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1 下列场景中,没有运用黄金分割原理的是（
A.达·芬奇《蒙娜丽莎》的构图
B.雅典帕特农神庙的建筑布局
C.华罗庚的优选法
D.正方形桌面的边长设计
D
）A.达·芬奇《蒙娜丽莎》的构图
B.雅典帕特农神庙的建筑布局
C.华罗庚的优选法
D.正方形桌面的边长设计
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要明确黄金分割的核心特征：其比值约为0.618，该比例常被应用在艺术创作、建筑设计、优化方法等领域。我们只需逐一判断各选项是否符合黄金分割的应用特征即可：第一步先回忆黄金分割的基本概念，第二步逐个核对选项的应用场景是否用到约0.618的比例，最终筛选出未运用黄金分割原理的选项。
【解析】
黄金分割的定义：把一条线段分为两部分，使较长部分与整条线段的长度比等于较短部分与较长部分的长度比，该比值约为0.618，这个比例称为黄金分割比。
对各选项逐一分析：
A. 《蒙娜丽莎》的构图大量运用黄金分割比例来提升画面美感，运用了黄金分割原理，不符合题意；
B. 雅典帕特农神庙的高与宽的比值接近0.618，建筑布局运用了黄金分割原理，不符合题意；
C. 华罗庚的优选法中常用的0.618法，正是直接利用黄金分割比值优化试验次数，运用了黄金分割原理，不符合题意；
D. 正方形桌面的四条边长相等，相邻边长的比值为1，与黄金分割比0.618无关，未运用黄金分割原理，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的概念、黄金分割的实际应用
【点评】
本题考查黄金分割在实际场景中的应用，属于基础题，只要掌握黄金分割的比值特征，同时积累常见的黄金分割应用案例就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确黄金分割的核心特征：其比值约为0.618，该比例常被应用在艺术创作、建筑设计、优化方法等领域。我们只需逐一判断各选项是否符合黄金分割的应用特征即可：第一步先回忆黄金分割的基本概念，第二步逐个核对选项的应用场景是否用到约0.618的比例，最终筛选出未运用黄金分割原理的选项。
【解析】
黄金分割的定义：把一条线段分为两部分，使较长部分与整条线段的长度比等于较短部分与较长部分的长度比，该比值约为0.618，这个比例称为黄金分割比。
对各选项逐一分析：
A. 《蒙娜丽莎》的构图大量运用黄金分割比例来提升画面美感，运用了黄金分割原理，不符合题意；
B. 雅典帕特农神庙的高与宽的比值接近0.618，建筑布局运用了黄金分割原理，不符合题意；
C. 华罗庚的优选法中常用的0.618法，正是直接利用黄金分割比值优化试验次数，运用了黄金分割原理，不符合题意；
D. 正方形桌面的四条边长相等，相邻边长的比值为1，与黄金分割比0.618无关，未运用黄金分割原理，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的概念、黄金分割的实际应用
【点评】
本题考查黄金分割在实际场景中的应用，属于基础题，只要掌握黄金分割的比值特征，同时积累常见的黄金分割应用案例就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
2 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫作
黄金分割
，分割点叫作这条线段的黄金分割点
。答案
2. 黄金分割 黄金分割点
解析
【分析】
这是一道基础概念识记题，解题时先梳理题干给出的线段分割的特征：线段被分为两段后，较长线段的长度是全线段长度与较短线段长度的比例中项，即若设全线段长为a，较长段长为b，较短段长为a-b，则满足$b^2=a(a-b)$，这一特征完全对应黄金分割的定义，结合所学概念直接填空即可。
【解析】
根据黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫作黄金分割，这个分割点叫作这条线段的黄金分割点。因此依次填入对应概念即可。
【答案】
黄金分割；黄金分割点
【知识点】
黄金分割的定义；比例中项
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对黄金分割相关定义的记忆与识别，只要熟练掌握课本中的基础概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
这是一道基础概念识记题，解题时先梳理题干给出的线段分割的特征：线段被分为两段后，较长线段的长度是全线段长度与较短线段长度的比例中项，即若设全线段长为a，较长段长为b，较短段长为a-b，则满足$b^2=a(a-b)$，这一特征完全对应黄金分割的定义，结合所学概念直接填空即可。
【解析】
根据黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫作黄金分割，这个分割点叫作这条线段的黄金分割点。因此依次填入对应概念即可。
【答案】
黄金分割；黄金分割点
【知识点】
黄金分割的定义；比例中项
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对黄金分割相关定义的记忆与识别，只要熟练掌握课本中的基础概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
3 若线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，$C$是$AB$的黄金分割点$(AC＞CB)$，则$AC$的长度约为
6.18
$\mathrm{cm}$（结果精确到$0.01\ \mathrm{cm}$）。答案
3. 6.18
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），当AC与AB的比等于BC与AC的比时，点C叫做AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。本题已知AC＞CB，说明AC是较长段，只需用AB的长度乘以黄金比即可求出AC的长度，最后按要求精确到0.01即可。
【解析】
解：
∵C是线段AB的黄金分割点，且$AC＞CB$
∴较长线段AC与AB的比值为黄金比，即$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$
又
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$
∴$AC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx10×0.618=6.18\ \mathrm{cm}$
【答案】
6.18
【知识点】
黄金分割的定义；近似数计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是明确黄金分割点的性质，准确判断较长线段对应的比例关系，熟记黄金比的近似值即可快速求解，计算时注意按要求保留小数位数。
【难度系数】
0.8
首先回忆黄金分割的定义：若点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），当AC与AB的比等于BC与AC的比时，点C叫做AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。本题已知AC＞CB，说明AC是较长段，只需用AB的长度乘以黄金比即可求出AC的长度，最后按要求精确到0.01即可。
【解析】
解：
∵C是线段AB的黄金分割点，且$AC＞CB$
∴较长线段AC与AB的比值为黄金比，即$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$
又
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$
∴$AC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx10×0.618=6.18\ \mathrm{cm}$
【答案】
6.18
【知识点】
黄金分割的定义；近似数计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是明确黄金分割点的性质，准确判断较长线段对应的比例关系，熟记黄金比的近似值即可快速求解，计算时注意按要求保留小数位数。
【难度系数】
0.8
4 如图，线段$AB=12\ \mathrm{cm}$，$C$，$D$分别是$AB$的两个黄金分割点$(AC＜CB, AD＞DB)$，求$CD$的长度。
答案
4.
∵ C,D 是 AB 的两个黄金分割点,AB=12 cm,AC＜CB,AD＞DB,
∴ CB=AD=AB×$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=12×$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=6($\sqrt{5}$-1)cm.
∴ AC=AB-CB=12-6($\sqrt{5}$-1)=(18-6$\sqrt{5}$)cm.
∴ CD=AD-AC=6($\sqrt{5}$-1)-(18-6$\sqrt{5}$)=(12$\sqrt{5}$-24)cm,即 CD 的长度为(12$\sqrt{5}$-24)cm
∵ C,D 是 AB 的两个黄金分割点,AB=12 cm,AC＜CB,AD＞DB,
∴ CB=AD=AB×$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=12×$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=6($\sqrt{5}$-1)cm.
∴ AC=AB-CB=12-6($\sqrt{5}$-1)=(18-6$\sqrt{5}$)cm.
∴ CD=AD-AC=6($\sqrt{5}$-1)-(18-6$\sqrt{5}$)=(12$\sqrt{5}$-24)cm,即 CD 的长度为(12$\sqrt{5}$-24)cm
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：线段上一点将线段分为两段，若较长段长度是整条线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。本题中已知C、D是AB的黄金分割点，结合$AC＜CB$、$AD＞DB$的条件，可先确定AD、CB是AB对应的黄金分割较长段，先计算AD、CB的长度，再计算AC的长度，最后根据线段的差的关系$CD=AD-AC$即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵ C，D是AB的两个黄金分割点，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC＜CB$，$AD＞DB$，
∴ 较长段$CB=AD=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=12×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=6(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC=AB-CB=12-6(\sqrt{5}-1)=(18-6\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$，
∴ $CD=AD-AC=6(\sqrt{5}-1)-(18-6\sqrt{5})=6\sqrt{5}-6-18+6\sqrt{5}=(12\sqrt{5}-24)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(12\sqrt{5}-24)\ \mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割的定义，线段的和差计算
【点评】
本题属于黄金分割的基础应用类题目，解题的关键是准确判断黄金分割对应的较长线段，熟记黄金分割的比值，再结合线段的位置关系通过和差运算求解即可。
【难度系数】
0.7
首先回忆黄金分割的定义：线段上一点将线段分为两段，若较长段长度是整条线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。本题中已知C、D是AB的黄金分割点，结合$AC＜CB$、$AD＞DB$的条件，可先确定AD、CB是AB对应的黄金分割较长段，先计算AD、CB的长度，再计算AC的长度，最后根据线段的差的关系$CD=AD-AC$即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵ C，D是AB的两个黄金分割点，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC＜CB$，$AD＞DB$，
∴ 较长段$CB=AD=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=12×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=6(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC=AB-CB=12-6(\sqrt{5}-1)=(18-6\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$，
∴ $CD=AD-AC=6(\sqrt{5}-1)-(18-6\sqrt{5})=6\sqrt{5}-6-18+6\sqrt{5}=(12\sqrt{5}-24)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(12\sqrt{5}-24)\ \mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割的定义，线段的和差计算
【点评】
本题属于黄金分割的基础应用类题目，解题的关键是准确判断黄金分割对应的较长线段，熟记黄金分割的比值，再结合线段的位置关系通过和差运算求解即可。
【难度系数】
0.7
5 黄金分割数的准确值是 （
A.0.618
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
D.1.618
B
）A.0.618
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
D.1.618
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先明确题干要求的是黄金分割数的准确值，先排除近似值类选项；再结合黄金分割的定义推导准确值：通过设未知数，根据黄金分割的比例关系列一元二次方程，求解正根即可得到黄金分割数的准确值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据黄金分割的定义：将一条线段分割为两部分，较短部分长度与较长部分长度的比值等于较长部分长度与线段总长度的比值，这个比值就是黄金分割数。
设该比值为$x$，取线段总长度为1，则较长部分长度为$x$，较短部分长度为$1-x$，根据比例关系列等式：
$\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}$
整理得一元二次方程：$x^2 + x - 1 = 0$
用求根公式解得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 + 4×1×1}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
由于比值为正数，因此取正根：$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，这就是黄金分割数的准确值。
对选项逐一判断：
A选项0.618是黄金分割数的近似值，不符合“准确值”要求，错误；
B选项$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$与推导结果一致，正确；
C选项$\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx1.618$，是黄金分割数的倒数，错误；
D选项1.618是黄金分割数倒数的近似值，错误。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题易错点是容易误把近似值0.618当成黄金分割数的准确值，解题时要注意审题，明确准确值和近似值的区别，同时要区分黄金分割数与其倒数的表达式，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干要求的是黄金分割数的准确值，先排除近似值类选项；再结合黄金分割的定义推导准确值：通过设未知数，根据黄金分割的比例关系列一元二次方程，求解正根即可得到黄金分割数的准确值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据黄金分割的定义：将一条线段分割为两部分，较短部分长度与较长部分长度的比值等于较长部分长度与线段总长度的比值，这个比值就是黄金分割数。
设该比值为$x$，取线段总长度为1，则较长部分长度为$x$，较短部分长度为$1-x$，根据比例关系列等式：
$\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}$
整理得一元二次方程：$x^2 + x - 1 = 0$
用求根公式解得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 + 4×1×1}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
由于比值为正数，因此取正根：$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，这就是黄金分割数的准确值。
对选项逐一判断：
A选项0.618是黄金分割数的近似值，不符合“准确值”要求，错误；
B选项$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$与推导结果一致，正确；
C选项$\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx1.618$，是黄金分割数的倒数，错误；
D选项1.618是黄金分割数倒数的近似值，错误。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题易错点是容易误把近似值0.618当成黄金分割数的准确值，解题时要注意审题，明确准确值和近似值的区别，同时要区分黄金分割数与其倒数的表达式，避免混淆。
【难度系数】
0.8
6 下列关于黄金分割数与一元二次方程的关系，说法正确的是 （
A.黄金分割数是方程 $x^2 - x -1 =0$ 的根
B.方程 $x^2 +x -1=0$ 的两个根都是黄金分割数
C.黄金分割数的2倍是方程 $x^2 -2x -1=0$ 的根
D.黄金分割数的倒数是方程 $x^2 -x -1=0$ 的正根
D
）A.黄金分割数是方程 $x^2 - x -1 =0$ 的根
B.方程 $x^2 +x -1=0$ 的两个根都是黄金分割数
C.黄金分割数的2倍是方程 $x^2 -2x -1=0$ 的根
D.黄金分割数的倒数是方程 $x^2 -x -1=0$ 的正根
答案
6. D
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确黄金分割数的取值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（正数，约为0.618），再利用一元二次方程求根公式分别计算每个选项中方程的根，结合题干描述的倍数、倒数等关系逐一验证选项正误即可。
【解析】
首先记黄金分割数为$\varphi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，我们逐个分析选项：
1. 验证选项A：
方程$x^2 - x -1=0$的判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×(-1)=5$，由求根公式得根为$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，两个根分别为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1.618$、$\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx-0.618$，均不等于黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故A错误。
2. 验证选项B：
方程$x^2 +x -1=0$的判别式$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5$，由求根公式得根为$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，其中负根$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$是负数，不是黄金分割数，故B错误。
3. 验证选项C：
黄金分割数的2倍为$2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1\approx1.236$，方程$x^2 -2x -1=0$的判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×(-1)=8$，根为$x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}$，正根约为2.414、负根约为-0.414，均不等于$\sqrt{5}-1$，故C错误。
4. 验证选项D：
黄金分割数的倒数为$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$，分母有理化后得$\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^2-1^2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，恰好是方程$x^2 -x -1=0$的正根，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的概念；一元二次方程求根公式；分母有理化
【点评】
本题是基础概念结合类题型，将黄金分割数与一元二次方程两个知识点结合考查，只要熟练掌握一元二次方程的求根方法、明确黄金分割数的取值，逐一验证选项就能得出正确结论。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确黄金分割数的取值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（正数，约为0.618），再利用一元二次方程求根公式分别计算每个选项中方程的根，结合题干描述的倍数、倒数等关系逐一验证选项正误即可。
【解析】
首先记黄金分割数为$\varphi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，我们逐个分析选项：
1. 验证选项A：
方程$x^2 - x -1=0$的判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×(-1)=5$，由求根公式得根为$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，两个根分别为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1.618$、$\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx-0.618$，均不等于黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故A错误。
2. 验证选项B：
方程$x^2 +x -1=0$的判别式$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5$，由求根公式得根为$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，其中负根$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$是负数，不是黄金分割数，故B错误。
3. 验证选项C：
黄金分割数的2倍为$2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1\approx1.236$，方程$x^2 -2x -1=0$的判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×(-1)=8$，根为$x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}$，正根约为2.414、负根约为-0.414，均不等于$\sqrt{5}-1$，故C错误。
4. 验证选项D：
黄金分割数的倒数为$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$，分母有理化后得$\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^2-1^2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，恰好是方程$x^2 -x -1=0$的正根，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的概念；一元二次方程求根公式；分母有理化
【点评】
本题是基础概念结合类题型，将黄金分割数与一元二次方程两个知识点结合考查，只要熟练掌握一元二次方程的求根方法、明确黄金分割数的取值，逐一验证选项就能得出正确结论。
【难度系数】
0.7
7 已知黄金分割数 $m=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，则代数式 $m^2 + m$ 的值为
1
.答案
7. 1
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式$m^2+m$的结构，可先因式分解为$m(m+1)$，若直接代入$m$的表达式计算平方会比较繁琐，我们可以先计算$m+1$的结果，发现$m$和$m+1$的分子符合平方差公式的结构，相乘可快速消去根号简化计算；也可对$m$的原始表达式去分母后平方，展开整理即可得到所求代数式的值。
【解析】
方法一（因式分解+平方差公式）：
对所求代数式因式分解得：$m^2+m=m(m+1)$
已知$m=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，先计算$m+1$：
$m+1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}+1=\dfrac{\sqrt{5}-1+2}{2}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$
将$m$和$m+1$代入得：
$m(m+1)=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}×\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}=\dfrac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4}=\dfrac{5-1}{4}=1$
方法二（等式变形+完全平方公式）：
由$m=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，去分母得：$2m=\sqrt{5}-1$
移项得：$2m+1=\sqrt{5}$
两边同时平方：$(2m+1)^2=(\sqrt{5})^2$
展开左边得：$4m^2+4m+1=5$
移项整理：$4(m^2+m)=4$
两边同时除以4得：$m^2+m=1$
【答案】
1
【知识点】
代数式求值；平方差公式；二次根式运算
【点评】
本题是基础的代数式求值题，核心考查计算的简化技巧，避免直接计算根式平方的复杂运算，熟练掌握因式分解和乘法公式能大幅提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察所求代数式$m^2+m$的结构，可先因式分解为$m(m+1)$，若直接代入$m$的表达式计算平方会比较繁琐，我们可以先计算$m+1$的结果，发现$m$和$m+1$的分子符合平方差公式的结构，相乘可快速消去根号简化计算；也可对$m$的原始表达式去分母后平方，展开整理即可得到所求代数式的值。
【解析】
方法一（因式分解+平方差公式）：
对所求代数式因式分解得：$m^2+m=m(m+1)$
已知$m=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，先计算$m+1$：
$m+1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}+1=\dfrac{\sqrt{5}-1+2}{2}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$
将$m$和$m+1$代入得：
$m(m+1)=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}×\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}=\dfrac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4}=\dfrac{5-1}{4}=1$
方法二（等式变形+完全平方公式）：
由$m=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，去分母得：$2m=\sqrt{5}-1$
移项得：$2m+1=\sqrt{5}$
两边同时平方：$(2m+1)^2=(\sqrt{5})^2$
展开左边得：$4m^2+4m+1=5$
移项整理：$4(m^2+m)=4$
两边同时除以4得：$m^2+m=1$
【答案】
1
【知识点】
代数式求值；平方差公式；二次根式运算
【点评】
本题是基础的代数式求值题，核心考查计算的简化技巧，避免直接计算根式平方的复杂运算，熟练掌握因式分解和乘法公式能大幅提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.75
8 已知黄金分割数 $ m=\frac{\sqrt{5}-1}{2} $，求代数式 $ 2m^2 + 2m -1 $ 的值。
答案
8.
∵ 黄金分割数 $m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,且 m 是一元二次方程 $x^2 +x -1=0$ 的正根,
∴ $m^2 +m -1=0$,即 $m^2 +m=1$.
∴ $2m^2 +2m -1=2(m^2 +m)-1=2×1-1=1$
∵ 黄金分割数 $m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,且 m 是一元二次方程 $x^2 +x -1=0$ 的正根,
∴ $m^2 +m -1=0$,即 $m^2 +m=1$.
∴ $2m^2 +2m -1=2(m^2 +m)-1=2×1-1=1$
解析
【分析】
拿到本题首先考虑到直接将m代入代数式计算需要计算无理数的平方，运算量大且容易出错，因此优先观察待求式的结构：待求式$2m^2 + 2m -1$可变形为$2(m^2 + m) -1$，只需先求出$m^2 + m$的值即可整体代入求解。接下来从已知的m的表达式出发，通过等式变形、平方去根号即可推导得到$m^2 + m$的数值，也可结合黄金分割数是一元二次方程$x^2+x-1=0$的正根的性质直接得到该关系，大幅简化计算。
【解析】
解：
∵ 黄金分割数$m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，且m是一元二次方程$x^2 +x -1=0$的正根，
∴ 代入方程得$m^2 + m -1 =0$，即$m^2 + m =1$。
将$m^2 + m =1$代入$2m^2 + 2m -1$可得：
$2m^2 + 2m -1 = 2(m^2 + m) -1 = 2×1 -1 =1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值；黄金分割的性质
【点评】
本题属于代数式求值的典型题型，考查了学生的式子变形能力和简便运算思维，解题核心是运用整体代入思想避免复杂的无理数运算，只需根据已知条件推导出$m^2 + m =1$的关系即可快速求解，对提升学生的运算技巧有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
拿到本题首先考虑到直接将m代入代数式计算需要计算无理数的平方，运算量大且容易出错，因此优先观察待求式的结构：待求式$2m^2 + 2m -1$可变形为$2(m^2 + m) -1$，只需先求出$m^2 + m$的值即可整体代入求解。接下来从已知的m的表达式出发，通过等式变形、平方去根号即可推导得到$m^2 + m$的数值，也可结合黄金分割数是一元二次方程$x^2+x-1=0$的正根的性质直接得到该关系，大幅简化计算。
【解析】
解：
∵ 黄金分割数$m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，且m是一元二次方程$x^2 +x -1=0$的正根，
∴ 代入方程得$m^2 + m -1 =0$，即$m^2 + m =1$。
将$m^2 + m =1$代入$2m^2 + 2m -1$可得：
$2m^2 + 2m -1 = 2(m^2 + m) -1 = 2×1 -1 =1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值；黄金分割的性质
【点评】
本题属于代数式求值的典型题型，考查了学生的式子变形能力和简便运算思维，解题核心是运用整体代入思想避免复杂的无理数运算，只需根据已知条件推导出$m^2 + m =1$的关系即可快速求解，对提升学生的运算技巧有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
9 新考向 阅读理解题 阅读下面的材料：
华罗庚提出的0.618法(黄金分割优选法)常用于寻找最优方案.根据0.618法总结出试验温度计算规则如下:若试验范围是下限$a$℃到上限$b$℃,则第一个试验温度(℃)$x_1=a+(b-a)×0.618$,第二个试验温度(℃)$x_2=a+b-x_1$.
某工厂在100 ℃~200 ℃范围内寻找某反应的最优温度,求(结果均精确到整数):
(1) 第一个试验温度；
(2) 第二个试验温度.
华罗庚提出的0.618法(黄金分割优选法)常用于寻找最优方案.根据0.618法总结出试验温度计算规则如下:若试验范围是下限$a$℃到上限$b$℃,则第一个试验温度(℃)$x_1=a+(b-a)×0.618$,第二个试验温度(℃)$x_2=a+b-x_1$.
某工厂在100 ℃~200 ℃范围内寻找某反应的最优温度,求(结果均精确到整数):
(1) 第一个试验温度；
(2) 第二个试验温度.
答案
9. (1) $x_1=100+(200-100)×0.618=161.8≈162$.
∴ 第一个试验温度为 162 ℃ (2) $x_2=100+200-161.8=138.2≈138$.
∴ 第二个试验温度为 138 ℃
∴ 第一个试验温度为 162 ℃ (2) $x_2=100+200-161.8=138.2≈138$.
∴ 第二个试验温度为 138 ℃
解析
【分析】
本题属于材料阅读类应用题，解题核心是先从题干提取有效信息：首先明确试验范围的下限$a=100℃$，上限$b=200℃$。第一问直接将$a、b$代入题干给出的第一个试验温度公式计算，结果按要求精确到整数；第二问利用$a、b$和第一问算出的$x_1$的精确值（避免用近似值产生误差）代入第二个试验温度公式计算，最后同样保留整数即可。
【解析】
（1）由题意得试验范围下限$a=100℃$，上限$b=200℃$，代入第一个试验温度公式：
$x_1=a+(b-a)×0.618 = 100 + (200-100)×0.618 = 100 + 61.8 = 161.8 ≈ 162$（℃）
（2）将$a、b$和$x_1=161.8$代入第二个试验温度公式：
$x_2=a+b-x_1 = 100 + 200 - 161.8 = 138.2 ≈ 138$（℃）
【答案】
（1）第一个试验温度为$\boldsymbol{162℃}$；（2）第二个试验温度为$\boldsymbol{138℃}$
【知识点】
黄金分割应用，代数式求值，近似数计算
【点评】
本题是结合实际生产的阅读类题型，重点考查对新定义公式的理解运用能力，只要准确提取题干中的参数和运算规则，细心计算并按要求取近似值即可完成解答，体现了数学知识在实际场景中的应用价值。
【难度系数】
0.8
本题属于材料阅读类应用题，解题核心是先从题干提取有效信息：首先明确试验范围的下限$a=100℃$，上限$b=200℃$。第一问直接将$a、b$代入题干给出的第一个试验温度公式计算，结果按要求精确到整数；第二问利用$a、b$和第一问算出的$x_1$的精确值（避免用近似值产生误差）代入第二个试验温度公式计算，最后同样保留整数即可。
【解析】
（1）由题意得试验范围下限$a=100℃$，上限$b=200℃$，代入第一个试验温度公式：
$x_1=a+(b-a)×0.618 = 100 + (200-100)×0.618 = 100 + 61.8 = 161.8 ≈ 162$（℃）
（2）将$a、b$和$x_1=161.8$代入第二个试验温度公式：
$x_2=a+b-x_1 = 100 + 200 - 161.8 = 138.2 ≈ 138$（℃）
【答案】
（1）第一个试验温度为$\boldsymbol{162℃}$；（2）第二个试验温度为$\boldsymbol{138℃}$
【知识点】
黄金分割应用，代数式求值，近似数计算
【点评】
本题是结合实际生产的阅读类题型，重点考查对新定义公式的理解运用能力，只要准确提取题干中的参数和运算规则，细心计算并按要求取近似值即可完成解答，体现了数学知识在实际场景中的应用价值。
【难度系数】
0.8
