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1 若$a,b$是一元二次方程$x^2 + x -8=0$的两个实数根，则代数式$a^2 + 2a + b - ab$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$15$
D.$17$
C
）A.$-1$
B.$1$
C.$15$
D.$17$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，利用一元二次方程根的定义，因为a是方程的根，代入方程可得$a^2+a=8$，将待求代数式中的$a^2+2a$拆分为$(a^2+a)+a$，实现高次项降次，代数式可变形为$(a^2+a)+(a+b)-ab$；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$的值，最后代入变形后的代数式计算即可。
【解析】
解：
∵a是一元二次方程$x^2 + x -8=0$的实数根
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + a - 8 = 0$，即$a^2 + a = 8$
对代数式变形可得：
$a^2 + 2a + b - ab = (a^2 + a) + (a + b) - ab$
∵a、b是一元二次方程$x^2 + x -8=0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
两根之和$a+b = -1$，两根之积$ab = -8$
将$a^2+a=8$、$a+b=-1$、$ab=-8$代入上式得：
原式$= 8 + (-1) - (-8) = 8 -1 +8 =15$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的常考题型，核心考查根的定义和韦达定理的综合运用，解题的关键是先通过根的定义完成高次项降次，再将代数式转化为含两根和、两根积的形式代入计算，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步思考：第一步，利用一元二次方程根的定义，因为a是方程的根，代入方程可得$a^2+a=8$，将待求代数式中的$a^2+2a$拆分为$(a^2+a)+a$，实现高次项降次，代数式可变形为$(a^2+a)+(a+b)-ab$；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$的值，最后代入变形后的代数式计算即可。
【解析】
解：
∵a是一元二次方程$x^2 + x -8=0$的实数根
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + a - 8 = 0$，即$a^2 + a = 8$
对代数式变形可得：
$a^2 + 2a + b - ab = (a^2 + a) + (a + b) - ab$
∵a、b是一元二次方程$x^2 + x -8=0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
两根之和$a+b = -1$，两根之积$ab = -8$
将$a^2+a=8$、$a+b=-1$、$ab=-8$代入上式得：
原式$= 8 + (-1) - (-8) = 8 -1 +8 =15$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的常考题型，核心考查根的定义和韦达定理的综合运用，解题的关键是先通过根的定义完成高次项降次，再将代数式转化为含两根和、两根积的形式代入计算，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
2 若实数$a$，$b$分别满足$a^2 - 3a + 2 = 0$，$b^2 - 3b + 2 = 0$，且$a ≠ b$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值为
$\frac{3}{2}$
.答案
2. $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
首先观察到a、b满足的方程形式完全相同，且$a≠b$，因此可以判定a、b是一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个不相等的实数根。接下来将待求式$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$通分变形为$\frac{a+b}{ab}$，只需利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$，整体代入即可算出结果，无需分别求解a、b的具体值，简化计算。
【解析】
解：
∵实数a、b分别满足$a^2 - 3a + 2 = 0$，$b^2 - 3b + 2 = 0$，且$a ≠ b$，
∴a、b是一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：
$a + b = 3$，$ab = 2$，
对$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$通分化简得：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab}$，
将$a+b=3$，$ab=2$代入上式得：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；分式化简求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是先根据两个方程的特征判断a、b为对应一元二次方程的两根，再将所求代数式合理变形后整体代入计算，既可以用韦达定理快速求解，也可以通过解方程求出a、b的具体值后代入计算，两种方法都能得到正确结果。
【难度系数】
0.8
首先观察到a、b满足的方程形式完全相同，且$a≠b$，因此可以判定a、b是一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个不相等的实数根。接下来将待求式$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$通分变形为$\frac{a+b}{ab}$，只需利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$，整体代入即可算出结果，无需分别求解a、b的具体值，简化计算。
【解析】
解：
∵实数a、b分别满足$a^2 - 3a + 2 = 0$，$b^2 - 3b + 2 = 0$，且$a ≠ b$，
∴a、b是一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：
$a + b = 3$，$ab = 2$，
对$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$通分化简得：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab}$，
将$a+b=3$，$ab=2$代入上式得：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；分式化简求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是先根据两个方程的特征判断a、b为对应一元二次方程的两根，再将所求代数式合理变形后整体代入计算，既可以用韦达定理快速求解，也可以通过解方程求出a、b的具体值后代入计算，两种方法都能得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3 已知关于 x 的方程 $x^2 -2x + m -2 =0$ 有两个实数根 $x_1, x_2$，求 $3x_1 +3x_2 -x_1x_2$ 的最小值。
答案
3. 根据题意,得 $\Delta=(-2)^2-4(m-2)≥0$,解得 $m≤3.\because x_1+$$x_2=2,x_1x_2=m-2,\therefore 3x_1+3x_2-x_1x_2=3(x_1+x_2)-$$x_1x_2=6-(m-2)=-m+8.\because m≤3,\therefore$ 当 $m=3$ 时, $3x_1+$$3x_2-x_1x_2$ 的值最小,最小值为 $-3+8=5$
解析
【分析】
解题时首先从题目条件“方程有两个实数根”入手，先利用一元二次方程根的判别式求出参数m的取值范围；再观察所求代数式$3x_1 +3x_2 -x_1x_2$的结构，可变形为与两根和、两根积相关的形式，因此用根与系数的关系（韦达定理）将两根和、两根积用含m的代数式表示，代入所求式后将其转化为关于m的一次式；最后结合m的取值范围和一次函数的增减性，即可求出代数式的最小值。
【解析】
解：
∵ 方程$x^2 -2x + m -2 =0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(m-2) ≥ 0$，
计算得：$4 - 4m + 8 ≥ 0$，即$12 - 4m ≥ 0$，解得$m ≤ 3$。
由根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = m - 2$。
将所求代数式变形代入：
$3x_1 + 3x_2 - x_1x_2 = 3(x_1 + x_2) - x_1x_2 = 3×2 - (m - 2) = 6 - m + 2 = -m + 8$。
∵ 代数式$-m + 8$中m的系数为$-1 ＜ 0$，因此该式的值随m的增大而减小，
∴ 当m取最大值3时，代数式的值最小，最小值为$-3 + 8 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 一次函数的增减性
【点评】
本题是一元二次方程根的相关知识的综合应用题型，解题的核心是不要遗漏根据方程根的个数确定参数取值范围这一步骤，再通过韦达定理将所求代数式转化为参数的表达式，结合参数范围求解最值，是该模块的常考典型题。
【难度系数】
0.6
解题时首先从题目条件“方程有两个实数根”入手，先利用一元二次方程根的判别式求出参数m的取值范围；再观察所求代数式$3x_1 +3x_2 -x_1x_2$的结构，可变形为与两根和、两根积相关的形式，因此用根与系数的关系（韦达定理）将两根和、两根积用含m的代数式表示，代入所求式后将其转化为关于m的一次式；最后结合m的取值范围和一次函数的增减性，即可求出代数式的最小值。
【解析】
解：
∵ 方程$x^2 -2x + m -2 =0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(m-2) ≥ 0$，
计算得：$4 - 4m + 8 ≥ 0$，即$12 - 4m ≥ 0$，解得$m ≤ 3$。
由根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = m - 2$。
将所求代数式变形代入：
$3x_1 + 3x_2 - x_1x_2 = 3(x_1 + x_2) - x_1x_2 = 3×2 - (m - 2) = 6 - m + 2 = -m + 8$。
∵ 代数式$-m + 8$中m的系数为$-1 ＜ 0$，因此该式的值随m的增大而减小，
∴ 当m取最大值3时，代数式的值最小，最小值为$-3 + 8 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 一次函数的增减性
【点评】
本题是一元二次方程根的相关知识的综合应用题型，解题的核心是不要遗漏根据方程根的个数确定参数取值范围这一步骤，再通过韦达定理将所求代数式转化为参数的表达式，结合参数范围求解最值，是该模块的常考典型题。
【难度系数】
0.6
4 已知实数$m,n$满足$m^2 - 3m + 1 = 0$，$n^2 - 3n + 1 = 0$，且$m≠n$，求$\frac{1}{\sqrt{m}} + \frac{1}{\sqrt{n}}$的值。
答案
4. $\because m^2-3m+1=0,n^2-3n+1=0$,且 $m≠ n,\therefore m,n$ 可看作方程 $x^2-3x+1=0$ 的两根. $\therefore m+n=3,mn=1.\therefore (\dfrac{1}{\sqrt{m}}+ $$ \dfrac{1}{\sqrt{n}})^2=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{\sqrt{mn}}=\dfrac{m+n}{mn}+\dfrac{2}{\sqrt{mn}}=\dfrac{3}{1}+\dfrac{2}{\sqrt{1}}=5.$$\therefore \dfrac{1}{\sqrt{m}}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{5}$
解析
【分析】
首先观察到m、n满足的方程结构完全相同，且m≠n，因此可将m、n看作一元二次方程$x^2-3x+1=0$的两个不等实数根，利用根与系数的关系直接得到$m+n$与$mn$的值；由于所求代数式含有二次根式，直接计算较为复杂，因此先计算该代数式的平方，将平方后的式子通分变形，代入$m+n$与$mn$的值即可求出平方的结果，最后结合二次根式的非负性，对结果开方取正即可得到原式的值。
【解析】
$\because m^2 - 3m + 1 = 0$，$n^2 - 3n + 1 = 0$，且$m≠n$，
$\therefore m$、$n$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$m+n=3$，$mn=1$。
先计算所求代数式的平方：
$(\dfrac{1}{\sqrt{m}} + \dfrac{1}{\sqrt{n}})^2 = \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{\sqrt{mn}}$
将$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}$通分得$\dfrac{m+n}{mn}$，代入$m+n=3$，$mn=1$：
$(\dfrac{1}{\sqrt{m}} + \dfrac{1}{\sqrt{n}})^2= \dfrac{m+n}{mn} + \dfrac{2}{\sqrt{mn}} = \dfrac{3}{1} + \dfrac{2}{\sqrt{1}} = 3 + 2 = 5$
$\because \dfrac{1}{\sqrt{m}}＞0$，$\dfrac{1}{\sqrt{n}}＞0$，$\therefore \dfrac{1}{\sqrt{m}} + \dfrac{1}{\sqrt{n}}＞0$，
$\therefore \dfrac{1}{\sqrt{m}} + \dfrac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式应用
3. 二次根式化简
【点评】
本题巧妙运用了同结构方程的根的特征，结合韦达定理避免了单独求解m、n的繁琐运算，通过先平方再开方的技巧将含根式的代数式转化为便于整体代入的形式，体现了整体思想在代数式求值中的应用，是根与系数关系应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先观察到m、n满足的方程结构完全相同，且m≠n，因此可将m、n看作一元二次方程$x^2-3x+1=0$的两个不等实数根，利用根与系数的关系直接得到$m+n$与$mn$的值；由于所求代数式含有二次根式，直接计算较为复杂，因此先计算该代数式的平方，将平方后的式子通分变形，代入$m+n$与$mn$的值即可求出平方的结果，最后结合二次根式的非负性，对结果开方取正即可得到原式的值。
【解析】
$\because m^2 - 3m + 1 = 0$，$n^2 - 3n + 1 = 0$，且$m≠n$，
$\therefore m$、$n$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$m+n=3$，$mn=1$。
先计算所求代数式的平方：
$(\dfrac{1}{\sqrt{m}} + \dfrac{1}{\sqrt{n}})^2 = \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{\sqrt{mn}}$
将$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}$通分得$\dfrac{m+n}{mn}$，代入$m+n=3$，$mn=1$：
$(\dfrac{1}{\sqrt{m}} + \dfrac{1}{\sqrt{n}})^2= \dfrac{m+n}{mn} + \dfrac{2}{\sqrt{mn}} = \dfrac{3}{1} + \dfrac{2}{\sqrt{1}} = 3 + 2 = 5$
$\because \dfrac{1}{\sqrt{m}}＞0$，$\dfrac{1}{\sqrt{n}}＞0$，$\therefore \dfrac{1}{\sqrt{m}} + \dfrac{1}{\sqrt{n}}＞0$，
$\therefore \dfrac{1}{\sqrt{m}} + \dfrac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式应用
3. 二次根式化简
【点评】
本题巧妙运用了同结构方程的根的特征，结合韦达定理避免了单独求解m、n的繁琐运算，通过先平方再开方的技巧将含根式的代数式转化为便于整体代入的形式，体现了整体思想在代数式求值中的应用，是根与系数关系应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
5 一题多解 已知实数$p,q$满足$p^2=3p+2$，$2q^2=1-3q$，且$p· q≠1$，求$\frac{pq + p + 1}{q}$的值。
答案
5. 解法一: $\because 2q^2=1-3q,\therefore q≠0.\therefore$ 两边除以 $q^2$,整理,得$(\dfrac{1}{q})^2-3(\dfrac{1}{q})-2=0.\because p^2=3p+2$,即 $p^2-3p-2=0$,且$pq≠1,\therefore p≠\dfrac{1}{q}.\therefore p,\dfrac{1}{q}$ 是方程 $x^2-3x-2=0$ 的两个不同的实数根. $\therefore p+\dfrac{1}{q}=3,p·\dfrac{1}{q}=-2.\therefore \dfrac{pq+p+1}{q}=p+\dfrac{p}{q}+$$\dfrac{1}{q}=p+\dfrac{1}{q}+p·\dfrac{1}{q}=3-2=1$
解法二:由题意,实数 $p,q$ 满足 $p^2=3p+2,2q^2=1-3q$,分别用求根公式求出 $p,q$ 的值,再代入 $\dfrac{pq+p+1}{q}$ 计算即可(运算量大,注意 $p· q≠1$)
解法二:由题意,实数 $p,q$ 满足 $p^2=3p+2,2q^2=1-3q$,分别用求根公式求出 $p,q$ 的值,再代入 $\dfrac{pq+p+1}{q}$ 计算即可(运算量大,注意 $p· q≠1$)
解析
【分析】
首先观察已知的两个关于p、q的方程，若直接用求根公式求解p、q再代入计算，运算量较大易出错。我们可以先对q的方程进行变形，先判断q≠0，再将方程两边同时除以q²，整理后可得到与p的方程结构完全相同的关于$\frac{1}{q}$的一元二次方程；再结合$pq≠1$的条件，可知p和$\frac{1}{q}$是该一元二次方程的两个不等实根，最后利用韦达定理求出两根和与两根积，将所求代数式拆分变形后代入即可快速算出结果。
【解析】
解法一：
$\because 2q^2=1-3q$，若$q=0$，代入等式得$0=1$，矛盾，故$q≠0$。
将等式两边同时除以$q^2$，整理得：$(\dfrac{1}{q})^2 - 3·\dfrac{1}{q} - 2 = 0$。
又$\because p^2=3p+2$，整理得$p^2 - 3p - 2 = 0$，且$pq≠1$，即$p≠\dfrac{1}{q}$，
$\therefore p$和$\dfrac{1}{q}$是一元二次方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两个不相等的实数根。
根据韦达定理可得：$p + \dfrac{1}{q} = 3$，$p·\dfrac{1}{q} = -2$。
将所求代数式拆分：$\dfrac{pq + p + 1}{q} = p + \dfrac{p}{q} + \dfrac{1}{q} = (p + \dfrac{1}{q}) + p·\dfrac{1}{q}$，
代入得：原式$= 3 + (-2) = 1$。
解法二：
可分别对两个方程用求根公式求出p、q的取值，再结合$pq≠1$的条件筛选合适的取值，代入所求代数式计算即可，该方法运算量较大，计算时需注意符号。
【答案】
$1$
【知识点】
韦达定理，同构方程构造，代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题目，解题核心是通过变形构造出结构相同的一元二次方程，将两个未知量转化为同一方程的两个根，巧用韦达定理大幅简化运算，解题时需注意挖掘题目中$pq≠1$的限制条件，判断两根是否相等，避免漏用条件出错。
【难度系数】
0.6
首先观察已知的两个关于p、q的方程，若直接用求根公式求解p、q再代入计算，运算量较大易出错。我们可以先对q的方程进行变形，先判断q≠0，再将方程两边同时除以q²，整理后可得到与p的方程结构完全相同的关于$\frac{1}{q}$的一元二次方程；再结合$pq≠1$的条件，可知p和$\frac{1}{q}$是该一元二次方程的两个不等实根，最后利用韦达定理求出两根和与两根积，将所求代数式拆分变形后代入即可快速算出结果。
【解析】
解法一：
$\because 2q^2=1-3q$，若$q=0$，代入等式得$0=1$，矛盾，故$q≠0$。
将等式两边同时除以$q^2$，整理得：$(\dfrac{1}{q})^2 - 3·\dfrac{1}{q} - 2 = 0$。
又$\because p^2=3p+2$，整理得$p^2 - 3p - 2 = 0$，且$pq≠1$，即$p≠\dfrac{1}{q}$，
$\therefore p$和$\dfrac{1}{q}$是一元二次方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两个不相等的实数根。
根据韦达定理可得：$p + \dfrac{1}{q} = 3$，$p·\dfrac{1}{q} = -2$。
将所求代数式拆分：$\dfrac{pq + p + 1}{q} = p + \dfrac{p}{q} + \dfrac{1}{q} = (p + \dfrac{1}{q}) + p·\dfrac{1}{q}$，
代入得：原式$= 3 + (-2) = 1$。
解法二：
可分别对两个方程用求根公式求出p、q的取值，再结合$pq≠1$的条件筛选合适的取值，代入所求代数式计算即可，该方法运算量较大，计算时需注意符号。
【答案】
$1$
【知识点】
韦达定理，同构方程构造，代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题目，解题核心是通过变形构造出结构相同的一元二次方程，将两个未知量转化为同一方程的两个根，巧用韦达定理大幅简化运算，解题时需注意挖掘题目中$pq≠1$的限制条件，判断两根是否相等，避免漏用条件出错。
【难度系数】
0.6
6 已知α,β是关于x的一元二次方程$x^2 + mx + m = 0$的两个不相等的实数根，且满足$α^2 + β^2 = 3$，则m的值是（
A.3或-1
B.-3或1
C.3
D.-1
D
）A.3或-1
B.-3或1
C.3
D.-1
答案
6. D
解析
【分析】
解题时首先结合题目给出的“两个不相等的实数根”条件，先利用一元二次方程根的判别式得到参数m的取值范围；再根据根与系数的关系（韦达定理）写出两根之和、两根之积的表达式；接着利用完全平方公式将α²+β²变形为含有两根之和、两根之积的形式，代入已知条件列方程求出m的可能值；最后结合之前得到的m的取值范围舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
解：
∵α，β是一元二次方程$x^2 + mx + m = 0$的两个不相等的实数根
∴首先满足判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中a=1，b=m，c=m
即$\Delta = m^2 - 4m ＞ 0$，因式分解得$m(m-4)＞0$，解得$m＞4$或$m＜0$
根据韦达定理，得：
$α + β = -m$，$αβ = m$
由完全平方公式变形可得：
$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ$
将$α^2 + β^2=3$，$α+β=-m$，$αβ=m$代入上式，得：
$(-m)^2 - 2m = 3$
整理得$m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得$(m-3)(m+1)=0$
解得$m=3$或$m=-1$
结合之前判别式得到的$m＞4$或$m＜0$的条件，$m=3$不符合要求，舍去
∴$m=-1$
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，易错点是求出m的可能值后忽略验证判别式的限制条件，导致误选含错误解的选项，解题时要注意优先结合根的个数条件确定参数的取值范围，最后对求出的参数值进行校验。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合题目给出的“两个不相等的实数根”条件，先利用一元二次方程根的判别式得到参数m的取值范围；再根据根与系数的关系（韦达定理）写出两根之和、两根之积的表达式；接着利用完全平方公式将α²+β²变形为含有两根之和、两根之积的形式，代入已知条件列方程求出m的可能值；最后结合之前得到的m的取值范围舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
解：
∵α，β是一元二次方程$x^2 + mx + m = 0$的两个不相等的实数根
∴首先满足判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中a=1，b=m，c=m
即$\Delta = m^2 - 4m ＞ 0$，因式分解得$m(m-4)＞0$，解得$m＞4$或$m＜0$
根据韦达定理，得：
$α + β = -m$，$αβ = m$
由完全平方公式变形可得：
$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ$
将$α^2 + β^2=3$，$α+β=-m$，$αβ=m$代入上式，得：
$(-m)^2 - 2m = 3$
整理得$m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得$(m-3)(m+1)=0$
解得$m=3$或$m=-1$
结合之前判别式得到的$m＞4$或$m＜0$的条件，$m=3$不符合要求，舍去
∴$m=-1$
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，易错点是求出m的可能值后忽略验证判别式的限制条件，导致误选含错误解的选项，解题时要注意优先结合根的个数条件确定参数的取值范围，最后对求出的参数值进行校验。
【难度系数】
0.7
7 已知关于$x$的一元二次方程$px^2 + 2x + q = 0$的两个根分别为2和$-4$，则$p=$
1
，$q=$-8
。答案
7. 1 $-8$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：1. 先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根$x_1$、$x_2$满足的关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；2. 对应本题的方程，确定$a=p$，$b=2$，$c=q$，结合已知的两根2和-4，分别代入两根之和、两根之积的公式，得到关于$p$、$q$的方程，求解即可得到结果。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$px^2 + 2x + q = 0$的两根为$x_1=2$，$x_2=-4$，且$p≠0$。
根据一元二次方程根与系数的关系计算：
1. 由两根之和的关系得：$x_1+x_2=-\frac{2}{p}$
代入两根数值：$2+(-4)=-\frac{2}{p}$
化简得：$-2=-\frac{2}{p}$
两边同乘$p$（$p≠0$）得：$-2p=-2$，解得$p=1$。
2. 由两根之积的关系得：$x_1x_2=\frac{q}{p}$
代入$x_1=2$、$x_2=-4$、$p=1$得：$2×(-4)=\frac{q}{1}$
解得$q=-8$。
【答案】
$1$；$-8$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题关键是熟记韦达定理的公式，准确对应方程的各项系数代入计算，解题时注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件即可。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：1. 先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根$x_1$、$x_2$满足的关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；2. 对应本题的方程，确定$a=p$，$b=2$，$c=q$，结合已知的两根2和-4，分别代入两根之和、两根之积的公式，得到关于$p$、$q$的方程，求解即可得到结果。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$px^2 + 2x + q = 0$的两根为$x_1=2$，$x_2=-4$，且$p≠0$。
根据一元二次方程根与系数的关系计算：
1. 由两根之和的关系得：$x_1+x_2=-\frac{2}{p}$
代入两根数值：$2+(-4)=-\frac{2}{p}$
化简得：$-2=-\frac{2}{p}$
两边同乘$p$（$p≠0$）得：$-2p=-2$，解得$p=1$。
2. 由两根之积的关系得：$x_1x_2=\frac{q}{p}$
代入$x_1=2$、$x_2=-4$、$p=1$得：$2×(-4)=\frac{q}{1}$
解得$q=-8$。
【答案】
$1$；$-8$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题关键是熟记韦达定理的公式，准确对应方程的各项系数代入计算，解题时注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件即可。
【难度系数】
0.9
8 新考向 存在性问题 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + 2m - 1 = 0$的两个实数根分别是$x_1, x_2$，是否存在实数$m$，满足$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = \dfrac{6}{m - 5}$？若存在，求出实数$m$的值；若不存在，请说明理由。
答案
8. 存在 由题意,得 $\Delta=(-6)^2-4(2m-1)≥0$,解得 $m≤5$. 易得 $m≠5.\therefore m＜5.\because (x_1-1)(x_2-1)=\dfrac{6}{m-5},\therefore x_1x_2-$$(x_1+x_2)+1=\dfrac{6}{m-5}$,即 $2m-1-6+1=\dfrac{6}{m-5}$. 整理,得 $m^2-$$8m+12=0$,解得 $m_1=2,m_2=6$. 经检验, $m_1=2,m_2=6$ 为原方程的解. $\because m＜5,\therefore m=2$
解析
【分析】
要解决该存在性问题，需按如下逻辑思考：①首先一元二次方程有两个实数根，因此根的判别式Δ必须≥0，同时等式右侧是分式，分母不能为0，据此先求出m的初步取值范围；②利用一元二次方程根与系数的关系，写出两根之和、两根之积的表达式；③将给定等式左边展开，代入两根之和与两根之积，得到关于m的方程并求解；④最后将解出的m值代入初步取值范围检验，符合范围的m值即为所求，若均不符合则不存在对应m。
【解析】
解：存在，理由如下：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + 2m - 1 = 0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m-1) ≥ 0$，
即$36 - 8m + 4 ≥ 0$，解得$m ≤ 5$，
又
∵ 等式右侧分母为$m-5$，分母不能为0，
∴ $m -5 ≠ 0$，即$m ≠ 5$，因此$m ＜ 5$。
根据根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m - 1$，
将$(x_1 -1)(x_2 -1) = \dfrac{6}{m-5}$左边展开，得：
$x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = \dfrac{6}{m-5}$，
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，得：
$2m - 1 - 6 + 1 = \dfrac{6}{m-5}$，
整理得：$2m - 6 = \dfrac{6}{m-5}$，
两边同乘$m-5$（$m≠5$）去分母，得：
$(2m -6)(m -5) = 6$，
展开并整理得：$m^2 - 8m + 12 = 0$，
因式分解得：$(m-2)(m-6)=0$，
解得：$m_1=2$，$m_2=6$。
经检验，$m_1=2$、$m_2=6$都是分式方程的解，
又
∵ $m ＜5$，
∴ $m=6$不符合取值范围，舍去，
∴ 符合条件的$m$的值为$2$。
【答案】
存在，实数$m$的值为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；分式方程检验
【点评】
本题是典型的一元二次方程存在性探究题，解题时需注意两个关键前提：一是一元二次方程有实根必须满足判别式非负，二是分式方程的分母不能为零，解出参数后必须结合前提条件检验，舍去不符合要求的增根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
要解决该存在性问题，需按如下逻辑思考：①首先一元二次方程有两个实数根，因此根的判别式Δ必须≥0，同时等式右侧是分式，分母不能为0，据此先求出m的初步取值范围；②利用一元二次方程根与系数的关系，写出两根之和、两根之积的表达式；③将给定等式左边展开，代入两根之和与两根之积，得到关于m的方程并求解；④最后将解出的m值代入初步取值范围检验，符合范围的m值即为所求，若均不符合则不存在对应m。
【解析】
解：存在，理由如下：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + 2m - 1 = 0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m-1) ≥ 0$，
即$36 - 8m + 4 ≥ 0$，解得$m ≤ 5$，
又
∵ 等式右侧分母为$m-5$，分母不能为0，
∴ $m -5 ≠ 0$，即$m ≠ 5$，因此$m ＜ 5$。
根据根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m - 1$，
将$(x_1 -1)(x_2 -1) = \dfrac{6}{m-5}$左边展开，得：
$x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = \dfrac{6}{m-5}$，
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，得：
$2m - 1 - 6 + 1 = \dfrac{6}{m-5}$，
整理得：$2m - 6 = \dfrac{6}{m-5}$，
两边同乘$m-5$（$m≠5$）去分母，得：
$(2m -6)(m -5) = 6$，
展开并整理得：$m^2 - 8m + 12 = 0$，
因式分解得：$(m-2)(m-6)=0$，
解得：$m_1=2$，$m_2=6$。
经检验，$m_1=2$、$m_2=6$都是分式方程的解，
又
∵ $m ＜5$，
∴ $m=6$不符合取值范围，舍去，
∴ 符合条件的$m$的值为$2$。
【答案】
存在，实数$m$的值为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；分式方程检验
【点评】
本题是典型的一元二次方程存在性探究题，解题时需注意两个关键前提：一是一元二次方程有实根必须满足判别式非负，二是分式方程的分母不能为零，解出参数后必须结合前提条件检验，舍去不符合要求的增根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
