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21 当$a=\dfrac{1}{2}$时，化简代数式$\dfrac{a-1}{\sqrt{a}-1}+\sqrt{\dfrac{a^2+9}{a}-6}$，并求代数式的值。
答案
21.因为$a=\frac{1}{2}$，所以$0＜a＜1$，所以$a-3＜0$，原式$=\frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}-1}+\sqrt{\frac{(a-3)^2}{a}}=\sqrt{a}+1+\frac{|a-3|}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}+1+\frac{3-a}{a}\sqrt{a}=\sqrt{a}+1+\frac{3\sqrt{a}}{a}-\sqrt{a}=\frac{3}{a}\sqrt{a}+1$。当$a=\frac{1}{2}$时，
原式$=\frac{3}{a}\sqrt{a}+1=\frac{3}{\frac{1}{2}}×\sqrt{\frac{1}{2}}+1=3\sqrt{2}+1$。
原式$=\frac{3}{a}\sqrt{a}+1=\frac{3}{\frac{1}{2}}×\sqrt{\frac{1}{2}}+1=3\sqrt{2}+1$。
解析
【分析】
本题是二次根式与分式结合的化简求值题，解题思路如下：首先观察第一个分式的分子为$a-1$，可利用平方差公式分解为$(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)$，结合$a=\frac{1}{2}$可确定$\sqrt{a}-1≠0$，能直接约分化简分式；其次处理二次根式部分，先将根号内的式子通分整理，可得到分子为完全平方的形式，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，结合$a$的取值判断绝对值内表达式的正负，去掉绝对值符号；最后合并化简后的代数式，代入$a$的数值计算即可得到结果，先化简再求值可减少计算误差。
【解析】
解：已知$a=\frac{1}{2}$，则$0＜a＜1$，可得$\sqrt{a}-1≠0$，且$a-3＜0$。
对原式分步化简：
1. 化简分式部分：
$\frac{a-1}{\sqrt{a}-1}=\frac{(\sqrt{a})^2-1^2}{\sqrt{a}-1}=\frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}-1}=\sqrt{a}+1$
2. 化简二次根式部分：
$\sqrt{\frac{a^2+9}{a}-6}=\sqrt{\frac{a^2-6a+9}{a}}=\sqrt{\frac{(a-3)^2}{a}}=\frac{|a-3|}{\sqrt{a}}$
因为$a-3＜0$，所以$\frac{|a-3|}{\sqrt{a}}=\frac{3-a}{\sqrt{a}}=\frac{(3-a)\sqrt{a}}{a}=\frac{3\sqrt{a}}{a}-\sqrt{a}$
3. 合并化简结果：
原式$=\sqrt{a}+1+\frac{3\sqrt{a}}{a}-\sqrt{a}=\frac{3\sqrt{a}}{a}+1$
代入$a=\frac{1}{2}$计算：
原式$=\frac{3\sqrt{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+1=6×\frac{\sqrt{2}}{2}+1=3\sqrt{2}+1$
【答案】
$3\sqrt{2}+1$
【知识点】
平方差公式因式分解；二次根式的性质；分式约分
【点评】
本题属于中等难度的代数式化简求值题，核心考点是因式分解、分式化简和二次根式的性质应用，解题时需要注意二次根式开方后结果为非负数，必须先判断绝对值内式子的正负再去绝对值，先化简后代入求值的思路能大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.6
本题是二次根式与分式结合的化简求值题，解题思路如下：首先观察第一个分式的分子为$a-1$，可利用平方差公式分解为$(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)$，结合$a=\frac{1}{2}$可确定$\sqrt{a}-1≠0$，能直接约分化简分式；其次处理二次根式部分，先将根号内的式子通分整理，可得到分子为完全平方的形式，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，结合$a$的取值判断绝对值内表达式的正负，去掉绝对值符号；最后合并化简后的代数式，代入$a$的数值计算即可得到结果，先化简再求值可减少计算误差。
【解析】
解：已知$a=\frac{1}{2}$，则$0＜a＜1$，可得$\sqrt{a}-1≠0$，且$a-3＜0$。
对原式分步化简：
1. 化简分式部分：
$\frac{a-1}{\sqrt{a}-1}=\frac{(\sqrt{a})^2-1^2}{\sqrt{a}-1}=\frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}-1}=\sqrt{a}+1$
2. 化简二次根式部分：
$\sqrt{\frac{a^2+9}{a}-6}=\sqrt{\frac{a^2-6a+9}{a}}=\sqrt{\frac{(a-3)^2}{a}}=\frac{|a-3|}{\sqrt{a}}$
因为$a-3＜0$，所以$\frac{|a-3|}{\sqrt{a}}=\frac{3-a}{\sqrt{a}}=\frac{(3-a)\sqrt{a}}{a}=\frac{3\sqrt{a}}{a}-\sqrt{a}$
3. 合并化简结果：
原式$=\sqrt{a}+1+\frac{3\sqrt{a}}{a}-\sqrt{a}=\frac{3\sqrt{a}}{a}+1$
代入$a=\frac{1}{2}$计算：
原式$=\frac{3\sqrt{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+1=6×\frac{\sqrt{2}}{2}+1=3\sqrt{2}+1$
【答案】
$3\sqrt{2}+1$
【知识点】
平方差公式因式分解；二次根式的性质；分式约分
【点评】
本题属于中等难度的代数式化简求值题，核心考点是因式分解、分式化简和二次根式的性质应用，解题时需要注意二次根式开方后结果为非负数，必须先判断绝对值内式子的正负再去绝对值，先化简后代入求值的思路能大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.6
22 将 $3.5\dot{6}\dot{7}$ 化为最简分数。
答案
22.$\frac{1766}{495}$
解析
【分析】
要将混循环小数化为分数，核心思路是通过倍数变换消去无限循环的小数部分，再通过解方程求出对应的分数，最后约分化为最简。首先观察循环小数$3.5\dot{6}\dot{7}$，可知小数点后有1位不循环数字，循环节长度为2位，我们可以通过两次扩大倍数，让两个数的循环部分完全对齐，相减后消去循环部分，再求解即可。
【解析】
设$x = 3.5\dot{6}\dot{7} = 3.5676767···$
因为小数部分有1位不循环数字，两边同乘10得：
$10x = 35.676767···$ ①
又因为循环节为2位，将①式两边同乘100得：
$1000x = 3567.676767···$ ②
用②式减去①式，消去循环部分：
$1000x - 10x = 3567.6767··· - 35.6767···$
$990x = 3532$
解得$x = \frac{3532}{990}$，分子分母同时除以最大公因数2化简得：$x = \frac{1766}{495}$
【答案】
$\frac{1766}{495}$
【知识点】
混循环小数化分数，分数约分
【点评】
本题考查混循环小数转化为分数的方法，利用倍数变换消去循环部分的思路直观易懂，计算时需注意准确识别不循环部分位数和循环节长度，最后要将分数约分为最简形式。
【难度系数】
0.7
要将混循环小数化为分数，核心思路是通过倍数变换消去无限循环的小数部分，再通过解方程求出对应的分数，最后约分化为最简。首先观察循环小数$3.5\dot{6}\dot{7}$，可知小数点后有1位不循环数字，循环节长度为2位，我们可以通过两次扩大倍数，让两个数的循环部分完全对齐，相减后消去循环部分，再求解即可。
【解析】
设$x = 3.5\dot{6}\dot{7} = 3.5676767···$
因为小数部分有1位不循环数字，两边同乘10得：
$10x = 35.676767···$ ①
又因为循环节为2位，将①式两边同乘100得：
$1000x = 3567.676767···$ ②
用②式减去①式，消去循环部分：
$1000x - 10x = 3567.6767··· - 35.6767···$
$990x = 3532$
解得$x = \frac{3532}{990}$，分子分母同时除以最大公因数2化简得：$x = \frac{1766}{495}$
【答案】
$\frac{1766}{495}$
【知识点】
混循环小数化分数，分数约分
【点评】
本题考查混循环小数转化为分数的方法，利用倍数变换消去循环部分的思路直观易懂，计算时需注意准确识别不循环部分位数和循环节长度，最后要将分数约分为最简形式。
【难度系数】
0.7
23 若关于x的方程$(a-3)x^2 + \sqrt{a+1}x +1=0$有两个不相等的实数根，求a的取值范围。
答案
23.由题意可得，$\begin{cases}\Delta＞0,\\a≠3,\\a+1≥0,\end{cases}$ 所以$-1≤ a＜\frac{13}{3}$且$a≠3$。
解析
【分析】
要确定a的取值范围，需结合方程有两个不相等实数根的前提及相关限制条件逐步分析：①方程有两个实根说明其为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②一次项系数含二次根式，需满足被开方数非负才能保证根式有意义；③一元二次方程有两个不相等实数根，需满足判别式Δ＞0。分别列出对应的不等式，求解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$(a-3)x^2 + \sqrt{a+1}x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴ 需同时满足以下三个条件：
1. 方程为一元二次方程，二次项系数不为0：$a-3≠0$，解得$a≠3$；
2. 二次根式有意义，被开方数非负：$a+1≥0$，解得$a≥-1$；
3. 判别式大于0：$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中二次项系数为$a-3$，一次项系数为$\sqrt{a+1}$，常数项为1，
代入得：$\Delta = (\sqrt{a+1})^2 - 4×(a-3)×1 ＞ 0$，
化简：$a+1 -4(a-3) ＞0$，
展开：$a+1 -4a +12 ＞0$，
合并同类项：$-3a +13 ＞0$，
移项得：$-3a ＞ -13$，
系数化为1（不等号方向改变）：$a ＜ \frac{13}{3}$。
综合三个条件的解，最终得到a的取值范围。
【答案】
$-1≤ a＜\frac{13}{3}$且$a≠3$
【知识点】
一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程相关性质的综合应用题，解题时容易遗漏二次项系数不为0、二次根式被开方数非负的限制条件，需全面梳理题目隐含的所有约束，再结合判别式求解，避免出现取值范围扩大的错误。
【难度系数】
0.7
要确定a的取值范围，需结合方程有两个不相等实数根的前提及相关限制条件逐步分析：①方程有两个实根说明其为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②一次项系数含二次根式，需满足被开方数非负才能保证根式有意义；③一元二次方程有两个不相等实数根，需满足判别式Δ＞0。分别列出对应的不等式，求解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$(a-3)x^2 + \sqrt{a+1}x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴ 需同时满足以下三个条件：
1. 方程为一元二次方程，二次项系数不为0：$a-3≠0$，解得$a≠3$；
2. 二次根式有意义，被开方数非负：$a+1≥0$，解得$a≥-1$；
3. 判别式大于0：$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中二次项系数为$a-3$，一次项系数为$\sqrt{a+1}$，常数项为1，
代入得：$\Delta = (\sqrt{a+1})^2 - 4×(a-3)×1 ＞ 0$，
化简：$a+1 -4(a-3) ＞0$，
展开：$a+1 -4a +12 ＞0$，
合并同类项：$-3a +13 ＞0$，
移项得：$-3a ＞ -13$，
系数化为1（不等号方向改变）：$a ＜ \frac{13}{3}$。
综合三个条件的解，最终得到a的取值范围。
【答案】
$-1≤ a＜\frac{13}{3}$且$a≠3$
【知识点】
一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程相关性质的综合应用题，解题时容易遗漏二次项系数不为0、二次根式被开方数非负的限制条件，需全面梳理题目隐含的所有约束，再结合判别式求解，避免出现取值范围扩大的错误。
【难度系数】
0.7
24 关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + a = 0$。
(1) 若$b=5$，$a=4$，求方程的两根；
(2) 当$b=a+3$时，利用根的判别式判断方程根的情况。
(1) 若$b=5$，$a=4$，求方程的两根；
(2) 当$b=a+3$时，利用根的判别式判断方程根的情况。
答案
24.(1) 若$b=5$，$a=4$，则$x^2+5x+4=0$，所以$(x+1)(x+4)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-4$。
(2) $\Delta=(a+3)^2-4a=a^2+6a+9-4a=(a+1)^2+8＞0$，所以原方程有两个不相等的实数根。
(2) $\Delta=(a+3)^2-4a=a^2+6a+9-4a=(a+1)^2+8＞0$，所以原方程有两个不相等的实数根。
解析
【分析】
（1）第一小问解题思路：先将给定的b、a的值代入原方程，得到具体的一元二次方程，再用十字相乘法因式分解求解方程的根，计算简便。
（2）第二小问解题思路：要判断一元二次方程根的情况，需先写出根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，再将$b=a+3$代入判别式中化简，最后根据化简结果的正负性判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
(1) 把$b=5$，$a=4$代入方程$x^2 + bx + a = 0$，得：
$x^2 + 5x + 4 = 0$
对左边因式分解得：$(x+1)(x+4)=0$
则$x+1=0$或$x+4=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-4$
(2) 当$b=a+3$时，一元二次方程的根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4×1× a$
将$b=a+3$代入得：
$\Delta = (a+3)^2 - 4a$
展开化简：$\Delta = a^2 + 6a + 9 - 4a = a^2 + 2a + 9 = (a+1)^2 + 8$
∵无论a取任意实数，$(a+1)^2≥0$，
∴$(a+1)^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta＞0$
∴原方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $x_1=-1$，$x_2=-4$；(2) 方程有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式应用
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，第一问考查代入求值和一元二次方程的基本求解能力，第二问结合代数式化简、非负数的性质考查根的判别式的应用，掌握一元二次方程相关基础概念和运算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）第一小问解题思路：先将给定的b、a的值代入原方程，得到具体的一元二次方程，再用十字相乘法因式分解求解方程的根，计算简便。
（2）第二小问解题思路：要判断一元二次方程根的情况，需先写出根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，再将$b=a+3$代入判别式中化简，最后根据化简结果的正负性判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
(1) 把$b=5$，$a=4$代入方程$x^2 + bx + a = 0$，得：
$x^2 + 5x + 4 = 0$
对左边因式分解得：$(x+1)(x+4)=0$
则$x+1=0$或$x+4=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-4$
(2) 当$b=a+3$时，一元二次方程的根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4×1× a$
将$b=a+3$代入得：
$\Delta = (a+3)^2 - 4a$
展开化简：$\Delta = a^2 + 6a + 9 - 4a = a^2 + 2a + 9 = (a+1)^2 + 8$
∵无论a取任意实数，$(a+1)^2≥0$，
∴$(a+1)^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta＞0$
∴原方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $x_1=-1$，$x_2=-4$；(2) 方程有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式应用
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，第一问考查代入求值和一元二次方程的基本求解能力，第二问结合代数式化简、非负数的性质考查根的判别式的应用，掌握一元二次方程相关基础概念和运算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
