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6[2024福建中考]无动力帆船是借助风力前行的.如图是帆船借助风力航行的平面示意图,已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°,帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°,风对帆的作用力F为400 N.根据物理知识,F可以分解为两个力F₁与F₂,其中与帆平行的力F₁不起作用,与帆垂直的力F₂又可以分解为两个力f₁与f₂,f₁与航行方向垂直,被舵的阻力抵消;f₂与航行方向一致,是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小,据此,建立数学模型:F=AD=400,则f₂=CD=
128
.(单位:N)(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77)答案
6. 128 【解析】如图,
∵∠PDA = 70°,∠PDQ = 30°,
∴∠ADQ = ∠PDA - ∠PDQ = 70° - 30° = 40°,∠1 = ∠PDQ = 30°.
∵AB // QD,
∴∠BAD = ∠ADQ = 40°. 在Rt△ABD中,F = AD = 400,∠ABD = 90°,
∴$F_2 = BD = AD · \sin ∠BAD = 400 × \sin 40° ≈ 400 × 0.64 = 256$.
∵BD ⊥ DQ,
∴∠BDC+∠1 = 90°,
∴∠BDC = 90° - ∠1 = 60°. 在Rt△BCD中,BD = 256,∠BCD = 90°,
∴$f_2=CD=BD · \cos ∠BDC=256×\cos 60°=256×\frac{1}{2}=128$. 故答案为128.
解析
【分析】
这是一道结合物理力的分解背景的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先利用已知的两个角∠PDA=70°和∠PDQ=30°，先计算出风向与帆的夹角∠ADQ的度数；接下来风对帆的作用力F（即AD）分解为平行于帆的F₁和垂直于帆的F₂，因此△ABD是直角三角形，可利用正弦三角函数求出F₂（即BD）的大小；然后F₂又分解为垂直航行方向的f₁和沿航行方向的f₂，△BCD也是直角三角形，先求出F₂与航行方向的夹角，再利用余弦三角函数即可求出f₂（即CD）的大小。
【解析】
由题意得：
∵∠PDA = 70°，∠PDQ = 30°，
∴∠ADQ = ∠PDA - ∠PDQ = 70° - 30° = 40°，∠1 = ∠PDQ = 30°。
∵AB // QD，
∴∠BAD = ∠ADQ = 40°。
在Rt△ABD中，F = AD = 400，∠ABD = 90°，
∴$F_2 = BD = AD · \sin ∠BAD = 400 × \sin 40° ≈ 400 × 0.64 = 256$。
∵BD ⊥ DQ，
∴∠BDC + ∠1 = 90°，
∴∠BDC = 90° - ∠1 = 60°。
在Rt△BCD中，BD = 256，∠BCD = 90°，
∴$f_2=CD=BD · \cos ∠BDC=256×\cos 60°=256×\frac{1}{2}=128$。
【答案】
128
【知识点】
1. 解直角三角形的应用 2. 锐角三角函数 3. 角度和差计算
【点评】
本题结合物理中力的分解的生活应用场景，考查了解直角三角形的实际运用，解题关键是准确梳理各个角之间的数量关系，合理选择三角函数列式计算，有效考查了跨学科知识融合运用的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道结合物理力的分解背景的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先利用已知的两个角∠PDA=70°和∠PDQ=30°，先计算出风向与帆的夹角∠ADQ的度数；接下来风对帆的作用力F（即AD）分解为平行于帆的F₁和垂直于帆的F₂，因此△ABD是直角三角形，可利用正弦三角函数求出F₂（即BD）的大小；然后F₂又分解为垂直航行方向的f₁和沿航行方向的f₂，△BCD也是直角三角形，先求出F₂与航行方向的夹角，再利用余弦三角函数即可求出f₂（即CD）的大小。
【解析】
由题意得：
∵∠PDA = 70°，∠PDQ = 30°，
∴∠ADQ = ∠PDA - ∠PDQ = 70° - 30° = 40°，∠1 = ∠PDQ = 30°。
∵AB // QD，
∴∠BAD = ∠ADQ = 40°。
在Rt△ABD中，F = AD = 400，∠ABD = 90°，
∴$F_2 = BD = AD · \sin ∠BAD = 400 × \sin 40° ≈ 400 × 0.64 = 256$。
∵BD ⊥ DQ，
∴∠BDC + ∠1 = 90°，
∴∠BDC = 90° - ∠1 = 60°。
在Rt△BCD中，BD = 256，∠BCD = 90°，
∴$f_2=CD=BD · \cos ∠BDC=256×\cos 60°=256×\frac{1}{2}=128$。
【答案】
128
【知识点】
1. 解直角三角形的应用 2. 锐角三角函数 3. 角度和差计算
【点评】
本题结合物理中力的分解的生活应用场景，考查了解直角三角形的实际运用，解题关键是准确梳理各个角之间的数量关系，合理选择三角函数列式计算，有效考查了跨学科知识融合运用的能力。
【难度系数】
0.6
7[2025贵州中考]小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图(1))，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB=1 m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表：
(1)表格中a的值是
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图(2)所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由.
(1)表格中a的值是
100
；(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图(2)所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由.
答案
7.【解】(1)根据表格中的数据发现1×300 = 1.5×200 = 2×150 = 2.5×120 = 300,则点A与点O的距离l与拉力的大小F的乘积不变,
∴$a=\frac{300}{3}=100$. 故答案为100.
(2)如图所示.
(3)减小. 理由如下:由函数图象可知F是l的反比例函数,且该函数图象在第一象限内. 根据反比例函数的性质可知,F随l的增大而减小,
∴当OA的长增大时,拉力F减小.
解析
【分析】
(1) 先观察给出的l与F的对应数据，计算二者的乘积，可发现乘积为定值，说明l与F成反比例函数关系，利用定值除以l=3即可求出a的值；
(2) 绘制函数图象遵循“描点、连线”的步骤，先将表格中每一组(l,F)对应的点在坐标系中准确描出，再用平滑的曲线顺次连接各点即可；
(3) 已判断F与l成反比例函数关系，且反比例系数为正数，结合反比例函数的性质，即可判断l增大时F的变化趋势。
【解析】
(1) 观察表格数据可得：$1×300=1.5×200=2×150=2.5×120=300$，即l与F的乘积为定值300，因此当$l=3\ \mathrm{m}$时，$a=\frac{300}{3}=100$。
(2) 先在平面直角坐标系中描出表格数据对应的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的函数图象如下：
(3) 拉力F减小。理由：由数据可知F是l的反比例函数，解析式为$F=\frac{300}{l}\ (l＞0)$，其中反比例系数$300＞0$，根据反比例函数的性质，在第一象限内F随l的增大而减小，因此当OA的长增大时，拉力F减小。
【答案】
(1) $\boxed{100}$
(2)
(3) $\boxed{减小}$，理由见解析
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；描点法画函数图象
【点评】
本题结合古代汲水工具的实际场景考查反比例函数的相关知识，需要从给定数据中归纳出函数关系，再结合函数性质解决问题，考查了数据分析能力和数学知识的实际应用能力，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察给出的l与F的对应数据，计算二者的乘积，可发现乘积为定值，说明l与F成反比例函数关系，利用定值除以l=3即可求出a的值；
(2) 绘制函数图象遵循“描点、连线”的步骤，先将表格中每一组(l,F)对应的点在坐标系中准确描出，再用平滑的曲线顺次连接各点即可；
(3) 已判断F与l成反比例函数关系，且反比例系数为正数，结合反比例函数的性质，即可判断l增大时F的变化趋势。
【解析】
(1) 观察表格数据可得：$1×300=1.5×200=2×150=2.5×120=300$，即l与F的乘积为定值300，因此当$l=3\ \mathrm{m}$时，$a=\frac{300}{3}=100$。
(2) 先在平面直角坐标系中描出表格数据对应的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的函数图象如下：
(3) 拉力F减小。理由：由数据可知F是l的反比例函数，解析式为$F=\frac{300}{l}\ (l＞0)$，其中反比例系数$300＞0$，根据反比例函数的性质，在第一象限内F随l的增大而减小，因此当OA的长增大时，拉力F减小。
【答案】
(1) $\boxed{100}$
(2)
(3) $\boxed{减小}$，理由见解析
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；描点法画函数图象
【点评】
本题结合古代汲水工具的实际场景考查反比例函数的相关知识，需要从给定数据中归纳出函数关系，再结合函数性质解决问题，考查了数据分析能力和数学知识的实际应用能力，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
8[2024四川广元中考]小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值$\frac{\sinα}{\sinβ}$叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”。它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征。
(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且$\cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$β=30°$，求该介质的折射率；
(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图(1)所示，点A,B,C,D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形$A_1D_1D_2A_2$对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图(2)，已知$α=60°$，$CD=10\ \mathrm{cm}$，求截面ABCD的面积。
(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且$\cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$β=30°$，求该介质的折射率；
(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图(1)所示，点A,B,C,D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形$A_1D_1D_2A_2$对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图(2)，已知$α=60°$，$CD=10\ \mathrm{cm}$，求截面ABCD的面积。
答案
8.【解】(1)
∵$\cos α=\frac{\sqrt{7}}{4}$,
∴由勾股定理易得$\sin α=\frac{3}{4}$. 又
∵$β=30°$,
∴$\sin β=\sin 30°=\frac{1}{2}$,
∴折射率为$\frac{\sin α}{\sin β}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$.
(2)由题意可得$α=60°$,折射率为$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{\sin α}{\sin β}=\frac{\sin 60°}{\sin β}=\frac{3}{2}$,
∴$\sin β=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∵四边形ABCD是矩形,点O是AD中点,
∴$AD=2OD,∠D=90°$.
又
∵$∠OCD=β$,
∴$\sin ∠OCD=\sin β=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
在Rt△ODC中,设$OD=\sqrt{3}x$,则$OC=3x$,由勾股定理得$CD=\sqrt{(3x)^2-(\sqrt{3}x)^2}=\sqrt{6}x$,
∴$\tan β=\frac{OD}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$OD=CD · \tan β=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$,
∴$AD=2OD=10\sqrt{2}$,
∴截面ABCD的面积为$AD×CD=10\sqrt{2}×10=100\sqrt{2}\ (\mathrm{cm}^2)$.
∵$\cos α=\frac{\sqrt{7}}{4}$,
∴由勾股定理易得$\sin α=\frac{3}{4}$. 又
∵$β=30°$,
∴$\sin β=\sin 30°=\frac{1}{2}$,
∴折射率为$\frac{\sin α}{\sin β}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$.
(2)由题意可得$α=60°$,折射率为$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{\sin α}{\sin β}=\frac{\sin 60°}{\sin β}=\frac{3}{2}$,
∴$\sin β=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∵四边形ABCD是矩形,点O是AD中点,
∴$AD=2OD,∠D=90°$.
又
∵$∠OCD=β$,
∴$\sin ∠OCD=\sin β=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
在Rt△ODC中,设$OD=\sqrt{3}x$,则$OC=3x$,由勾股定理得$CD=\sqrt{(3x)^2-(\sqrt{3}x)^2}=\sqrt{6}x$,
∴$\tan β=\frac{OD}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$OD=CD · \tan β=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$,
∴$AD=2OD=10\sqrt{2}$,
∴截面ABCD的面积为$AD×CD=10\sqrt{2}×10=100\sqrt{2}\ (\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
(1) 解题首先明确折射率的定义为$\frac{\sinα}{\sinβ}$，要求折射率需要先求出$\sinα$和$\sinβ$：已知$\cosα$，可根据同角三角函数的关系$\sin^2α+\cos^2α=1$计算$\sinα$；已知$β=30°$，可直接得到$\sinβ$的值，代入折射率公式即可求解。
(2) 首先利用第一问求出的折射率，结合已知入射角$α=60°$，代入折射率公式求出$\sinβ$；再结合图形特征：四边形ABCD是矩形，$∠ D=90°$，O是AD中点，可得$∠ OCD=β$，在$Rt△ ODC$中，利用锐角三角函数的边角关系结合$CD=10\ \mathrm{cm}$求出$OD$的长，进而得到$AD$的长，最后根据矩形面积公式计算截面面积即可。
【解析】
(1) 已知$\cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}$，根据$\sin^2α+\cos^2α=1$可得：
$\sinα=\sqrt{1-\cos^2α}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{7}}{4})^2}=\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$
又$\because β=30°$，$\therefore \sinβ=\sin30°=\frac{1}{2}$
$\therefore$ 该介质的折射率为$\frac{\sinα}{\sinβ}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$。
(2) 已知$α=60°$，折射率为$\frac{3}{2}$，代入折射率公式：
$\frac{\sin60°}{\sinβ}=\frac{3}{2}$，即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sinβ}=\frac{3}{2}$，解得$\sinβ=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\because$ 四边形ABCD是矩形，O是AD中点，$\therefore AD=2OD$，$∠ D=90°$，且$∠ OCD=β$。
在$Rt△ ODC$中，$\sinβ=\frac{OD}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，设$OD=\sqrt{3}x$，则$OC=3x$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{(3x)^2-(\sqrt{3}x)^2}=\sqrt{6}x$
$\therefore \tanβ=\frac{OD}{CD}=\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{6}x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\therefore OD=CD·\tanβ=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
$\therefore AD=2OD=10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
$\therefore$ 截面ABCD的面积为$AD× CD=10\sqrt{2}×10=100\sqrt{2}\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) 该介质的折射率为$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$；
(2) 截面ABCD的面积为$\boldsymbol{100\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
同角三角函数的关系；锐角三角函数的应用；矩形的性质
【点评】
本题结合物理中折射率的新定义，考查了三角函数计算与几何性质的综合应用，需要先理解新定义的运算规则，再结合直角三角形边角关系、矩形性质逐步求解，体现了跨学科知识融合的考查方向。
【难度系数】
0.65
(1) 解题首先明确折射率的定义为$\frac{\sinα}{\sinβ}$，要求折射率需要先求出$\sinα$和$\sinβ$：已知$\cosα$，可根据同角三角函数的关系$\sin^2α+\cos^2α=1$计算$\sinα$；已知$β=30°$，可直接得到$\sinβ$的值，代入折射率公式即可求解。
(2) 首先利用第一问求出的折射率，结合已知入射角$α=60°$，代入折射率公式求出$\sinβ$；再结合图形特征：四边形ABCD是矩形，$∠ D=90°$，O是AD中点，可得$∠ OCD=β$，在$Rt△ ODC$中，利用锐角三角函数的边角关系结合$CD=10\ \mathrm{cm}$求出$OD$的长，进而得到$AD$的长，最后根据矩形面积公式计算截面面积即可。
【解析】
(1) 已知$\cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}$，根据$\sin^2α+\cos^2α=1$可得：
$\sinα=\sqrt{1-\cos^2α}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{7}}{4})^2}=\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$
又$\because β=30°$，$\therefore \sinβ=\sin30°=\frac{1}{2}$
$\therefore$ 该介质的折射率为$\frac{\sinα}{\sinβ}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$。
(2) 已知$α=60°$，折射率为$\frac{3}{2}$，代入折射率公式：
$\frac{\sin60°}{\sinβ}=\frac{3}{2}$，即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sinβ}=\frac{3}{2}$，解得$\sinβ=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\because$ 四边形ABCD是矩形，O是AD中点，$\therefore AD=2OD$，$∠ D=90°$，且$∠ OCD=β$。
在$Rt△ ODC$中，$\sinβ=\frac{OD}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，设$OD=\sqrt{3}x$，则$OC=3x$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{(3x)^2-(\sqrt{3}x)^2}=\sqrt{6}x$
$\therefore \tanβ=\frac{OD}{CD}=\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{6}x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\therefore OD=CD·\tanβ=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
$\therefore AD=2OD=10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
$\therefore$ 截面ABCD的面积为$AD× CD=10\sqrt{2}×10=100\sqrt{2}\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) 该介质的折射率为$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$；
(2) 截面ABCD的面积为$\boldsymbol{100\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
同角三角函数的关系；锐角三角函数的应用；矩形的性质
【点评】
本题结合物理中折射率的新定义，考查了三角函数计算与几何性质的综合应用，需要先理解新定义的运算规则，再结合直角三角形边角关系、矩形性质逐步求解，体现了跨学科知识融合的考查方向。
【难度系数】
0.65
