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25 两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场上卖，两人带的鸡蛋数量不同，但卖得的钱数是一样的。第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个钱。”第二个农妇答道：“但是你的鸡蛋如果换给我，我就只能卖得$6\frac{2}{3}$个钱。”试问：原来每人各有多少个鸡蛋？
答案
25.设第一个农妇原来有$x$个鸡蛋，则第二个农妇原来有$(100-x)$个鸡蛋。第一个农妇卖鸡蛋能得到$\frac{15x}{100-x}$钱，第二个农妇卖鸡蛋能得到$\frac{\frac{20}{3}(100-x)}{x}$钱。所以$\frac{15x}{100-x}=\frac{20(100-x)}{3x}$，解得$x_1=40$，$x_2=-200$(舍去)。经检验，$x=40$是原分式方程的解。所以第一个农妇原来有40个鸡蛋，第二个农妇原来有60个鸡蛋。
解析
【分析】
解题时先从已知条件中提取核心等量关系：两个农妇卖得的总钱数相等。第一步先设第一个农妇的鸡蛋数量为未知数，用鸡蛋总数100表示出第二个农妇的鸡蛋数量；第二步根据两人互换鸡蛋后可卖得的钱数，分别求出两个农妇卖鸡蛋的单价；第三步结合“总价=单价×数量”表示出两人原本卖得的总钱数，利用钱数相等列方程求解，最后注意分式方程需要检验，还要舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设第一个农妇原来有$x$个鸡蛋，则第二个农妇原来有$(100-x)$个鸡蛋。
第一个农妇的鸡蛋单价为$\frac{15}{100-x}$钱/个，她原本卖得的总钱数为$\frac{15x}{100-x}$钱；
第二个农妇的鸡蛋单价为$\frac{\frac{20}{3}}{x}=\frac{20}{3x}$钱/个，她原本卖得的总钱数为$\frac{20(100-x)}{3x}$钱。
根据两人卖得钱数相等列方程：
$\frac{15x}{100-x}=\frac{20(100-x)}{3x}$
交叉相乘化简得：$45x^2=20(100-x)^2$
整理得：$x^2+160x-8000=0$
解得$x_1=40$，$x_2=-200$（鸡蛋数量不能为负，舍去）。
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
第二个农妇的鸡蛋数量为$100-40=60$（个）。
【答案】
第一个农妇原来有40个鸡蛋，第二个农妇原来有60个鸡蛋。
【知识点】
1.分式方程的应用
2.一元二次方程的解法
3.分式方程的检验
【点评】
本题属于实际情境类方程应用题，解题核心是找准等量关系，结合总价、单价、数量的基本数量关系列方程，求解后既要检验根是否为分式方程的增根，也要判断根是否符合实际生活的逻辑。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件中提取核心等量关系：两个农妇卖得的总钱数相等。第一步先设第一个农妇的鸡蛋数量为未知数，用鸡蛋总数100表示出第二个农妇的鸡蛋数量；第二步根据两人互换鸡蛋后可卖得的钱数，分别求出两个农妇卖鸡蛋的单价；第三步结合“总价=单价×数量”表示出两人原本卖得的总钱数，利用钱数相等列方程求解，最后注意分式方程需要检验，还要舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设第一个农妇原来有$x$个鸡蛋，则第二个农妇原来有$(100-x)$个鸡蛋。
第一个农妇的鸡蛋单价为$\frac{15}{100-x}$钱/个，她原本卖得的总钱数为$\frac{15x}{100-x}$钱；
第二个农妇的鸡蛋单价为$\frac{\frac{20}{3}}{x}=\frac{20}{3x}$钱/个，她原本卖得的总钱数为$\frac{20(100-x)}{3x}$钱。
根据两人卖得钱数相等列方程：
$\frac{15x}{100-x}=\frac{20(100-x)}{3x}$
交叉相乘化简得：$45x^2=20(100-x)^2$
整理得：$x^2+160x-8000=0$
解得$x_1=40$，$x_2=-200$（鸡蛋数量不能为负，舍去）。
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
第二个农妇的鸡蛋数量为$100-40=60$（个）。
【答案】
第一个农妇原来有40个鸡蛋，第二个农妇原来有60个鸡蛋。
【知识点】
1.分式方程的应用
2.一元二次方程的解法
3.分式方程的检验
【点评】
本题属于实际情境类方程应用题，解题核心是找准等量关系，结合总价、单价、数量的基本数量关系列方程，求解后既要检验根是否为分式方程的增根，也要判断根是否符合实际生活的逻辑。
【难度系数】
0.6
26 证明:$\sqrt{3}$是无理数。
答案
26.假设$\sqrt{3}$是一个有理数，那么存在互素的正整数$a$、$b$，使$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$，所以$3b^2=a^2$。所以$a^2$是3的倍数，所以$a$也是3的倍数。设$a=3m$，$m$是正整数，则有$3b^2=(3m)^2$，即$b^2=3m^2$。所以$b^2$是3的倍数，所以$b$也是3的倍数。由此可见，$a$与$b$不是互素的，与假设矛盾。所以$\sqrt{3}$是无理数。
解析
【分析】
要证明$\sqrt{3}$是无理数，直接验证它是无限不循环小数很难操作，因此选用反证法证明。反证法的思路是：先假设命题的反面成立，也就是假设$\sqrt{3}$是有理数，再从假设出发推导，得出矛盾后即可否定假设，证明原命题成立。具体推导步骤为：首先根据有理数的定义，将$\sqrt{3}$写成两个互素正整数的比值，再对等式平方变形，推导得出两个正整数都含有因数3，这和二者互素的前提矛盾，即可完成证明。
【解析】
证明：假设$\sqrt{3}$是一个有理数，
根据有理数的定义，存在互素的正整数$a$、$b$，使$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$，
等式两边同时平方得：$3b^2=a^2$，
因此$a^2$是3的倍数，可得$a$也是3的倍数。
设$a=3m$（$m$是正整数），代入$3b^2=a^2$得：
$3b^2=(3m)^2=9m^2$，化简得$b^2=3m^2$，
因此$b^2$是3的倍数，可得$b$也是3的倍数。
此时$a$和$b$都有公因数3，与“$a$、$b$互素”的假设矛盾，
因此假设不成立，$\sqrt{3}$是无理数。
【答案】
假设$\sqrt{3}$是一个有理数，那么存在互素的正整数$a$、$b$，使$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$，所以$3b^2=a^2$。所以$a^2$是3的倍数，所以$a$也是3的倍数。设$a=3m$，$m$是正整数，则有$3b^2=(3m)^2$，即$b^2=3m^2$。所以$b^2$是3的倍数，所以$b$也是3的倍数。由此可见，$a$与$b$不是互素的，与假设矛盾。所以$\sqrt{3}$是无理数。
【知识点】
反证法；有理数的定义；整除的性质
【点评】
本题是反证法的典型应用，主要考察对有理数、无理数概念的理解，以及反证法的使用逻辑。证明的关键是通过代数变形推导出与假设矛盾的结论，反证法也是证明含根号的数为无理数的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要证明$\sqrt{3}$是无理数，直接验证它是无限不循环小数很难操作，因此选用反证法证明。反证法的思路是：先假设命题的反面成立，也就是假设$\sqrt{3}$是有理数，再从假设出发推导，得出矛盾后即可否定假设，证明原命题成立。具体推导步骤为：首先根据有理数的定义，将$\sqrt{3}$写成两个互素正整数的比值，再对等式平方变形，推导得出两个正整数都含有因数3，这和二者互素的前提矛盾，即可完成证明。
【解析】
证明：假设$\sqrt{3}$是一个有理数，
根据有理数的定义，存在互素的正整数$a$、$b$，使$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$，
等式两边同时平方得：$3b^2=a^2$，
因此$a^2$是3的倍数，可得$a$也是3的倍数。
设$a=3m$（$m$是正整数），代入$3b^2=a^2$得：
$3b^2=(3m)^2=9m^2$，化简得$b^2=3m^2$，
因此$b^2$是3的倍数，可得$b$也是3的倍数。
此时$a$和$b$都有公因数3，与“$a$、$b$互素”的假设矛盾，
因此假设不成立，$\sqrt{3}$是无理数。
【答案】
假设$\sqrt{3}$是一个有理数，那么存在互素的正整数$a$、$b$，使$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$，所以$3b^2=a^2$。所以$a^2$是3的倍数，所以$a$也是3的倍数。设$a=3m$，$m$是正整数，则有$3b^2=(3m)^2$，即$b^2=3m^2$。所以$b^2$是3的倍数，所以$b$也是3的倍数。由此可见，$a$与$b$不是互素的，与假设矛盾。所以$\sqrt{3}$是无理数。
【知识点】
反证法；有理数的定义；整除的性质
【点评】
本题是反证法的典型应用，主要考察对有理数、无理数概念的理解，以及反证法的使用逻辑。证明的关键是通过代数变形推导出与假设矛盾的结论，反证法也是证明含根号的数为无理数的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
