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1 [2025福建]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程为 （
A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
C
）A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先结合图形理解题意：因为是在直角围墙的角落围矩形，所以篱笆只需要围矩形的两条相邻边，不需要围靠围墙的两条边。已知篱笆总长为5米，其中一条边长为x米，那么另一条相邻边的长度就是篱笆总长减去x，即$(5-x)$米。再结合矩形面积公式“面积=长×宽”，已知面积为6平方米，将两条邻边的长度代入公式就能列出对应方程。
【解析】
解：
∵矩形菜地靠直角围墙搭建，总长5米的篱笆仅用于围矩形的两条相邻边。
已知矩形的一条边长为x米，
∴另一条相邻边的长度为$(5-x)$米。
根据矩形面积公式，且菜地面积为6平方米，可列方程：
$x(5-x)=6$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算
【点评】
本题是基础的实际应用题，解题核心是结合图形明确篱笆的围建范围，准确得出矩形两条邻边的长度关系，再代入面积公式列方程即可，易错点是误将篱笆当成围矩形的四条边进行计算。
【难度系数】
0.8
解题时先结合图形理解题意：因为是在直角围墙的角落围矩形，所以篱笆只需要围矩形的两条相邻边，不需要围靠围墙的两条边。已知篱笆总长为5米，其中一条边长为x米，那么另一条相邻边的长度就是篱笆总长减去x，即$(5-x)$米。再结合矩形面积公式“面积=长×宽”，已知面积为6平方米，将两条邻边的长度代入公式就能列出对应方程。
【解析】
解：
∵矩形菜地靠直角围墙搭建，总长5米的篱笆仅用于围矩形的两条相邻边。
已知矩形的一条边长为x米，
∴另一条相邻边的长度为$(5-x)$米。
根据矩形面积公式，且菜地面积为6平方米，可列方程：
$x(5-x)=6$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算
【点评】
本题是基础的实际应用题，解题核心是结合图形明确篱笆的围建范围，准确得出矩形两条邻边的长度关系，再代入面积公式列方程即可，易错点是误将篱笆当成围矩形的四条边进行计算。
【难度系数】
0.8
2 新情境 生活实际 如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5 m）的矩形鸭舍，其面积为15 m²，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门（由其他材料制成），则BC长为
5
m.答案
2. 5
解析
【分析】
这是一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：1. 设BC的长为x m，BC是平行于墙的边，因此长度不能超过墙长5.5m；2. 分析铁丝网的长度构成：垂直于墙的边有AB、CD两条，AB侧有1m宽的门不需要铁丝网，因此铁丝网总长=AB长+CD长+BC长-门宽，据此可以用x表示出垂直于墙的边的长度；3. 根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后结合墙长的限制舍去不符合实际的根，得到最终结果。
【解析】
设BC的长为$ x \ \mathrm{m} $，由题意可知BC平行于墙，因此$ 0 ＜ x ≤ 5.5 $。
矩形中$ AB=CD $，铁丝网总长为10m，侧面有1m宽的门，因此：
$ AB + CD + x - 1 = 10 $，整理得$ 2AB + x = 11 $，即$ AB = \frac{11-x}{2} $。
已知矩形面积为$ 15 \ \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式列方程：
$ x · \frac{11-x}{2} = 15 $
整理得：$ x^2 -11x +30 = 0 $
因式分解得：$ (x-5)(x-6)=0 $
解得$ x_1=5 $，$ x_2=6 $。
因为墙长为5.5m，$ x=6＞5.5 $，不符合实际情况，故舍去。
因此$ x=5 $。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，方程根的取舍
【点评】
本题结合生活场景考查一元二次方程的几何应用，解题的关键是准确梳理周长的构成，同时要注意结合实际限制条件对求得的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
这是一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：1. 设BC的长为x m，BC是平行于墙的边，因此长度不能超过墙长5.5m；2. 分析铁丝网的长度构成：垂直于墙的边有AB、CD两条，AB侧有1m宽的门不需要铁丝网，因此铁丝网总长=AB长+CD长+BC长-门宽，据此可以用x表示出垂直于墙的边的长度；3. 根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后结合墙长的限制舍去不符合实际的根，得到最终结果。
【解析】
设BC的长为$ x \ \mathrm{m} $，由题意可知BC平行于墙，因此$ 0 ＜ x ≤ 5.5 $。
矩形中$ AB=CD $，铁丝网总长为10m，侧面有1m宽的门，因此：
$ AB + CD + x - 1 = 10 $，整理得$ 2AB + x = 11 $，即$ AB = \frac{11-x}{2} $。
已知矩形面积为$ 15 \ \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式列方程：
$ x · \frac{11-x}{2} = 15 $
整理得：$ x^2 -11x +30 = 0 $
因式分解得：$ (x-5)(x-6)=0 $
解得$ x_1=5 $，$ x_2=6 $。
因为墙长为5.5m，$ x=6＞5.5 $，不符合实际情况，故舍去。
因此$ x=5 $。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，方程根的取舍
【点评】
本题结合生活场景考查一元二次方程的几何应用，解题的关键是准确梳理周长的构成，同时要注意结合实际限制条件对求得的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
3 如图,在宽为20 m、长为38 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分铺设草坪,要使草坪的面积为540 m²,求道路的宽.设道路的宽为x m.根据题意,所列方程正确的是 (
A.$(20 - x)(38 - x) = 540$
B.$(20 - x)(38 - x) = 38 × 20 - 540$
C.$(20 - 2x)(38 - 2x) = 540$
D.$(20 - 2x)(38 - 2x) = 38 × 20 - 540$
A
)A.$(20 - x)(38 - x) = 540$
B.$(20 - x)(38 - x) = 38 × 20 - 540$
C.$(20 - 2x)(38 - 2x) = 540$
D.$(20 - 2x)(38 - 2x) = 38 × 20 - 540$
答案
3. A
解析
【分析】
解决这类含不规则道路的面积问题时，可采用平移法简化计算：将分散的草坪区域通过平移拼接成规则的矩形，只需确定拼接后矩形的长和宽，再结合草坪面积列方程即可。首先观察道路特征：本题中道路虽为折线，但横向道路总宽度、纵向道路总宽度均为x，平移后草坪的长为原矩形长减x，宽为原矩形宽减x，再代入面积公式即可得到对应方程。
【解析】
我们利用平移的思想，将图中所有横向的阴影道路向矩形的一侧平移，纵向的阴影道路向矩形的另一侧平移，此时余下的草坪部分可拼接为一个完整的矩形：
1. 拼接后矩形的长 = 原矩形的长 - 道路宽 = $(38 - x)\ \mathrm{m}$
2. 拼接后矩形的宽 = 原矩形的宽 - 道路宽 = $(20 - x)\ \mathrm{m}$
已知草坪面积为$540\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可列方程：
$(20 - x)(38 - x) = 540$
对比选项，A选项符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平移的应用，矩形面积计算，一元二次方程的几何应用
【点评】
本题的核心解题技巧是通过平移转化不规则图形的面积，无需单独计算道路面积，也避免了重复扣除道路交叉部分面积的易错点，是解决这类道路面积问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
解决这类含不规则道路的面积问题时，可采用平移法简化计算：将分散的草坪区域通过平移拼接成规则的矩形，只需确定拼接后矩形的长和宽，再结合草坪面积列方程即可。首先观察道路特征：本题中道路虽为折线，但横向道路总宽度、纵向道路总宽度均为x，平移后草坪的长为原矩形长减x，宽为原矩形宽减x，再代入面积公式即可得到对应方程。
【解析】
我们利用平移的思想，将图中所有横向的阴影道路向矩形的一侧平移，纵向的阴影道路向矩形的另一侧平移，此时余下的草坪部分可拼接为一个完整的矩形：
1. 拼接后矩形的长 = 原矩形的长 - 道路宽 = $(38 - x)\ \mathrm{m}$
2. 拼接后矩形的宽 = 原矩形的宽 - 道路宽 = $(20 - x)\ \mathrm{m}$
已知草坪面积为$540\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可列方程：
$(20 - x)(38 - x) = 540$
对比选项，A选项符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平移的应用，矩形面积计算，一元二次方程的几何应用
【点评】
本题的核心解题技巧是通过平移转化不规则图形的面积，无需单独计算道路面积，也避免了重复扣除道路交叉部分面积的易错点，是解决这类道路面积问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
4 [2024青岛]如图，某小区要在长为16 m、宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路的宽为
2
m.答案
4. 2
解析
【分析】
这是一道结合几何图形面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 设小路的宽为$x\ \mathrm{m}$，因为小路在花坛四周且宽度相等，所以花坛的长等于原空地的长减去左右两条小路的宽度，即$(16-2x)\ \mathrm{m}$，花坛的宽等于原空地的宽减去上下两条小路的宽度，即$(12-2x)\ \mathrm{m}$；2. 先计算原空地的面积，再根据“花坛面积是空地面积的一半”这一等量关系列方程；3. 求解一元二次方程，最后结合实际意义对根进行取舍：小路宽度不能为负，且花坛的长和宽必须为正数，舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
解：设小路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
根据题意，花坛的长为$(16-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(12-2x)\ \mathrm{m}$。
原空地的面积为：$16×12=192\ \mathrm{m}^2$
由花坛面积为空地面积的一半，可得方程：
$(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×192$
整理方程：
左边展开得$192-56x+4x^2=96$，化简为$x^2-14x+24=0$
因式分解得$(x-2)(x-12)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=12$
检验：当$x=12$时，$16-2x=-8＜0$，$12-2x=-12＜0$，不符合实际意义，舍去；
当$x=2$时，$16-2x=12＞0$，$12-2x=8＞0$，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 矩形面积计算 3. 一元二次方程求解
【点评】
这是几何面积类的常规应用题，解题核心是准确用未知数表示出所求图形的边长，列方程求解后一定要结合实际场景判断根是否合理，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
这是一道结合几何图形面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 设小路的宽为$x\ \mathrm{m}$，因为小路在花坛四周且宽度相等，所以花坛的长等于原空地的长减去左右两条小路的宽度，即$(16-2x)\ \mathrm{m}$，花坛的宽等于原空地的宽减去上下两条小路的宽度，即$(12-2x)\ \mathrm{m}$；2. 先计算原空地的面积，再根据“花坛面积是空地面积的一半”这一等量关系列方程；3. 求解一元二次方程，最后结合实际意义对根进行取舍：小路宽度不能为负，且花坛的长和宽必须为正数，舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
解：设小路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
根据题意，花坛的长为$(16-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(12-2x)\ \mathrm{m}$。
原空地的面积为：$16×12=192\ \mathrm{m}^2$
由花坛面积为空地面积的一半，可得方程：
$(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×192$
整理方程：
左边展开得$192-56x+4x^2=96$，化简为$x^2-14x+24=0$
因式分解得$(x-2)(x-12)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=12$
检验：当$x=12$时，$16-2x=-8＜0$，$12-2x=-12＜0$，不符合实际意义，舍去；
当$x=2$时，$16-2x=12＞0$，$12-2x=8＞0$，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 矩形面积计算 3. 一元二次方程求解
【点评】
这是几何面积类的常规应用题，解题核心是准确用未知数表示出所求图形的边长，列方程求解后一定要结合实际场景判断根是否合理，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
5 [2025 威海]如图,某校有一块长 20 m、宽14 m 的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m²的9个矩形地块,请求出小路的宽度.
答案
5. 设小路的宽度为$x$ m,则9块矩形地块可合成长为$(20-4x)$m,宽为$(14-4x)$m 的矩形. 根据题意,得$(20-4x)(14-4x)=24×9$. 整理,得$2x^2-17x+8=0$,解得 $x_1=\dfrac{1}{2}$,$x_2=8$(不合题意,舍去). $\therefore$ 小路的宽度为$\dfrac{1}{2}$ m
解析
【分析】
这是一道一元二次方程在几何面积问题中的应用题，解题思路如下：1. 设未知数：因小路宽度相同，直接设小路宽度为$x$ m；2. 转化图形：利用平移思想，将9个分散的小矩形地块拼接成一个完整的大矩形，经计数，水平长度方向有4条竖直小路，宽度方向有4条水平小路，因此拼接后的大矩形长为$(20-4x)$ m，宽为$(14-4x)$ m；3. 列等量关系：拼接后大矩形的面积等于9个小地块的总面积，据此列方程；4. 求解并验根：解一元二次方程后，需判断根是否符合实际意义（长度不能为负），舍去不合理解。
【解析】
设小路的宽度为$x$ m，将9个矩形地块拼接后，可得大矩形的长为$(20-4x)$ m，宽为$(14-4x)$ m。
根据9个地块的总面积为$24×9\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
整理方程：
展开左边得$280-136x+16x^2=216$，移项合并同类项后两边同除以8，得$2x^2-17x+8=0$
因式分解得$(2x-1)(x-8)=0$，解得$x_1=\dfrac{1}{2}$，$x_2=8$
验根：当$x=8$时，$20-4x=20-32=-12＜0$，不符合实际长度意义，故舍去$x_2=8$。
【答案】
小路的宽度为$\dfrac{1}{2}$ m
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算、实际问题的根取舍
【点评】
本题是典型的面积类方程应用题，核心解题技巧是通过平移法将分散的种植区域拼接为整体矩形，简化面积的表达，解题时需注意计算出的方程根必须符合实际场景的取值要求，避免出现不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程在几何面积问题中的应用题，解题思路如下：1. 设未知数：因小路宽度相同，直接设小路宽度为$x$ m；2. 转化图形：利用平移思想，将9个分散的小矩形地块拼接成一个完整的大矩形，经计数，水平长度方向有4条竖直小路，宽度方向有4条水平小路，因此拼接后的大矩形长为$(20-4x)$ m，宽为$(14-4x)$ m；3. 列等量关系：拼接后大矩形的面积等于9个小地块的总面积，据此列方程；4. 求解并验根：解一元二次方程后，需判断根是否符合实际意义（长度不能为负），舍去不合理解。
【解析】
设小路的宽度为$x$ m，将9个矩形地块拼接后，可得大矩形的长为$(20-4x)$ m，宽为$(14-4x)$ m。
根据9个地块的总面积为$24×9\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
整理方程：
展开左边得$280-136x+16x^2=216$，移项合并同类项后两边同除以8，得$2x^2-17x+8=0$
因式分解得$(2x-1)(x-8)=0$，解得$x_1=\dfrac{1}{2}$，$x_2=8$
验根：当$x=8$时，$20-4x=20-32=-12＜0$，不符合实际长度意义，故舍去$x_2=8$。
【答案】
小路的宽度为$\dfrac{1}{2}$ m
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算、实际问题的根取舍
【点评】
本题是典型的面积类方程应用题，核心解题技巧是通过平移法将分散的种植区域拼接为整体矩形，简化面积的表达，解题时需注意计算出的方程根必须符合实际场景的取值要求，避免出现不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
6 如图,矩形草坪(涂色部分)的长和宽分别为30 m和20 m. 若将该草坪的长和宽各增加x m,则扩建后的矩形草坪面积为800 m². 根据题意,下列方程正确的是 (
A.$x^2=800$
B.$(20-x)(30-x)=800$
C.$(20+x)(30+x)=800$
D.$(20+x)(30-x)=800$
C
)A.$x^2=800$
B.$(20-x)(30-x)=800$
C.$(20+x)(30+x)=800$
D.$(20+x)(30-x)=800$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先要明确扩建后矩形的长和宽：原来草坪的长为30m，宽为20m，长和宽各增加x m后，新的长为(30+x)m，新的宽为(20+x)m。再结合矩形面积=长×宽的公式，已知扩建后面积为800㎡，将新的长和宽代入面积公式即可列出对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
步骤1：确定扩建后矩形的边长：
原矩形长为30m，增加x m后，新长为$(30+x)\mathrm{m}$；
原矩形宽为20m，增加x m后，新宽为$(20+x)\mathrm{m}$。
步骤2：根据矩形面积公式列方程：
矩形面积=长×宽，已知扩建后面积为$800\mathrm{m}^2$，代入得：
$(20+x)(30+x)=800$
步骤3：对比选项，C选项符合上述方程。
【答案】
C
【知识点】
矩形面积计算，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础的几何类方程应用题，解题核心是准确梳理出图形变化后的边长，再结合对应面积公式列方程即可，这类题型是方程实际应用的常见基础考法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确扩建后矩形的长和宽：原来草坪的长为30m，宽为20m，长和宽各增加x m后，新的长为(30+x)m，新的宽为(20+x)m。再结合矩形面积=长×宽的公式，已知扩建后面积为800㎡，将新的长和宽代入面积公式即可列出对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
步骤1：确定扩建后矩形的边长：
原矩形长为30m，增加x m后，新长为$(30+x)\mathrm{m}$；
原矩形宽为20m，增加x m后，新宽为$(20+x)\mathrm{m}$。
步骤2：根据矩形面积公式列方程：
矩形面积=长×宽，已知扩建后面积为$800\mathrm{m}^2$，代入得：
$(20+x)(30+x)=800$
步骤3：对比选项，C选项符合上述方程。
【答案】
C
【知识点】
矩形面积计算，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础的几何类方程应用题，解题核心是准确梳理出图形变化后的边长，再结合对应面积公式列方程即可，这类题型是方程实际应用的常见基础考法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7 教材变式题 一个直角三角形的两条直角边的长相差3 cm，面积是9 cm²，则较长的直角边的长为
6
cm.答案
7. 6
解析
【分析】
本题可通过方程思想求解：首先根据两条直角边的长度差设出未知数，再结合直角三角形的面积公式列出一元二次方程，求解后根据边长为正的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到较长直角边的长度。
【解析】
解：设较长的直角边的长为$ x $ cm，则较短的直角边的长为$ (x-3) $ cm。
根据直角三角形面积公式可得：
$ \frac{1}{2}x(x-3)=9 $
方程两边同时乘2得：$ x^2 - 3x = 18 $
移项整理得：$ x^2 - 3x - 18 = 0 $
因式分解得：$ (x-6)(x+3)=0 $
解得：$ x_1=6 $，$ x_2=-3 $
因为三角形边长为正数，所以舍去$ x=-3 $，即较长直角边的长为6 cm。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形面积计算、一元二次方程的应用、一元二次方程的求解
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题的核心是准确找到等量关系列方程，需要注意求解后要结合实际意义检验根的合理性，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.8
本题可通过方程思想求解：首先根据两条直角边的长度差设出未知数，再结合直角三角形的面积公式列出一元二次方程，求解后根据边长为正的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到较长直角边的长度。
【解析】
解：设较长的直角边的长为$ x $ cm，则较短的直角边的长为$ (x-3) $ cm。
根据直角三角形面积公式可得：
$ \frac{1}{2}x(x-3)=9 $
方程两边同时乘2得：$ x^2 - 3x = 18 $
移项整理得：$ x^2 - 3x - 18 = 0 $
因式分解得：$ (x-6)(x+3)=0 $
解得：$ x_1=6 $，$ x_2=-3 $
因为三角形边长为正数，所以舍去$ x=-3 $，即较长直角边的长为6 cm。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形面积计算、一元二次方程的应用、一元二次方程的求解
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题的核心是准确找到等量关系列方程，需要注意求解后要结合实际意义检验根的合理性，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.8
