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1[2025甘肃中考]“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录.为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝.风筝的形状如图所示，其中对角线$AC ⊥ BD$.已知大、小风筝的对应边之比为$3:1$，如果小风筝两条对角线的长分别为$30\ \mathrm{cm}$和$35\ \mathrm{cm}$，那么大风筝两条对角线长的和为
195
cm.答案
1. 195 【解析】
∵小风筝两条对角线的长分别为30 cm和35 cm,
∴小风筝两条对角线长的和为30+35=65(cm).
∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝,大、小风筝的对应边之比为3:1,
∴大风筝和小风筝相似,相似比为3:1,
∴大风筝两条对角线长的和:小风筝两条对角线长的和=3:1,
∴大风筝两条对角线长的和为3×65=195(cm),故答案为195.
∵小风筝两条对角线的长分别为30 cm和35 cm,
∴小风筝两条对角线长的和为30+35=65(cm).
∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝,大、小风筝的对应边之比为3:1,
∴大风筝和小风筝相似,相似比为3:1,
∴大风筝两条对角线长的和:小风筝两条对角线长的和=3:1,
∴大风筝两条对角线长的和为3×65=195(cm),故答案为195.
解析
【分析】
解题时首先根据“两个风筝形状相同、对应边之比为3:1”判断两个风筝是相似图形，相似比为3:1；接着回忆相似多边形的性质：相似多边形对应线段的比等于相似比，对应线段之和的比也等于相似比；然后先计算小风筝两条对角线的长度和，再结合相似比即可求出大风筝两条对角线长的和。
【解析】
解：已知小风筝两条对角线的长分别为30 cm和35 cm，
则小风筝两条对角线长的和为 $30 + 35 = 65\ \mathrm{cm}$。
∵大、小风筝形状相同，对应边之比为3:1，
∴大风筝与小风筝相似，相似比为3:1。
根据相似多边形的性质，相似图形对应线段之和的比等于相似比，即大风筝两条对角线长的和:小风筝两条对角线长的和 = 3:1，
∴大风筝两条对角线长的和为 $3×65 = 195\ \mathrm{cm}$。
【答案】
195
【知识点】
相似图形的判定；相似多边形的性质
【点评】
本题以传统风筝制作为背景，将实际问题与相似多边形的知识结合，考查学生对相似性质的理解和应用能力，解题的关键是明确形状相同的图形是相似图形，相似图形对应线段的和的比等于相似比。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据“两个风筝形状相同、对应边之比为3:1”判断两个风筝是相似图形，相似比为3:1；接着回忆相似多边形的性质：相似多边形对应线段的比等于相似比，对应线段之和的比也等于相似比；然后先计算小风筝两条对角线的长度和，再结合相似比即可求出大风筝两条对角线长的和。
【解析】
解：已知小风筝两条对角线的长分别为30 cm和35 cm，
则小风筝两条对角线长的和为 $30 + 35 = 65\ \mathrm{cm}$。
∵大、小风筝形状相同，对应边之比为3:1，
∴大风筝与小风筝相似，相似比为3:1。
根据相似多边形的性质，相似图形对应线段之和的比等于相似比，即大风筝两条对角线长的和:小风筝两条对角线长的和 = 3:1，
∴大风筝两条对角线长的和为 $3×65 = 195\ \mathrm{cm}$。
【答案】
195
【知识点】
相似图形的判定；相似多边形的性质
【点评】
本题以传统风筝制作为背景，将实际问题与相似多边形的知识结合，考查学生对相似性质的理解和应用能力，解题的关键是明确形状相同的图形是相似图形，相似图形对应线段的和的比等于相似比。
【难度系数】
0.8
2[2024湖南中考]如图,左图为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图,右图为其平面示意图,已知AB⊥CD于点B,AB与水平线l相交于点O,OE⊥l.若BC=4分米,OB=12分米,∠BOE=60°,则点C到水平线l的距离CF为
6-2√3
分米(结果用含根号的式子表示).答案
2. (6-2√3) 【解析】如图,延长DC交l于点H,连接OC. 在Rt△OBH中,
∵∠BOH=90°-60°=30°,OB=12,
∴BH=12×tan 30°=4√3,
∴OH=8√3.
∵S△OBH=S△OCH+S△OBC,
∴$\frac{1}{2}OB · BH = \frac{1}{2}OH · CF + \frac{1}{2}OB · BC$,即$\frac{1}{2}×12×4\sqrt{3} = \frac{1}{2}×8\sqrt{3}×CF + \frac{1}{2}×12×4$,解得$CF=6-2\sqrt{3}$. 故答案为$(6-2\sqrt{3})$.
解析
【分析】
要求点C到水平线l的距离CF，我们可以按以下思路推导：首先根据OE⊥l和∠BOE=60°，先求出AB与l的夹角∠BOH为30°；接着延长DC交l于点H，可得Rt△OBH，利用解直角三角形求出BH、OH的长度；最后观察图形，△OBH的面积等于△OBC与△OHC的面积之和，我们可以通过面积相等建立关于CF的方程，解方程即可求出CF的长度。
【解析】
如图，延长DC交l于点H。
∵OE⊥l，∠BOE=60°，
∴∠BOH=90°-60°=30°。
∵AB⊥CD，
∴∠OBH=90°，
在Rt△OBH中，OB=12分米，
∴BH=OB·tan30°=12×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}$（分米），
OH=$\frac{OB}{cos30°}$=$\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8$\sqrt{3}$（分米）。
∵${S}_{△ OBH}={S}_{△ OCH}+{S}_{△ OBC}$，
∴$\frac{1}{2}OB·BH=\frac{1}{2}OH·CF+\frac{1}{2}OB·BC$，
代入BC=4分米，OB=12分米，BH=4$\sqrt{3}$分米，OH=8$\sqrt{3}$分米，得：
$\frac{1}{2}×12×4\sqrt{3}=\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×CF+\frac{1}{2}×12×4$，
化简得：$24\sqrt{3}=4\sqrt{3}CF+24$，
两边同时除以4得：$6\sqrt{3}=\sqrt{3}CF+6$，
移项解得：$CF=\frac{6\sqrt{3}-6}{\sqrt{3}}=6-2\sqrt{3}$（分米）。
【答案】
$(6-2\sqrt{3})$
【知识点】
解直角三角形、三角形面积计算、方程思想应用
【点评】
本题结合古代科技典籍中的工具结构考查几何知识的实际应用，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，利用面积和建立方程求解，既考查了数学运算能力，也体现了数学的文化价值。
【难度系数】
0.6
要求点C到水平线l的距离CF，我们可以按以下思路推导：首先根据OE⊥l和∠BOE=60°，先求出AB与l的夹角∠BOH为30°；接着延长DC交l于点H，可得Rt△OBH，利用解直角三角形求出BH、OH的长度；最后观察图形，△OBH的面积等于△OBC与△OHC的面积之和，我们可以通过面积相等建立关于CF的方程，解方程即可求出CF的长度。
【解析】
如图，延长DC交l于点H。
∵OE⊥l，∠BOE=60°，
∴∠BOH=90°-60°=30°。
∵AB⊥CD，
∴∠OBH=90°，
在Rt△OBH中，OB=12分米，
∴BH=OB·tan30°=12×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}$（分米），
OH=$\frac{OB}{cos30°}$=$\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8$\sqrt{3}$（分米）。
∵${S}_{△ OBH}={S}_{△ OCH}+{S}_{△ OBC}$，
∴$\frac{1}{2}OB·BH=\frac{1}{2}OH·CF+\frac{1}{2}OB·BC$，
代入BC=4分米，OB=12分米，BH=4$\sqrt{3}$分米，OH=8$\sqrt{3}$分米，得：
$\frac{1}{2}×12×4\sqrt{3}=\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×CF+\frac{1}{2}×12×4$，
化简得：$24\sqrt{3}=4\sqrt{3}CF+24$，
两边同时除以4得：$6\sqrt{3}=\sqrt{3}CF+6$，
移项解得：$CF=\frac{6\sqrt{3}-6}{\sqrt{3}}=6-2\sqrt{3}$（分米）。
【答案】
$(6-2\sqrt{3})$
【知识点】
解直角三角形、三角形面积计算、方程思想应用
【点评】
本题结合古代科技典籍中的工具结构考查几何知识的实际应用，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，利用面积和建立方程求解，既考查了数学运算能力，也体现了数学的文化价值。
【难度系数】
0.6
3[2024湖北武汉中考]如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，
它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E,F,记正方形ABCD的面积为$S_1$,正方形MNPQ的面积为$S_2$.若$BE=kAE(k＞1)$,则用含$k$的式子表示$\frac{S_1}{S_2}$的值是
它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E,F,记正方形ABCD的面积为$S_1$,正方形MNPQ的面积为$S_2$.若$BE=kAE(k＞1)$,则用含$k$的式子表示$\frac{S_1}{S_2}$的值是
$\frac{k^2+1}{(k-1)^2}$
.答案
3. $\frac{k^2+1}{(k-1)^2}$ 【解析】如图,过A作$AG// BP$交FE延长线于点G,
∴$∠GAE = ∠PBE, ∠AGE = ∠BPE$,
∴$△ AGE ∽ △ BPE$,
∴$\frac{AG}{BP} = \frac{AE}{BE} = \frac{1}{k}$. 设$AG = 1$,则$BP = k$.
∵$∠GAM = ∠ANP = 90°, ∠NMP = 45°$,
∴$∠AMG=45°$,
∴$AM = AG = 1$.
∵$AN = MD = BP = k$,
∴$MN=k-1$.
∵$S_1=AD^2=AM^2+MD^2=1+k^2$,$S_2=MN^2=(k-1)^2$,
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{k^2+1}{(k-1)^2}$.
解析
【分析】
要解决本题，我们可以从已知的线段比例$BE=kAE$入手：首先通过构造平行线得到相似三角形，转化线段比例关系；再结合赵爽弦图中全等直角三角形、正方形的性质，分别求出大、小正方形的面积；最后计算两个面积的比值即可。
【解析】
解：如图，过$A$作$AG// BP$交$FE$延长线于点$G$，
$\therefore ∠ GAE = ∠ PBE$，$∠ AGE = ∠ BPE$，
$\therefore △ AGE ∽ △ BPE$，
$\therefore \frac{AG}{BP} = \frac{AE}{BE} = \frac{1}{k}$。
设$AG = 1$，则$BP = k$。
$\because MP$是正方形$MNPQ$的对角线，$\therefore ∠ NMP = 45°$，
又$∠ GAM = ∠ ANP = 90°$，
$\therefore △ AMG$为等腰直角三角形，
$\therefore AM = AG = 1$。
由赵爽弦图的性质可知，四个直角三角形全等，
$\therefore AN = MD = BP = k$，
$\therefore$小正方形$MNPQ$的边长$MN = AN - AM = k - 1$。
在$Rt△ AMD$中，由勾股定理得：
$AD^2 = AM^2 + MD^2 = 1^2 + k^2 = k^2 + 1$，
$\therefore$大正方形面积$S_1 = AD^2 = k^2 + 1$，
小正方形面积$S_2 = MN^2 = (k - 1)^2$，
$\therefore \frac{S_1}{S_2} = \frac{k^2 + 1}{(k - 1)^2}$。
【答案】
$\frac{k^2+1}{(k-1)^2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，将几何图形性质与比例计算结合，解题的关键是通过构造相似三角形转化线段比例，结合弦图的固有性质找到两个正方形边长的数量关系，考查了数形结合思想和综合运用几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，我们可以从已知的线段比例$BE=kAE$入手：首先通过构造平行线得到相似三角形，转化线段比例关系；再结合赵爽弦图中全等直角三角形、正方形的性质，分别求出大、小正方形的面积；最后计算两个面积的比值即可。
【解析】
解：如图，过$A$作$AG// BP$交$FE$延长线于点$G$，
$\therefore ∠ GAE = ∠ PBE$，$∠ AGE = ∠ BPE$，
$\therefore △ AGE ∽ △ BPE$，
$\therefore \frac{AG}{BP} = \frac{AE}{BE} = \frac{1}{k}$。
设$AG = 1$，则$BP = k$。
$\because MP$是正方形$MNPQ$的对角线，$\therefore ∠ NMP = 45°$，
又$∠ GAM = ∠ ANP = 90°$，
$\therefore △ AMG$为等腰直角三角形，
$\therefore AM = AG = 1$。
由赵爽弦图的性质可知，四个直角三角形全等，
$\therefore AN = MD = BP = k$，
$\therefore$小正方形$MNPQ$的边长$MN = AN - AM = k - 1$。
在$Rt△ AMD$中，由勾股定理得：
$AD^2 = AM^2 + MD^2 = 1^2 + k^2 = k^2 + 1$，
$\therefore$大正方形面积$S_1 = AD^2 = k^2 + 1$，
小正方形面积$S_2 = MN^2 = (k - 1)^2$，
$\therefore \frac{S_1}{S_2} = \frac{k^2 + 1}{(k - 1)^2}$。
【答案】
$\frac{k^2+1}{(k-1)^2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，将几何图形性质与比例计算结合，解题的关键是通过构造相似三角形转化线段比例，结合弦图的固有性质找到两个正方形边长的数量关系，考查了数形结合思想和综合运用几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
4[2025吉林长春中考]在功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间t(s)成反比例，P(W)与t(s)之间的函数关系如图所示.当25≤t≤40时，P的值可以为 (
A.24
B.27
C.45
D.50
C
)A.24
B.27
C.45
D.50
答案
4. C 【解析】设功率P(W)与做功的时间t(s)的函数表达式为$P=\frac{k}{t}(k≠0)$,把t=60,P=20代入表达式得$20=\frac{k}{60}$,解得k=1 200,
∴$P=\frac{1\ 200}{t}$,
∴当t=25时,P=48,当t=40时,P=30,
∴由图象可知,当25≤t≤40时,30≤P≤48,
∴P的值可以为45. 故选C.
∴$P=\frac{1\ 200}{t}$,
∴当t=25时,P=48,当t=40时,P=30,
∴由图象可知,当25≤t≤40时,30≤P≤48,
∴P的值可以为45. 故选C.
解析
【分析】
首先题目明确功率P与做功时间t成反比例，因此可先设反比例函数解析式为$P=\frac{k}{t}(k\ne0)$。接下来从函数图象中读取已知点坐标(60,20)，代入解析式即可求出常数k，得到P与t的函数关系式。由于k＞0且t＞0时P随t的增大而减小，因此分别计算t=25和t=40对应的P值，就能得到25≤t≤40时P的取值范围，最后对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
设功率P(W)与做功时间t(s)的函数表达式为$P=\frac{k}{t}(k\ne0)$，
由图象可知函数过点(60,20)，将t=60、P=20代入表达式得：
$20=\frac{k}{60}$，解得$k=20×60=1200$，
因此函数解析式为$P=\frac{1200}{t}$。
当t=25时，$P=\frac{1200}{25}=48$；
当t=40时，$P=\frac{1200}{40}=30$。
因为k=1200＞0，在t＞0区间内P随t的增大而减小，因此当$25\le t\le40$时，$30\le P\le48$。
对比选项，只有45在该取值范围内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理中功率的相关概念考查反比例函数的实际应用，解题核心是先利用图象已知点求出函数解析式，再结合反比例函数的增减性确定对应自变量范围内的函数值范围，进而选出符合要求的选项。
【难度系数】
0.7
首先题目明确功率P与做功时间t成反比例，因此可先设反比例函数解析式为$P=\frac{k}{t}(k\ne0)$。接下来从函数图象中读取已知点坐标(60,20)，代入解析式即可求出常数k，得到P与t的函数关系式。由于k＞0且t＞0时P随t的增大而减小，因此分别计算t=25和t=40对应的P值，就能得到25≤t≤40时P的取值范围，最后对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
设功率P(W)与做功时间t(s)的函数表达式为$P=\frac{k}{t}(k\ne0)$，
由图象可知函数过点(60,20)，将t=60、P=20代入表达式得：
$20=\frac{k}{60}$，解得$k=20×60=1200$，
因此函数解析式为$P=\frac{1200}{t}$。
当t=25时，$P=\frac{1200}{25}=48$；
当t=40时，$P=\frac{1200}{40}=30$。
因为k=1200＞0，在t＞0区间内P随t的增大而减小，因此当$25\le t\le40$时，$30\le P\le48$。
对比选项，只有45在该取值范围内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理中功率的相关概念考查反比例函数的实际应用，解题核心是先利用图象已知点求出函数解析式，再结合反比例函数的增减性确定对应自变量范围内的函数值范围，进而选出符合要求的选项。
【难度系数】
0.7
5[2025山东中考]在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x＜1000)内,y与x近似成一次函数关系;在中高光照强度范围(x≥1000)内,y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象,下列结论正确的是 (
A.当x≥1000时,y随x的增大而减小
B.当x=2000时,y有最大值
C.当y≥0.6时,x≥1000
D.当y=0.4时,x=600
B
)A.当x≥1000时,y随x的增大而减小
B.当x=2000时,y有最大值
C.当y≥0.6时,x≥1000
D.当y=0.4时,x=600
答案
5. B 【解析】观察图象可知,当x≥1 000时,在抛物线对称轴左侧,y随x的增大而增大,在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,故A选项不符合题意;抛物线对称轴为直线$x=\frac{1\ 000+3\ 000}{2}=2\ 000$,且抛物线开口向下,所以当x=2 000时,y有最大值,故B选项符合题意;观察图象可知,当y≥0.6时,1 000≤x≤3 000,故C选项不符合题意;由图象可知,当y=0.4时,有两个对应的x值,故D选项不符合题意. 故选B.
解析
【分析】
本题是一次函数与二次函数结合的图象应用题，解题思路如下：首先明确不同x区间对应的函数类型，x在200≤x＜1000时是一次函数，x≥1000时是开口向下的二次函数；再利用二次函数的对称性，由过(1000,0.6)和(3000,0.6)两点求出对称轴为x=2000；最后结合函数的增减性、最值等性质逐一判断每个选项的正误。
【解析】
首先分析x≥1000时的二次函数：
∵二次函数图象过点(1000,0.6)和(3000,0.6)，两点纵坐标相同，
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{1000+3000}{2}=2000$，且抛物线开口向下。
逐一判断选项：
A. 当x≥1000时，在1000≤x＜2000（对称轴左侧）区间内，y随x的增大而增大，在x＞2000（对称轴右侧）区间内，y随x的增大而减小，故A错误；
B. 抛物线开口向下，顶点在对称轴x=2000处，因此当x=2000时，y有最大值，故B正确；
C. 结合图象可知，当y≥0.6时，x的取值范围是1000≤x≤3000，并非x≥1000，故C错误；
D. 当y=0.4时，低光照的一次函数区间有1个对应x值，中高光照的二次函数区间也有1个对应x值，共2个x值，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，一次函数的性质，函数图象分析
【点评】
本题结合植物生长的实际背景考查函数图象的识别与性质应用，解题的核心是利用二次函数的对称性快速确定对称轴，再结合图象直观判断选项，侧重考查学生的读图分析能力。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数与二次函数结合的图象应用题，解题思路如下：首先明确不同x区间对应的函数类型，x在200≤x＜1000时是一次函数，x≥1000时是开口向下的二次函数；再利用二次函数的对称性，由过(1000,0.6)和(3000,0.6)两点求出对称轴为x=2000；最后结合函数的增减性、最值等性质逐一判断每个选项的正误。
【解析】
首先分析x≥1000时的二次函数：
∵二次函数图象过点(1000,0.6)和(3000,0.6)，两点纵坐标相同，
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{1000+3000}{2}=2000$，且抛物线开口向下。
逐一判断选项：
A. 当x≥1000时，在1000≤x＜2000（对称轴左侧）区间内，y随x的增大而增大，在x＞2000（对称轴右侧）区间内，y随x的增大而减小，故A错误；
B. 抛物线开口向下，顶点在对称轴x=2000处，因此当x=2000时，y有最大值，故B正确；
C. 结合图象可知，当y≥0.6时，x的取值范围是1000≤x≤3000，并非x≥1000，故C错误；
D. 当y=0.4时，低光照的一次函数区间有1个对应x值，中高光照的二次函数区间也有1个对应x值，共2个x值，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，一次函数的性质，函数图象分析
【点评】
本题结合植物生长的实际背景考查函数图象的识别与性质应用，解题的核心是利用二次函数的对称性快速确定对称轴，再结合图象直观判断选项，侧重考查学生的读图分析能力。
【难度系数】
0.7
