1 若$a,b$是一元二次方程$x^2 + x -8=0$的两个实数根，则代数式$a^2 + 2a + b - ab$的值为（）

A.$-1$
B.$1$
C.$15$
D.$17$

1. C

2 若实数$a$，$b$分别满足$a^2 - 3a + 2 = 0$，$b^2 - 3b + 2 = 0$，且$a ≠ b$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值为.

2. $\frac{3}{2}$

3 已知关于 x 的方程 $x^2 -2x + m -2 =0$ 有两个实数根 $x_1, x_2$，求 $3x_1 +3x_2 -x_1x_2$ 的最小值。

3. 根据题意,得 $\Delta=(-2)^2-4(m-2)≥0$,解得 $m≤3.\because x_1+$$x_2=2,x_1x_2=m-2,\therefore 3x_1+3x_2-x_1x_2=3(x_1+x_2)-$$x_1x_2=6-(m-2)=-m+8.\because m≤3,\therefore$ 当 $m=3$ 时, $3x_1+$$3x_2-x_1x_2$ 的值最小,最小值为 $-3+8=5$

4 已知实数$m,n$满足$m^2 - 3m + 1 = 0$，$n^2 - 3n + 1 = 0$，且$m≠n$，求$\frac{1}{\sqrt{m}} + \frac{1}{\sqrt{n}}$的值。

4. $\because m^2-3m+1=0,n^2-3n+1=0$,且 $m≠ n,\therefore m,n$ 可看作方程 $x^2-3x+1=0$ 的两根. $\therefore m+n=3,mn=1.\therefore (\dfrac{1}{\sqrt{m}}+ $$ \dfrac{1}{\sqrt{n}})^2=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{\sqrt{mn}}=\dfrac{m+n}{mn}+\dfrac{2}{\sqrt{mn}}=\dfrac{3}{1}+\dfrac{2}{\sqrt{1}}=5.$$\therefore \dfrac{1}{\sqrt{m}}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{5}$

5 一题多解 已知实数$p,q$满足$p^2=3p+2$，$2q^2=1-3q$，且$p· q≠1$，求$\frac{pq + p + 1}{q}$的值。

5. 解法一: $\because 2q^2=1-3q,\therefore q≠0.\therefore$ 两边除以 $q^2$,整理,得$(\dfrac{1}{q})^2-3(\dfrac{1}{q})-2=0.\because p^2=3p+2$,即 $p^2-3p-2=0$,且$pq≠1,\therefore p≠\dfrac{1}{q}.\therefore p,\dfrac{1}{q}$ 是方程 $x^2-3x-2=0$ 的两个不同的实数根. $\therefore p+\dfrac{1}{q}=3,p·\dfrac{1}{q}=-2.\therefore \dfrac{pq+p+1}{q}=p+\dfrac{p}{q}+$$\dfrac{1}{q}=p+\dfrac{1}{q}+p·\dfrac{1}{q}=3-2=1$
解法二:由题意,实数 $p,q$ 满足 $p^2=3p+2,2q^2=1-3q$,分别用求根公式求出 $p,q$ 的值,再代入 $\dfrac{pq+p+1}{q}$ 计算即可(运算量大,注意 $p· q≠1$)

6 已知α,β是关于x的一元二次方程$x^2 + mx + m = 0$的两个不相等的实数根，且满足$α^2 + β^2 = 3$，则m的值是（）

A.3或-1
B.-3或1
C.3
D.-1

6. D

7 已知关于$x$的一元二次方程$px^2 + 2x + q = 0$的两个根分别为2和$-4$，则$p=$，$q=$。

7. 1 $-8$

8 新考向 存在性问题 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + 2m - 1 = 0$的两个实数根分别是$x_1, x_2$，是否存在实数$m$，满足$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = \dfrac{6}{m - 5}$？若存在，求出实数$m$的值；若不存在，请说明理由。

8. 存在 由题意,得 $\Delta=(-6)^2-4(2m-1)≥0$,解得 $m≤5$. 易得 $m≠5.\therefore m＜5.\because (x_1-1)(x_2-1)=\dfrac{6}{m-5},\therefore x_1x_2-$$(x_1+x_2)+1=\dfrac{6}{m-5}$,即 $2m-1-6+1=\dfrac{6}{m-5}$. 整理,得 $m^2-$$8m+12=0$,解得 $m_1=2,m_2=6$. 经检验, $m_1=2,m_2=6$ 为原方程的解. $\because m＜5,\therefore m=2$