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$
将$x_1 + x_2=4$，$x_1x_2=1$代入得：
原式$=1×4=4$
(2) 利用完全平方公式对$x_1^2 + x_2^2$变形：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
将$x_1 + x_2=4$，$x_1x_2=1$代入得：
原式$=4^2-2×1=16-2=14$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{14}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 因式分解；3. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握代数式的恒等变形技巧，运用整体代入的思想简化计算，可有效规避求解方程根带来的繁琐运算。
【难度系数】
0.8
6 关于x的一元二次方程$x^2 + 3x + m -1 =0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$。
（1）求m的取值范围；
（2）若$2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0$，求m的值。
（1）求m的取值范围；
（2）若$2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0$，求m的值。
答案
(1) $\because$ 原方程有两个实数根, $\therefore \Delta=9-4(m-1)=-4m+13≥0$,解得 $m≤\dfrac{13}{4}$
(2) 由一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1+x_2=-3,x_1x_2=m-1.$ $\because 2(x_1+x_2)+x_1x_2+10=0$, $\therefore 2×(-3)+m-1+10=0$,解得 $m=-3$
(2) 由一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1+x_2=-3,x_1x_2=m-1.$ $\because 2(x_1+x_2)+x_1x_2+10=0$, $\therefore 2×(-3)+m-1+10=0$,解得 $m=-3$
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个实数根，可利用根的判别式求解参数范围：当$\Delta≥0$时，方程有两个实数根。先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）题目给出含两根之和、两根之积的等式，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于$m$的表达式，再代入给定等式得到关于$m$的方程，求解后验证结果是否符合第一问的取值范围即可。
【解析】
（1）$\because$ 原一元二次方程有两个实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4×1×(m-1) = 9 - 4m + 4 = -4m +13 ≥ 0$，
解不等式得：$-4m≥-13$，即$m≤ \dfrac{13}{4}$。
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = -3$，$x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = m-1$，
将上述结果代入$2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0$得：
$2×(-3) + (m-1) + 10 = 0$，
化简计算：$-6 + m -1 +10 = 0$，即$m+3=0$，
解得$m=-3$，
验证得$-3≤ \dfrac{13}{4}$，符合$m$的取值范围。
【答案】
（1）$m≤ \dfrac{13}{4}$；（2）$m=-3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常规考题，核心考察根的判别式、根与系数关系的应用，解题时需注意求解参数后要验证参数是否满足方程有实根的前提，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
（1）已知一元二次方程有两个实数根，可利用根的判别式求解参数范围：当$\Delta≥0$时，方程有两个实数根。先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）题目给出含两根之和、两根之积的等式，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于$m$的表达式，再代入给定等式得到关于$m$的方程，求解后验证结果是否符合第一问的取值范围即可。
【解析】
（1）$\because$ 原一元二次方程有两个实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4×1×(m-1) = 9 - 4m + 4 = -4m +13 ≥ 0$，
解不等式得：$-4m≥-13$，即$m≤ \dfrac{13}{4}$。
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = -3$，$x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = m-1$，
将上述结果代入$2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0$得：
$2×(-3) + (m-1) + 10 = 0$，
化简计算：$-6 + m -1 +10 = 0$，即$m+3=0$，
解得$m=-3$，
验证得$-3≤ \dfrac{13}{4}$，符合$m$的取值范围。
【答案】
（1）$m≤ \dfrac{13}{4}$；（2）$m=-3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常规考题，核心考察根的判别式、根与系数关系的应用，解题时需注意求解参数后要验证参数是否满足方程有实根的前提，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
7 已知$a,b$是一元二次方程$x^2 + 2025x + 1 = 0$的两个实数根，则$\sqrt{\dfrac{b}{a}} + \sqrt{\dfrac{a}{b}}$的值是（
A.$-2025$
B.$2025$
C.$\dfrac{1}{2025}$
D.$-\dfrac{1}{2025}$
B
）A.$-2025$
B.$2025$
C.$\dfrac{1}{2025}$
D.$-\dfrac{1}{2025}$
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：①首先看到a、b是一元二次方程的两个实根，优先想到用根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和a+b、两根之积ab的值；②观察所求式子含二次根式，根据二次根式被开方数非负、分母不为0的要求，可判断a、b同号，再结合两根之和的符号确定a、b均为负数，避免后续化简时符号出错；③将所求二次根式式化简后，代入韦达定理的结果计算即可，也可先根据二次根式的非负性直接排除负数选项A、D，缩小选择范围。
【解析】
解：
∵a，b是一元二次方程$x^2 + 2025x + 1 = 0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$a + b = -2025$，$ab = 1$，
∵$ab=1＞0$，
∴a与b同号，
又
∵$a + b = -2025 ＜ 0$，
∴$a＜0$，$b＜0$，
化简$\sqrt{\dfrac{b}{a}} + \sqrt{\dfrac{a}{b}}$：
根据二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{mn}}{|n|}（m,n同号，n≠0）$，可得：
$\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}$，$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{|b|}$，
∵$a＜0$，$b＜0$，
∴$|a|=-a$，$|b|=-b$，$\sqrt{ab}=\sqrt{1}=1$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1}{-a}+\dfrac{1}{-b}\\&=-\dfrac{a+b}{ab}\\&=-\dfrac{-2025}{1}\\&=2025\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 二次根式的性质与化简
3. 有理数符号判断
【点评】
本题是韦达定理与二次根式化简的综合基础题，易错点是忽略a、b均为负数，化简二次根式时符号出错，解题时先判断两根的符号是避免出错的关键，也可利用二次根式结果非负的特点快速排除错误选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先看到a、b是一元二次方程的两个实根，优先想到用根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和a+b、两根之积ab的值；②观察所求式子含二次根式，根据二次根式被开方数非负、分母不为0的要求，可判断a、b同号，再结合两根之和的符号确定a、b均为负数，避免后续化简时符号出错；③将所求二次根式式化简后，代入韦达定理的结果计算即可，也可先根据二次根式的非负性直接排除负数选项A、D，缩小选择范围。
【解析】
解：
∵a，b是一元二次方程$x^2 + 2025x + 1 = 0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$a + b = -2025$，$ab = 1$，
∵$ab=1＞0$，
∴a与b同号，
又
∵$a + b = -2025 ＜ 0$，
∴$a＜0$，$b＜0$，
化简$\sqrt{\dfrac{b}{a}} + \sqrt{\dfrac{a}{b}}$：
根据二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{mn}}{|n|}（m,n同号，n≠0）$，可得：
$\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}$，$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{|b|}$，
∵$a＜0$，$b＜0$，
∴$|a|=-a$，$|b|=-b$，$\sqrt{ab}=\sqrt{1}=1$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1}{-a}+\dfrac{1}{-b}\\&=-\dfrac{a+b}{ab}\\&=-\dfrac{-2025}{1}\\&=2025\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 二次根式的性质与化简
3. 有理数符号判断
【点评】
本题是韦达定理与二次根式化简的综合基础题，易错点是忽略a、b均为负数，化简二次根式时符号出错，解题时先判断两根的符号是避免出错的关键，也可利用二次根式结果非负的特点快速排除错误选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
8 若关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两根之和为2，两根之积为$-3$，则关于$y$的方程$a(y-2)^2 + b(y-2) + c = 0$的两根之积为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
D
）A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
答案
D 【解析】把方程 $a(y-2)^2 + b(y-2) + c = 0$ 看作关于 $y-2$ 的一元二次方程,设关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为 $x_1,x_2$,则方程 $a(y-2)^2 + b(y-2) + c = 0$ 的两根为$y_1=x_1+2,y_2=x_2+2.$ $\because$ 关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之和为 2,两根之积为 $-3$,$\therefore x_1+x_2=2,x_1x_2=-3.$ $\therefore y_1y_2=(x_1+2)(x_2+2)=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=-3+2×2+4=5.$
解析
【分析】
观察两个方程的结构可发现，关于y的方程中$(y-2)$的地位等价于原关于x的方程中的x，因此可采用换元法，设$t=y-2$，则新方程转化为和原方程结构完全相同的关于t的一元二次方程，它的两个根就是原方程的两个根$x_1$、$x_2$，由此可得新方程的根$y_1=x_1+2$，$y_2=x_2+2$。要求新方程两根之积，只需将乘积展开，代入已知的原方程两根之和与两根之积的数值计算即可。
【解析】
设关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1$、$x_2$，由题意得：$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-3$。
设$t=y-2$，则关于$y$的方程$a(y-2)^2 + b(y-2) + c = 0$可变形为$at^2+bt+c=0$，因此该方程的两根为$t_1=x_1$，$t_2=x_2$，即$y_1-2=x_1$，$y_2-2=x_2$，可得$y_1=x_1+2$，$y_2=x_2+2$。
则新方程两根之积为：
$\begin{aligned}y_1y_2&=(x_1+2)(x_2+2)\\&=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4\end{aligned}$
代入$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-3$计算得：
$y_1y_2=-3+2×2+4=5$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，换元法，代数式求值
【点评】
本题核心是通过换元法建立两个一元二次方程根的联系，结合根与系数的关系计算新方程根的乘积，解题关键是识别两个方程结构的一致性，灵活转换变量，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
观察两个方程的结构可发现，关于y的方程中$(y-2)$的地位等价于原关于x的方程中的x，因此可采用换元法，设$t=y-2$，则新方程转化为和原方程结构完全相同的关于t的一元二次方程，它的两个根就是原方程的两个根$x_1$、$x_2$，由此可得新方程的根$y_1=x_1+2$，$y_2=x_2+2$。要求新方程两根之积，只需将乘积展开，代入已知的原方程两根之和与两根之积的数值计算即可。
【解析】
设关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1$、$x_2$，由题意得：$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-3$。
设$t=y-2$，则关于$y$的方程$a(y-2)^2 + b(y-2) + c = 0$可变形为$at^2+bt+c=0$，因此该方程的两根为$t_1=x_1$，$t_2=x_2$，即$y_1-2=x_1$，$y_2-2=x_2$，可得$y_1=x_1+2$，$y_2=x_2+2$。
则新方程两根之积为：
$\begin{aligned}y_1y_2&=(x_1+2)(x_2+2)\\&=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4\end{aligned}$
代入$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-3$计算得：
$y_1y_2=-3+2×2+4=5$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，换元法，代数式求值
【点评】
本题核心是通过换元法建立两个一元二次方程根的联系，结合根与系数的关系计算新方程根的乘积，解题关键是识别两个方程结构的一致性，灵活转换变量，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
9 [2025广安]已知方程$x^2 -5x -24=0$的两根分别为$a$和$b$，则代数式$a^2 -4a +b$的值为
29
.答案
29
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，得到a²与a的数量关系，对所求代数式中的高次项降次化简；再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和a+b的值，最后整体代入化简后的代数式即可求出结果，无需直接求解方程的根，可简化计算。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24 = 0$，
整理得：$a^2 = 5a + 24$。
将$a^2 = 5a + 24$代入代数式$a^2 -4a +b$得：
$a^2 -4a +b = (5a + 24) -4a +b = a + b + 24$。
∵a、b是方程$x^2 -5x -24=0$的两根，根据根与系数的关系：
$a + b = -\frac{-5}{1} = 5$。
将$a + b =5$代入$a + b +24$得：
$5 + 24 = 29$。
【答案】
29
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 代数式化简求值
【点评】
本题综合考察一元二次方程相关性质的应用，解题核心是通过根的定义实现降次，再结合韦达定理整体代入计算，既可以用直接求根的方法求解，也可以用整体思想简化运算，能够很好地考察学生对知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，得到a²与a的数量关系，对所求代数式中的高次项降次化简；再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和a+b的值，最后整体代入化简后的代数式即可求出结果，无需直接求解方程的根，可简化计算。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24 = 0$，
整理得：$a^2 = 5a + 24$。
将$a^2 = 5a + 24$代入代数式$a^2 -4a +b$得：
$a^2 -4a +b = (5a + 24) -4a +b = a + b + 24$。
∵a、b是方程$x^2 -5x -24=0$的两根，根据根与系数的关系：
$a + b = -\frac{-5}{1} = 5$。
将$a + b =5$代入$a + b +24$得：
$5 + 24 = 29$。
【答案】
29
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 代数式化简求值
【点评】
本题综合考察一元二次方程相关性质的应用，解题核心是通过根的定义实现降次，再结合韦达定理整体代入计算，既可以用直接求根的方法求解，也可以用整体思想简化运算，能够很好地考察学生对知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
10 [2025 南充]设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
（1）当$x_1=-1$时，求$x_2$及$m$的值；
（2）求证：$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
（1）当$x_1=-1$时，求$x_2$及$m$的值；
（2）求证：$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
(1) 把 $x_1=-1$ 代入方程 $(x-1)(x-2)=m^2$,得 $m^2=6$, $\therefore m=\pm\sqrt{6}.$ $\therefore (x-1)(x-2)=6$,即 $x^2-3x-4=0.$ $\therefore x_1+x_2=3.$ $\therefore x_2=4$
(2) 方程 $(x-1)(x-2)=m^2$ 可化为 $x^2-3x+2-m^2=0.$ $\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0,$ $\therefore$ 方程有两个不相等的实数根. $\therefore x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2.$ $\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2.$ $\because m^2≥0,\therefore -m^2≤0$,即 $(x_1-1)(x_2-1)≤0$
(2) 方程 $(x-1)(x-2)=m^2$ 可化为 $x^2-3x+2-m^2=0.$ $\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0,$ $\therefore$ 方程有两个不相等的实数根. $\therefore x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2.$ $\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2.$ $\because m^2≥0,\therefore -m^2≤0$,即 $(x_1-1)(x_2-1)≤0$
解析
【分析】
（1）已知方程的一个根，可先利用方程根的定义，将已知根代入原方程求出$m^2$，进而得到$m$的值；求另一根时，将方程化为一般形式后，用根与系数的关系计算两根和，可快速得出另一个根，比直接解方程更简便。
（2）要证明含两根的代数式小于等于0，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，通过判别式确认方程有两个实根后，用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将待证的代数式展开，代入两根和、积的表达式化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
（1）把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，$\therefore m=\pm\sqrt{6}$。
此时原方程为$(x-1)(x-2)=6$，整理得$x^2-3x-4=0$。
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=3$，已知$x_1=-1$，则$x_2=3-(-1)=4$。
（2）证明：方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为一般式：$x^2-3x+2-m^2=0$。
判别式$\Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$，因此方程总有两个不相等的实数根。
由根与系数的关系得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入两根和、积的值得：
原式$=2-m^2-3+1=-m^2$。
$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立，详见解析。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）；平方的非负性
【点评】
本题侧重考查一元二次方程相关性质的基础应用，第一问为常规基础题型，第二问需要掌握代数式的变形技巧，能较好地检验学生对韦达定理的掌握程度和代数推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）已知方程的一个根，可先利用方程根的定义，将已知根代入原方程求出$m^2$，进而得到$m$的值；求另一根时，将方程化为一般形式后，用根与系数的关系计算两根和，可快速得出另一个根，比直接解方程更简便。
（2）要证明含两根的代数式小于等于0，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，通过判别式确认方程有两个实根后，用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将待证的代数式展开，代入两根和、积的表达式化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
（1）把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，$\therefore m=\pm\sqrt{6}$。
此时原方程为$(x-1)(x-2)=6$，整理得$x^2-3x-4=0$。
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=3$，已知$x_1=-1$，则$x_2=3-(-1)=4$。
（2）证明：方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为一般式：$x^2-3x+2-m^2=0$。
判别式$\Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$，因此方程总有两个不相等的实数根。
由根与系数的关系得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入两根和、积的值得：
原式$=2-m^2-3+1=-m^2$。
$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立，详见解析。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）；平方的非负性
【点评】
本题侧重考查一元二次方程相关性质的基础应用，第一问为常规基础题型，第二问需要掌握代数式的变形技巧，能较好地检验学生对韦达定理的掌握程度和代数推理能力。
【难度系数】
0.7
