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8 新情境 生活实际 如图，某农家乐老板计划在一块长130 m、宽60 m的空地挖两块形状、大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750 m²，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（
A.4.5 m
B.5 m
C.5.5 m
D.6 m
B
）A.4.5 m
B.5 m
C.5.5 m
D.6 m
答案
8. B
解析
【分析】
这是一道几何面积结合一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：①先设垂钓通道的宽度为未知数x；②观察图形，可将两块形状大小相同的鱼塘拼接为一个规则的长方形，分析拼接后长方形的长和宽：总长度130m中包含左右2个通道宽度+中间1个通道宽度，共3个x，因此拼接后长方形的长为(130-3x)m；总宽度60m中包含上下2个通道宽度，共2个x，因此拼接后长方形的宽为(60-2x)m；③根据两块鱼塘的面积之和为5750m²，找到等量关系列方程；④求解方程后，结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到答案。
【解析】
设垂钓通道的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
根据题意，两块鱼塘拼接后形成的长方形长为$ (130-3x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (60-2x) \, \mathrm{m} $，结合面积和为$ 5750 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$(130-3x)(60-2x)=5750$
展开并整理方程：
$\begin{aligned}7800 - 260x - 180x + 6x^2 &= 5750\\6x^2 - 440x + 2050 &= 0\\3x^2 - 220x + 1025 &= 0\end{aligned}$
用求根公式求解：
判别式$ \Delta = 220^2 - 4×3×1025 = 36100 $，则
$x = \frac{220 \pm \sqrt{36100}}{2×3} = \frac{220 \pm 190}{6}$
解得：$ x_1 = \frac{220+190}{6} \approx 68.3 $（$ 68.3＞60 $，不符合实际，舍去），$ x_2 = \frac{220-190}{6}=5 $。
经检验，$ x=5 $符合题意。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、长方形面积计算
【点评】
本题结合生活场景命题，解题的关键是通过拼接法将分散的阴影面积转化为规则长方形，正确表示出拼接后长方形的长和宽，再根据面积等量关系列方程求解，注意最终结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道几何面积结合一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：①先设垂钓通道的宽度为未知数x；②观察图形，可将两块形状大小相同的鱼塘拼接为一个规则的长方形，分析拼接后长方形的长和宽：总长度130m中包含左右2个通道宽度+中间1个通道宽度，共3个x，因此拼接后长方形的长为(130-3x)m；总宽度60m中包含上下2个通道宽度，共2个x，因此拼接后长方形的宽为(60-2x)m；③根据两块鱼塘的面积之和为5750m²，找到等量关系列方程；④求解方程后，结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到答案。
【解析】
设垂钓通道的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
根据题意，两块鱼塘拼接后形成的长方形长为$ (130-3x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (60-2x) \, \mathrm{m} $，结合面积和为$ 5750 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$(130-3x)(60-2x)=5750$
展开并整理方程：
$\begin{aligned}7800 - 260x - 180x + 6x^2 &= 5750\\6x^2 - 440x + 2050 &= 0\\3x^2 - 220x + 1025 &= 0\end{aligned}$
用求根公式求解：
判别式$ \Delta = 220^2 - 4×3×1025 = 36100 $，则
$x = \frac{220 \pm \sqrt{36100}}{2×3} = \frac{220 \pm 190}{6}$
解得：$ x_1 = \frac{220+190}{6} \approx 68.3 $（$ 68.3＞60 $，不符合实际，舍去），$ x_2 = \frac{220-190}{6}=5 $。
经检验，$ x=5 $符合题意。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、长方形面积计算
【点评】
本题结合生活场景命题，解题的关键是通过拼接法将分散的阴影面积转化为规则长方形，正确表示出拼接后长方形的长和宽，再根据面积等量关系列方程求解，注意最终结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
9 在高度为 2.8 m 的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户，现用 9.5 m 长的铝合金条制成如图所示的窗框. 当矩形窗户的宽 AB 为
1.5
m 时，其透光面积为 3 m²(铝合金条的宽度忽略不计).答案
9. 1.5
解析
【分析】
这是一元二次方程在几何图形问题中的应用题型，解题思路如下：首先设AB的长度为x m，先分析铝合金条的组成结构，用含x的式子表示出窗户水平方向的边长；再结合矩形透光面积为3m²的条件列一元二次方程；最后求解方程，结合墙高2.8m的实际限制舍去不符合题意的根，即可得到正确结果。
【解析】
设矩形窗户的宽AB为$ x $ m，窗户水平方向的边长为$ a $ m。
根据窗框结构，铝合金条总长度由3段水平边、2段长度为$ x $的竖直边、1段长度为0.5m的中间竖直边组成，结合总长度9.5m可得：
$ 3a + 2x + 0.5 = 9.5 $
整理得：$ a = \frac{9-2x}{3} $
已知窗户透光面积为$ 3\ \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式$ S=AB × a $，代入得：
$ x · \frac{9-2x}{3} = 3 $
两边同乘3整理为标准一元二次方程：
$ 2x^2 -9x +9 = 0 $
因式分解得$ (2x-3)(x-3)=0 $，解得：
$ x_1=1.5 $，$ x_2=3 $
由于墙高为2.8m，因此$ x ≤ 2.8 $，故$ x=3 $不符合实际，舍去。
【答案】
1.5
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，实际问题的根取舍
【点评】
本题的易错点是容易错误计算铝合金条的组成长度，或忽略墙高的限制条件未舍去增根，解题时要先理清图形结构，再结合实际条件验证解的合理性。
【难度系数】
0.65
这是一元二次方程在几何图形问题中的应用题型，解题思路如下：首先设AB的长度为x m，先分析铝合金条的组成结构，用含x的式子表示出窗户水平方向的边长；再结合矩形透光面积为3m²的条件列一元二次方程；最后求解方程，结合墙高2.8m的实际限制舍去不符合题意的根，即可得到正确结果。
【解析】
设矩形窗户的宽AB为$ x $ m，窗户水平方向的边长为$ a $ m。
根据窗框结构，铝合金条总长度由3段水平边、2段长度为$ x $的竖直边、1段长度为0.5m的中间竖直边组成，结合总长度9.5m可得：
$ 3a + 2x + 0.5 = 9.5 $
整理得：$ a = \frac{9-2x}{3} $
已知窗户透光面积为$ 3\ \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式$ S=AB × a $，代入得：
$ x · \frac{9-2x}{3} = 3 $
两边同乘3整理为标准一元二次方程：
$ 2x^2 -9x +9 = 0 $
因式分解得$ (2x-3)(x-3)=0 $，解得：
$ x_1=1.5 $，$ x_2=3 $
由于墙高为2.8m，因此$ x ≤ 2.8 $，故$ x=3 $不符合实际，舍去。
【答案】
1.5
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，实际问题的根取舍
【点评】
本题的易错点是容易错误计算铝合金条的组成长度，或忽略墙高的限制条件未舍去增根，解题时要先理清图形结构，再结合实际条件验证解的合理性。
【难度系数】
0.65
10 如图,在$△ ABC$中,$AB=5\ \mathrm{cm},BC=10\ \mathrm{cm}$,$∠ ABC=90°$,点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动.如果点$P,Q$分别从点$A,B$同时出发,那么出发后
2
$\mathrm{s}$时,线段$PQ$的长为$5\ \mathrm{cm}$.答案
10. 2
解析
【分析】
这是一道动点结合直角三角形性质的应用题，解题思路如下：首先设运动时间为t秒，根据两个点的运动速度，分别表示出运动t秒后线段PB、BQ的长度；观察到△PBQ是直角三角形（∠B=90°），已知斜边PQ的长度，可根据勾股定理列出关于t的一元二次方程；最后求解方程，结合运动的实际情况舍去不符合题意的解，即可得到结果。
【解析】
设出发后t秒时，线段PQ的长为5cm。
由题意得：$AP = 1× t = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2× t = 2t\ \mathrm{cm}$，
∴ $PB = AB - AP = (5 - t)\ \mathrm{cm}$，
∵ $∠ ABC=90°$，即$△ PBQ$为直角三角形，根据勾股定理可得：
$PB^2 + BQ^2 = PQ^2$
代入数值：$(5 - t)^2 + (2t)^2 = 5^2$
展开整理得：$25 - 10t + t^2 + 4t^2 = 25$
即$5t^2 - 10t = 0$
因式分解得：$5t(t - 2) = 0$
解得：$t_1=0$，$t_2=2$
$t=0$时为出发瞬间，不符合“出发后”的题意，舍去；$t=2$符合运动的取值范围。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；动点问题分析
【点评】
本题属于基础的几何动态问题，解题核心是将运动的线段长度用时间参数正确表示，结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，求解后要注意验证解是否符合实际运动的取值要求，排除无效解。
【难度系数】
0.7
这是一道动点结合直角三角形性质的应用题，解题思路如下：首先设运动时间为t秒，根据两个点的运动速度，分别表示出运动t秒后线段PB、BQ的长度；观察到△PBQ是直角三角形（∠B=90°），已知斜边PQ的长度，可根据勾股定理列出关于t的一元二次方程；最后求解方程，结合运动的实际情况舍去不符合题意的解，即可得到结果。
【解析】
设出发后t秒时，线段PQ的长为5cm。
由题意得：$AP = 1× t = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2× t = 2t\ \mathrm{cm}$，
∴ $PB = AB - AP = (5 - t)\ \mathrm{cm}$，
∵ $∠ ABC=90°$，即$△ PBQ$为直角三角形，根据勾股定理可得：
$PB^2 + BQ^2 = PQ^2$
代入数值：$(5 - t)^2 + (2t)^2 = 5^2$
展开整理得：$25 - 10t + t^2 + 4t^2 = 25$
即$5t^2 - 10t = 0$
因式分解得：$5t(t - 2) = 0$
解得：$t_1=0$，$t_2=2$
$t=0$时为出发瞬间，不符合“出发后”的题意，舍去；$t=2$符合运动的取值范围。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；动点问题分析
【点评】
本题属于基础的几何动态问题，解题核心是将运动的线段长度用时间参数正确表示，结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，求解后要注意验证解是否符合实际运动的取值要求，排除无效解。
【难度系数】
0.7
11 某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长为50米,宽为40米,要求扩建后的矩形广场长与宽的比为3:2.扩建区域的扩建费用为每平方米30元,扩建后在原广场和扩建区域都铺设地砖,铺设地砖的费用为每平方米100元.如果计划总费用为642 000元,求扩建后广场的长和宽. 
答案
11. 设扩建后广场的长为$3x$米,宽为$2x$米.依题意,得$3x · 2x · 100+30(3x · 2x-50×40)=642\ 000$,解得 $x_1=30$,$x_2=-30$(不合题意,舍去). $\therefore 3x=90$,$2x=60$. $\therefore$ 扩建后广场的长为90米,宽为60米
解析
【分析】
解题时首先根据扩建后长与宽的比为3:2，设扩建后的长为$3x$米、宽为$2x$米，简化计算。接下来明确总费用包含两部分：一是整个扩建后广场铺设地砖的费用，等于扩建后总面积乘每平方米地砖费用；二是扩建区域的扩建费用，等于扩建后总面积减去原广场面积的差乘每平方米扩建费用。再根据总费用为642000元列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去负根，最后计算出对应的长和宽即可。
【解析】
设扩建后广场的长为$3x$米，宽为$2x$米。
根据总费用的构成列方程：
扩建后总面积为$3x·2x$平方米，铺设地砖总费用为$3x·2x×100$元；
扩建区域面积为$(3x·2x - 50×40)$平方米，扩建费用为$30(3x·2x - 50×40)$元；
两类费用之和为总费用，因此得方程：
$3x · 2x · 100+30(3x · 2x-50×40)=642\ 000$
整理求解：
$600x^2 + 180x^2 - 60000 = 642000$
$780x^2 = 702000$
$x^2 = 900$
解得 $x_1=30$，$x_2=-30$，因为长度为正数，$x_2=-30$不符合实际意义，舍去。
因此$3x=3×30=90$，$2x=2×30=60$。
【答案】
扩建后广场的长为90米，宽为60米
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、比例的应用
【点评】
本题是方程在实际几何问题中的典型应用，解题核心是准确拆分总费用的构成，找到等量关系列方程，同时要注意结合实际问题的取值范围舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据扩建后长与宽的比为3:2，设扩建后的长为$3x$米、宽为$2x$米，简化计算。接下来明确总费用包含两部分：一是整个扩建后广场铺设地砖的费用，等于扩建后总面积乘每平方米地砖费用；二是扩建区域的扩建费用，等于扩建后总面积减去原广场面积的差乘每平方米扩建费用。再根据总费用为642000元列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去负根，最后计算出对应的长和宽即可。
【解析】
设扩建后广场的长为$3x$米，宽为$2x$米。
根据总费用的构成列方程：
扩建后总面积为$3x·2x$平方米，铺设地砖总费用为$3x·2x×100$元；
扩建区域面积为$(3x·2x - 50×40)$平方米，扩建费用为$30(3x·2x - 50×40)$元；
两类费用之和为总费用，因此得方程：
$3x · 2x · 100+30(3x · 2x-50×40)=642\ 000$
整理求解：
$600x^2 + 180x^2 - 60000 = 642000$
$780x^2 = 702000$
$x^2 = 900$
解得 $x_1=30$，$x_2=-30$，因为长度为正数，$x_2=-30$不符合实际意义，舍去。
因此$3x=3×30=90$，$2x=2×30=60$。
【答案】
扩建后广场的长为90米，宽为60米
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、比例的应用
【点评】
本题是方程在实际几何问题中的典型应用，解题核心是准确拆分总费用的构成，找到等量关系列方程，同时要注意结合实际问题的取值范围舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
12 教材变式题 如图所示为一块长5米、宽4米的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分）。已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整块地毯面积的$\frac{17}{80}$。
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯的配色条纹部分每平方米的造价为200元，其余部分每平方米的造价为100元，求地毯的总造价。
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯的配色条纹部分每平方米的造价为200元，其余部分每平方米的造价为100元，求地毯的总造价。
答案
12. （1）设配色条纹的宽度为$x$米. 依题意,得$2x · 5+2x · 4-4x^2=\dfrac{17}{80}×5×4$,解得 $x_1=\dfrac{17}{4}$(不合题意,舍去),$x_2=\dfrac{1}{4}$. $\therefore$ 配色条纹的宽度为$\dfrac{1}{4}$米
（2）配色条纹部分的造价:$\dfrac{17}{80}×5×4×200= 850$(元),其余部分的造价:$(1-\dfrac{17}{80})×5×4×100=1\ 575$(元). $\therefore$ 总造价$=850+1\ 575=2\ 425$(元). $\therefore$ 地毯的总造价是2 425元
（2）配色条纹部分的造价:$\dfrac{17}{80}×5×4×200= 850$(元),其余部分的造价:$(1-\dfrac{17}{80})×5×4×100=1\ 575$(元). $\therefore$ 总造价$=850+1\ 575=2\ 425$(元). $\therefore$ 地毯的总造价是2 425元
解析
【分析】
（1）求解配色条纹宽度时，先设宽度为$x$米，先分析阴影面积的组成：两横条纹总面积为$2×5x$，两纵条纹总面积为$2×4x$，但横纵条纹交叉的4个小正方形被重复计算，需要减去重复的$4x^2$得到阴影实际面积。再结合“阴影面积是整块地毯面积的$\frac{17}{80}$”的条件列一元二次方程，最后结合实际意义舍去不符合要求的根即可。
（2）求解总造价时，可直接利用题目给出的阴影面积占比，分别计算阴影部分和空白部分的造价，再相加得到总造价，用占比计算可简化运算。
【解析】
（1）设配色条纹的宽度为$x$米，依题意列方程：
$2x·5 + 2x·4 - 4x^2=\frac{17}{80}×5×4$
整理得：$18x-4x^2=\frac{17}{4}$，即$16x^2-72x+17=0$
解得：$x_1=\frac{17}{4}$，$x_2=\frac{1}{4}$
$\because \frac{17}{4}=4.25＞4$，超过地毯宽度，不符合实际，舍去
$\therefore x=\frac{1}{4}$
（2）配色条纹部分造价：$\frac{17}{80}×5×4×200=850$（元）
其余部分造价：$(1-\frac{17}{80})×5×4×100=1575$（元）
总造价：$850+1575=2425$（元）
【答案】
（1）配色条纹的宽度为$\frac{1}{4}$米；
（2）地毯的总造价是2425元。
【知识点】
一元二次方程的应用，长方形面积计算，有理数混合运算
【点评】
本题是生活场景类的几何应用题，解题核心是准确计算阴影面积，注意不要重复计算交叉重叠区域，求解方程后要结合实际意义判断根的合理性，利用已知面积占比计算造价可简化运算，是几何面积类应用题的典型考法。
【难度系数】
0.7
（1）求解配色条纹宽度时，先设宽度为$x$米，先分析阴影面积的组成：两横条纹总面积为$2×5x$，两纵条纹总面积为$2×4x$，但横纵条纹交叉的4个小正方形被重复计算，需要减去重复的$4x^2$得到阴影实际面积。再结合“阴影面积是整块地毯面积的$\frac{17}{80}$”的条件列一元二次方程，最后结合实际意义舍去不符合要求的根即可。
（2）求解总造价时，可直接利用题目给出的阴影面积占比，分别计算阴影部分和空白部分的造价，再相加得到总造价，用占比计算可简化运算。
【解析】
（1）设配色条纹的宽度为$x$米，依题意列方程：
$2x·5 + 2x·4 - 4x^2=\frac{17}{80}×5×4$
整理得：$18x-4x^2=\frac{17}{4}$，即$16x^2-72x+17=0$
解得：$x_1=\frac{17}{4}$，$x_2=\frac{1}{4}$
$\because \frac{17}{4}=4.25＞4$，超过地毯宽度，不符合实际，舍去
$\therefore x=\frac{1}{4}$
（2）配色条纹部分造价：$\frac{17}{80}×5×4×200=850$（元）
其余部分造价：$(1-\frac{17}{80})×5×4×100=1575$（元）
总造价：$850+1575=2425$（元）
【答案】
（1）配色条纹的宽度为$\frac{1}{4}$米；
（2）地毯的总造价是2425元。
【知识点】
一元二次方程的应用，长方形面积计算，有理数混合运算
【点评】
本题是生活场景类的几何应用题，解题核心是准确计算阴影面积，注意不要重复计算交叉重叠区域，求解方程后要结合实际意义判断根的合理性，利用已知面积占比计算造价可简化运算，是几何面积类应用题的典型考法。
【难度系数】
0.7
