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1 教材变式题 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可列出方程为（
A.$x+(1+x)=36$
B.$2(1+x)=36$
C.$1+x+x(1+x)=36$
D.$1+x+x^2=36$
C
）A.$x+(1+x)=36$
B.$2(1+x)=36$
C.$1+x+x(1+x)=36$
D.$1+x+x^2=36$
答案
1. C
解析
【分析】
这是典型的传播类方程建模问题，解题思路如下：第一步先确定初始患病人数，本题初始有1个流感患者；第二步计算第一轮传染后的总患病人数：1个患者每轮传染x人，第一轮新增x个患者，第一轮结束总患病人数为1+x；第三步计算第二轮传染后的总患病人数：第二轮的传染源是第一轮所有的1+x个患者，每人传染x人，所以第二轮新增x(1+x)个患者，两轮后累计总患病人数为初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数，等于题目给出的36人，据此即可列出方程。
【解析】
解：首先明确初始患流感的人数为1人。
1. 第一轮传染后，新增患病人数为x人，此时总患病人数为：$1 + x$；
2. 第二轮传染时，传染源为第一轮结束后的$1+x$个患者，每人传染x人，因此第二轮新增患病人数为$x(1+x)$；
3. 两轮传染后总患病人数为36人，因此列方程得：$1 + x + x(1+x) = 36$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用，传播问题建模
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是理清每一轮的传染源数量，区分新增患病人数和累计患病人数，避免误将第二轮新增人数当成$x^2$的常见错误。
【难度系数】
0.7
这是典型的传播类方程建模问题，解题思路如下：第一步先确定初始患病人数，本题初始有1个流感患者；第二步计算第一轮传染后的总患病人数：1个患者每轮传染x人，第一轮新增x个患者，第一轮结束总患病人数为1+x；第三步计算第二轮传染后的总患病人数：第二轮的传染源是第一轮所有的1+x个患者，每人传染x人，所以第二轮新增x(1+x)个患者，两轮后累计总患病人数为初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数，等于题目给出的36人，据此即可列出方程。
【解析】
解：首先明确初始患流感的人数为1人。
1. 第一轮传染后，新增患病人数为x人，此时总患病人数为：$1 + x$；
2. 第二轮传染时，传染源为第一轮结束后的$1+x$个患者，每人传染x人，因此第二轮新增患病人数为$x(1+x)$；
3. 两轮传染后总患病人数为36人，因此列方程得：$1 + x + x(1+x) = 36$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用，传播问题建模
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是理清每一轮的传染源数量，区分新增患病人数和累计患病人数，避免误将第二轮新增人数当成$x^2$的常见错误。
【难度系数】
0.7
2 某班级开展“读书分享”接力活动，1名同学先分享给$x$名同学，第一轮分享结束后，参与分享的同学又每人分享给$x$名未分享过的同学，两轮分享后，共有49名同学参与分享活动，则$x$的值满足的方程为（
A.$(1+x)^2=49$
B.$x+x^2=49$
C.$1+x=49$
D.$x^2=49$
A
）A.$(1+x)^2=49$
B.$x+x^2=49$
C.$1+x=49$
D.$x^2=49$
答案
2. A
解析
【分析】
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题时要逐步梳理每一轮参与分享的人数变化：首先明确初始参与人数为1人，第一轮分享后总参与人数是初始1人加新增的x人，即1+x人；第二轮分享的基数是第一轮结束的总人数，每人再传播给x人，因此第二轮结束后的总参与人数是第一轮总人数的(1+x)倍，结合两轮后总人数为49的条件即可列出对应方程。
【解析】
解：①初始状态：参与分享的同学共1名；
②第一轮分享结束后，1名同学分享给x名新同学，总参与人数为$1 + x$名；
③第二轮分享时，$1+x$名已参与的同学每人分享给x名未参与的同学，因此第二轮结束后，总参与人数为$(1+x) + (1+x) · x = (1+x)(1+x) = (1+x)^2$；
④根据题意两轮后共有49名同学参与，可列方程为$(1+x)^2 = 49$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题模型
【点评】
本题考查实际问题中的一元二次方程列写，解题关键是找准每一轮传播的人数基数，不要遗漏初始参与的1名同学，熟练掌握传播类问题的数量关系即可快速作答。
【难度系数】
0.8
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题时要逐步梳理每一轮参与分享的人数变化：首先明确初始参与人数为1人，第一轮分享后总参与人数是初始1人加新增的x人，即1+x人；第二轮分享的基数是第一轮结束的总人数，每人再传播给x人，因此第二轮结束后的总参与人数是第一轮总人数的(1+x)倍，结合两轮后总人数为49的条件即可列出对应方程。
【解析】
解：①初始状态：参与分享的同学共1名；
②第一轮分享结束后，1名同学分享给x名新同学，总参与人数为$1 + x$名；
③第二轮分享时，$1+x$名已参与的同学每人分享给x名未参与的同学，因此第二轮结束后，总参与人数为$(1+x) + (1+x) · x = (1+x)(1+x) = (1+x)^2$；
④根据题意两轮后共有49名同学参与，可列方程为$(1+x)^2 = 49$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题模型
【点评】
本题考查实际问题中的一元二次方程列写，解题关键是找准每一轮传播的人数基数，不要遗漏初始参与的1名同学，熟练掌握传播类问题的数量关系即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3 学校组织“消防安全”知识宣讲，1名同学作为宣传员先向x名同学宣讲，随后参与宣讲的同学每人又向x名同学宣讲，两轮宣讲后，共有64名同学知晓知识，则x=
7
。答案
3. 7
解析
【分析】
本题属于典型的一元二次方程传播类应用问题，解题思路如下：第一步先明确第一轮传播的人数：初始1名宣传员，每人向x名同学宣讲，第一轮结束后知晓总人数为$1+x$；第二步明确第二轮传播的主体是第一轮所有知晓的$1+x$名同学，每人再向x名宣讲，第二轮新增$x(1+x)$名知晓者；第三步根据两轮后总知晓人数为64列方程，求解后结合人数为正的实际要求舍去负根即可。
【解析】
根据传播的人数变化规律列方程：
第一轮结束后知晓知识的总人数：$1 + x$
第二轮新增知晓知识的人数：$x(1+x)$
由两轮后共有64名同学知晓，可得方程：
$1 + x + x(1+x) = 64$
整理方程，左边提取公因式得：
$(1+x)^2 = 64$
开平方得：$1+x = 8$ 或 $1+x = -8$
由于x代表传播的人数，为正整数，因此$1+x=-8$不符合实际，舍去。
解得$x = 8 - 1 = 7$
【答案】
7
【知识点】
传播问题建模
一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是理清每一轮传播的主体数量，准确列出对应方程，求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
本题属于典型的一元二次方程传播类应用问题，解题思路如下：第一步先明确第一轮传播的人数：初始1名宣传员，每人向x名同学宣讲，第一轮结束后知晓总人数为$1+x$；第二步明确第二轮传播的主体是第一轮所有知晓的$1+x$名同学，每人再向x名宣讲，第二轮新增$x(1+x)$名知晓者；第三步根据两轮后总知晓人数为64列方程，求解后结合人数为正的实际要求舍去负根即可。
【解析】
根据传播的人数变化规律列方程：
第一轮结束后知晓知识的总人数：$1 + x$
第二轮新增知晓知识的人数：$x(1+x)$
由两轮后共有64名同学知晓，可得方程：
$1 + x + x(1+x) = 64$
整理方程，左边提取公因式得：
$(1+x)^2 = 64$
开平方得：$1+x = 8$ 或 $1+x = -8$
由于x代表传播的人数，为正整数，因此$1+x=-8$不符合实际，舍去。
解得$x = 8 - 1 = 7$
【答案】
7
【知识点】
传播问题建模
一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是理清每一轮传播的主体数量，准确列出对应方程，求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
4 教材变式题 某学校机房有100台学生用电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒的传播速度非常快.如果1台电脑被感染，那么经过2轮感染后就会有16台电脑感染该病毒.
（1）每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？
（2）若病毒得不到有效控制，几轮感染后机房内的所有电脑将都被感染？
（1）每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？
（2）若病毒得不到有效控制，几轮感染后机房内的所有电脑将都被感染？
答案
4.（1）设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑.由题意,得$1+x+x(1+x)=16$.整理,得$(1+x)^2=16$,解得$x_1=3$,$x_2=-5$(不合题意,舍去).
∴每轮感染中平均1台电脑会感染3台电脑 （2）机房内的电脑共有$100+1=101$(台).n轮感染后,有$(1+x)^n$台电脑被感染,即$(1+3)^n=4^n$(台)电脑被感染.当$n=3$时,$4^3=64$;当$n=4$时,$4^4=256$.$\because 64＜101＜256$,
∴4轮感染后机房内的所有电脑将都被感染
∴每轮感染中平均1台电脑会感染3台电脑 （2）机房内的电脑共有$100+1=101$(台).n轮感染后,有$(1+x)^n$台电脑被感染,即$(1+3)^n=4^n$(台)电脑被感染.当$n=3$时,$4^3=64$;当$n=4$时,$4^4=256$.$\because 64＜101＜256$,
∴4轮感染后机房内的所有电脑将都被感染
解析
【分析】
（1）本题是典型的传播类一元二次方程应用题，首先需明确传播规律：初始1台被感染，每轮1台感染x台时，第一轮感染后总共有(1+x)台被感染；第二轮中这(1+x)台每台再感染x台，第二轮新增$x(1+x)$台，两轮后总感染数可整理为$(1+x)^2$台，结合两轮后共16台感染的条件列方程求解即可，注意感染台数不能为负，需舍去不符合实际的负根。
（2）先计算机房总电脑数，n轮感染后的总感染数符合乘方规律$(1+x)^n$，代入x的取值后，通过计算不同n对应的乘方结果，找到刚好大于等于总电脑数的n值即可。
【解析】
（1）设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑。
由题意得：$1+x+x(1+x)=16$
整理得：$(1+x)^2=16$
解得：$x_1=3$，$x_2=-5$
因为感染台数不可能为负，故$x_2=-5$不合题意，舍去。
（2）机房内电脑总数量为$100+1=101$（台）
设n轮感染后所有电脑都被感染，n轮后被感染的电脑总数为$(1+x)^n$，代入$x=3$得感染总数为$4^n$台。
当$n=3$时，$4^3=64＜101$，未全部感染；
当$n=4$时，$4^4=256＞101$，全部被感染。
【答案】
（1）每轮感染中平均1台电脑会感染3台电脑；
（2）4轮感染后机房内的所有电脑将都被感染。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 乘方的实际应用
【点评】
本题是传播类问题的基础考题，解题核心是找准传播过程中的数量变化规律，正确列出对应方程或表达式，同时要注意结合实际意义判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
（1）本题是典型的传播类一元二次方程应用题，首先需明确传播规律：初始1台被感染，每轮1台感染x台时，第一轮感染后总共有(1+x)台被感染；第二轮中这(1+x)台每台再感染x台，第二轮新增$x(1+x)$台，两轮后总感染数可整理为$(1+x)^2$台，结合两轮后共16台感染的条件列方程求解即可，注意感染台数不能为负，需舍去不符合实际的负根。
（2）先计算机房总电脑数，n轮感染后的总感染数符合乘方规律$(1+x)^n$，代入x的取值后，通过计算不同n对应的乘方结果，找到刚好大于等于总电脑数的n值即可。
【解析】
（1）设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑。
由题意得：$1+x+x(1+x)=16$
整理得：$(1+x)^2=16$
解得：$x_1=3$，$x_2=-5$
因为感染台数不可能为负，故$x_2=-5$不合题意，舍去。
（2）机房内电脑总数量为$100+1=101$（台）
设n轮感染后所有电脑都被感染，n轮后被感染的电脑总数为$(1+x)^n$，代入$x=3$得感染总数为$4^n$台。
当$n=3$时，$4^3=64＜101$，未全部感染；
当$n=4$时，$4^4=256＞101$，全部被感染。
【答案】
（1）每轮感染中平均1台电脑会感染3台电脑；
（2）4轮感染后机房内的所有电脑将都被感染。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 乘方的实际应用
【点评】
本题是传播类问题的基础考题，解题核心是找准传播过程中的数量变化规律，正确列出对应方程或表达式，同时要注意结合实际意义判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
5 [2025广东]近年来，高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为$x$，则可列出的方程为（
A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
A
）A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
答案
5. A
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步先确定初始产值：5月产值2500万元是增长的基数；第二步明确增长次数：从5月到7月共经历2次月度增长，月均增长率为x，每次增长后的产值都是上一月产值的(1+x)倍；第三步根据最终产值列等式：2次增长后的产值等于7月预计的9100万元，代入对应数值即可得到方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知5月产值为2500万元，6、7月的月均增长率为x：
1. 计算6月产值：6月产值是在5月基础上增长x，即 $2500(1+x)$ 万元；
2. 计算7月产值：7月产值是在6月基础上再增长x，即 $2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$ 万元；
3. 结合7月预计产值为9100万元，可列方程：$2500(1+x)^2 = 9100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是平均变化率问题的基础考法，解题核心是明确增长基数、增长次数和平均增长率的对应关系，牢记“初始量×(1+平均增长率)^增长次数=最终量”的公式，同时注意区分增长率和下降率的符号差异。
【难度系数】
0.85
这是一道平均增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步先确定初始产值：5月产值2500万元是增长的基数；第二步明确增长次数：从5月到7月共经历2次月度增长，月均增长率为x，每次增长后的产值都是上一月产值的(1+x)倍；第三步根据最终产值列等式：2次增长后的产值等于7月预计的9100万元，代入对应数值即可得到方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知5月产值为2500万元，6、7月的月均增长率为x：
1. 计算6月产值：6月产值是在5月基础上增长x，即 $2500(1+x)$ 万元；
2. 计算7月产值：7月产值是在6月基础上再增长x，即 $2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$ 万元；
3. 结合7月预计产值为9100万元，可列方程：$2500(1+x)^2 = 9100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是平均变化率问题的基础考法，解题核心是明确增长基数、增长次数和平均增长率的对应关系，牢记“初始量×(1+平均增长率)^增长次数=最终量”的公式，同时注意区分增长率和下降率的符号差异。
【难度系数】
0.85
6 [2025重庆]某景区2023年接待游客25万人，通过连续两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（
A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
B
）A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
答案
6. B
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，明确平均增长率的通用等量关系：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ=增长n次后的量，本题中2023年游客数是初始量，到2025年间隔2年，所以n=2；第二步，设年平均增长率为未知数x，代入已知的初始量25万人、2025年游客量36万人列方程；第三步，解方程后结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的根，即可得到正确结果。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为$x$。
根据题意可列方程：
$\displaystyle 25(1+x)^2=36$
方程两边同时除以25，得：
$\displaystyle (1+x)^2=\frac{36}{25}$
开平方，得：
$\displaystyle 1+x=\pm\frac{6}{5}$
当$\displaystyle 1+x=\frac{6}{5}$时，解得$\displaystyle x=\frac{1}{5}=20\%$；
当$\displaystyle 1+x=-\frac{6}{5}$时，解得$\displaystyle x=-\frac{11}{5}=-2.2$，年平均增长率不能为负数，不符合实际意义，故舍去。
因此年平均增长率为20%。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率问题的典型基础题，解题关键是牢记平均变化率的数量关系，求解方程后要注意结合实际情境检验根的合理性，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，明确平均增长率的通用等量关系：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ=增长n次后的量，本题中2023年游客数是初始量，到2025年间隔2年，所以n=2；第二步，设年平均增长率为未知数x，代入已知的初始量25万人、2025年游客量36万人列方程；第三步，解方程后结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的根，即可得到正确结果。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为$x$。
根据题意可列方程：
$\displaystyle 25(1+x)^2=36$
方程两边同时除以25，得：
$\displaystyle (1+x)^2=\frac{36}{25}$
开平方，得：
$\displaystyle 1+x=\pm\frac{6}{5}$
当$\displaystyle 1+x=\frac{6}{5}$时，解得$\displaystyle x=\frac{1}{5}=20\%$；
当$\displaystyle 1+x=-\frac{6}{5}$时，解得$\displaystyle x=-\frac{11}{5}=-2.2$，年平均增长率不能为负数，不符合实际意义，故舍去。
因此年平均增长率为20%。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率问题的典型基础题，解题关键是牢记平均变化率的数量关系，求解方程后要注意结合实际情境检验根的合理性，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.8
7 某新建工业园区今年6月提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计8月将提供岗位1815个.设7月、8月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为
$1501(1+x)^2=1815$
.答案
7. $1501(1+x)^2=1815$
解析
【分析】
这是典型的平均增长率列方程问题，解题思路如下：首先确定增长的初始量是6月的岗位数1501个，月平均增长率为x，平均增长率的计算规律是：后一个月的数量=前一个月的数量×(1+增长率)。从6月到8月共经过2次增长（6月到7月是第一次，7月到8月是第二次），因此只需要用初始量乘以(1+x)的2次方，令其等于8月的岗位数1815，即可列出方程。
【解析】
步骤1：确定初始值与增长次数：6月提供岗位1501个为初始值，从6月到8月共经过2次逐月增长，月平均增长率为x。
步骤2：计算7月岗位数：7月岗位数 = 6月岗位数×(1+x) = 1501(1+x)
步骤3：计算8月岗位数：8月岗位数 = 7月岗位数×(1+x) = 1501(1+x)×(1+x) = 1501(1+x)²
步骤4：根据8月预计提供岗位1815个，建立等量关系，得到方程：$1501(1+x)^2=1815$
【答案】
$1501(1+x)^2=1815$
【知识点】
1. 平均增长率模型
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率问题的基础题型，核心是掌握“初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量”的公式，解题时需准确判断增长的次数，找准等量关系即可快速列对方程。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均增长率列方程问题，解题思路如下：首先确定增长的初始量是6月的岗位数1501个，月平均增长率为x，平均增长率的计算规律是：后一个月的数量=前一个月的数量×(1+增长率)。从6月到8月共经过2次增长（6月到7月是第一次，7月到8月是第二次），因此只需要用初始量乘以(1+x)的2次方，令其等于8月的岗位数1815，即可列出方程。
【解析】
步骤1：确定初始值与增长次数：6月提供岗位1501个为初始值，从6月到8月共经过2次逐月增长，月平均增长率为x。
步骤2：计算7月岗位数：7月岗位数 = 6月岗位数×(1+x) = 1501(1+x)
步骤3：计算8月岗位数：8月岗位数 = 7月岗位数×(1+x) = 1501(1+x)×(1+x) = 1501(1+x)²
步骤4：根据8月预计提供岗位1815个，建立等量关系，得到方程：$1501(1+x)^2=1815$
【答案】
$1501(1+x)^2=1815$
【知识点】
1. 平均增长率模型
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率问题的基础题型，核心是掌握“初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量”的公式，解题时需准确判断增长的次数，找准等量关系即可快速列对方程。
【难度系数】
0.8
8 [2024 西藏]某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动. 四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同.
（1）求该商场投入资金的月增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
（1）求该商场投入资金的月增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
答案
8.（1）设该商场投入资金的月增长率为x.依题意,得$20(1+x)^2=24.2$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1$(不合题意,舍去).
∴该商场投入资金的月增长率为10% （2）由题意,得$24.2×(1+10\%)=26.62$(万元).
∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元
∴该商场投入资金的月增长率为10% （2）由题意,得$24.2×(1+10\%)=26.62$(万元).
∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元
解析
【分析】
本题考查平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：
（1）求解月增长率时，首先明确平均增长率的计算公式：若初始量为a，平均增长率为x，经过n个周期后的量为b，则满足$a(1+x)^n = b$。本题中初始量是四月份投入的20万元，经过2个月到六月份，投入资金为24.2万元，代入公式即可列方程求解，注意增长率不能为负数，需舍去不符合实际意义的解。
（2）求七月份投入资金时，七月份是在六月份的基础上增长，直接用六月份的投入资金乘（1+增长率）即可计算得到结果。
【解析】
（1）设该商场投入资金的月增长率为x。
依题意，得：$20(1+x)^2=24.2$
整理得$(1+x)^2=1.21$
开方得$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
（2）按照10%的增长率，七月份投入资金为：
$24.2×(1+10\%)=24.2×1.1=26.62$（万元）
【答案】
（1）该商场投入资金的月增长率为10%；
（2）预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是平均变化率类的基础应用题，解题核心是熟练掌握平均增长（下降）率的通用公式，求解方程后要注意结合实际情景对解进行取舍，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
本题考查平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：
（1）求解月增长率时，首先明确平均增长率的计算公式：若初始量为a，平均增长率为x，经过n个周期后的量为b，则满足$a(1+x)^n = b$。本题中初始量是四月份投入的20万元，经过2个月到六月份，投入资金为24.2万元，代入公式即可列方程求解，注意增长率不能为负数，需舍去不符合实际意义的解。
（2）求七月份投入资金时，七月份是在六月份的基础上增长，直接用六月份的投入资金乘（1+增长率）即可计算得到结果。
【解析】
（1）设该商场投入资金的月增长率为x。
依题意，得：$20(1+x)^2=24.2$
整理得$(1+x)^2=1.21$
开方得$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
（2）按照10%的增长率，七月份投入资金为：
$24.2×(1+10\%)=24.2×1.1=26.62$（万元）
【答案】
（1）该商场投入资金的月增长率为10%；
（2）预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是平均变化率类的基础应用题，解题核心是熟练掌握平均增长（下降）率的通用公式，求解方程后要注意结合实际情景对解进行取舍，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
