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1 [2025湖北]若一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，则下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
D
2 若$x=-1$是关于$x$的方程$x^2 + x + m = 0$的一个根，则此方程的另一个根是（
A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=1$
D.$x=2$
B
）A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=1$
D.$x=2$
答案
B
3 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x + m - 2 = 0$的两个根，且该方程的两根互为倒数，则$m$的值为
3
。答案
3
4 [2024 西宁]已知$x^2 + 2x - 1 = 0$的两根分别为a和b，则$4a^2 + 8ab + 4b^2$的值为
16
。答案
16
5 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -4x +1=0$的两个实数根，求下面各式的值.
(1) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$；
(2) $x_1^2 + x_2^2$.
(1) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$；
(2) $x_1^2 + x_2^2$.
答案
由一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1 + x_2=4,x_1x_2=1.$
(1) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=1×4=4$
(2) $x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2×1=14$
(1) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=1×4=4$
(2) $x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2×1=14$
6 关于x的一元二次方程$x^2 + 3x + m -1 =0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$。
（1）求m的取值范围；
（2）若$2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0$，求m的值。
（1）求m的取值范围；
（2）若$2(x_1 + x_2) + x_1x_2 + 10 = 0$，求m的值。
答案
(1) $\because$ 原方程有两个实数根, $\therefore \Delta=9-4(m-1)=-4m+13≥0$,解得 $m≤\dfrac{13}{4}$
(2) 由一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1+x_2=-3,x_1x_2=m-1.$ $\because 2(x_1+x_2)+x_1x_2+10=0$, $\therefore 2×(-3)+m-1+10=0$,解得 $m=-3$
(2) 由一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1+x_2=-3,x_1x_2=m-1.$ $\because 2(x_1+x_2)+x_1x_2+10=0$, $\therefore 2×(-3)+m-1+10=0$,解得 $m=-3$
7 已知$a,b$是一元二次方程$x^2 + 2025x + 1 = 0$的两个实数根，则$\sqrt{\dfrac{b}{a}} + \sqrt{\dfrac{a}{b}}$的值是（
A.$-2025$
B.$2025$
C.$\dfrac{1}{2025}$
D.$-\dfrac{1}{2025}$
B
）A.$-2025$
B.$2025$
C.$\dfrac{1}{2025}$
D.$-\dfrac{1}{2025}$
答案
B
8 若关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两根之和为2，两根之积为$-3$，则关于$y$的方程$a(y-2)^2 + b(y-2) + c = 0$的两根之积为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
D
）A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
答案
D 【解析】把方程 $a(y-2)^2 + b(y-2) + c = 0$ 看作关于 $y-2$ 的一元二次方程,设关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为 $x_1,x_2$,则方程 $a(y-2)^2 + b(y-2) + c = 0$ 的两根为$y_1=x_1+2,y_2=x_2+2.$ $\because$ 关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之和为 2,两根之积为 $-3$,$\therefore x_1+x_2=2,x_1x_2=-3.$ $\therefore y_1y_2=(x_1+2)(x_2+2)=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=-3+2×2+4=5.$
9 [2025广安]已知方程$x^2 -5x -24=0$的两根分别为$a$和$b$，则代数式$a^2 -4a +b$的值为
29
.答案
29
10 [2025 南充]设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
（1）当$x_1=-1$时，求$x_2$及$m$的值；
（2）求证：$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
（1）当$x_1=-1$时，求$x_2$及$m$的值；
（2）求证：$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
(1) 把 $x_1=-1$ 代入方程 $(x-1)(x-2)=m^2$,得 $m^2=6$, $\therefore m=\pm\sqrt{6}.$ $\therefore (x-1)(x-2)=6$,即 $x^2-3x-4=0.$ $\therefore x_1+x_2=3.$ $\therefore x_2=4$
(2) 方程 $(x-1)(x-2)=m^2$ 可化为 $x^2-3x+2-m^2=0.$ $\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0,$ $\therefore$ 方程有两个不相等的实数根. $\therefore x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2.$ $\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2.$ $\because m^2≥0,\therefore -m^2≤0$,即 $(x_1-1)(x_2-1)≤0$
(2) 方程 $(x-1)(x-2)=m^2$ 可化为 $x^2-3x+2-m^2=0.$ $\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0,$ $\therefore$ 方程有两个不相等的实数根. $\therefore x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2.$ $\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2.$ $\because m^2≥0,\therefore -m^2≤0$,即 $(x_1-1)(x_2-1)≤0$
