9[2024青海中考]如图，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件，使得△AOB∽△COD。

9. ∠A = ∠C(答案不唯一) 【解析】
∵∠A = ∠C,∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD,故答案为∠A=∠C.(答案不唯一).

【分析】
要判定△AOB∽△COD，首先观察图形可得∠AOB与∠COD是对顶角，天然相等，已经满足一组角对应相等的条件。根据相似三角形的判定定理，此时只需要再添加一组对应角相等，或者添加这组等角的两组夹边对应成比例，即可证明两个三角形相似，因此可添加的条件不唯一。
【解析】
我们以添加∠A=∠C为例进行推导：
∵ ∠AOB与∠COD是对顶角，
∴ ∠AOB=∠COD，
又
∵ ∠A=∠C，
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△AOB∽△COD。
注：也可添加∠B=∠D、$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$、AB//CD等条件，均符合要求。
【答案】
∠A = ∠C（答案不唯一）
【知识点】
对顶角相等；相似三角形的判定
【点评】
本题属于开放型填空题，解题时需先梳理图形中已有的相等条件，再结合相关判定定理补充缺少的条件即可，答案不唯一，只要满足相似判定要求均正确。
【难度系数】
0.8

10[2025广东中考]已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是.(写出一个即可)

10. $y=-x^2+x+2$(答案不唯一) 【解析】
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$,
∴$0=-c^2+bc+c$.
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象不经过原点,
∴$c≠0$,则$c-b=1$. 若取$b=1$,则$c=2$,
∴该二次函数的表达式可以是$y=-x^2+x+2$,故答案为$y=-x^2+x+2$(答案不唯一).

【分析】
解题时先明确函数图象与点坐标的关系：若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式。第一步，将点$(c,0)$代入二次函数解析式，得到关于$b$、$c$的等式；第二步，根据函数不经过原点的条件，可知$x=0$时$y=c≠0$，因此可对得到的等式两边同时除以$c$，推导出$b$与$c$的数量关系；第三步，任意选取一个符合条件的$b$（或$c$）的值，求出对应的$c$（或$b$），代入解析式即可得到答案。
【解析】
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$，
∴将$x=c$，$y=0$代入解析式得：$0=-c^2+bc+c$。
又
∵二次函数图象不经过原点，
∴当$x=0$时，$y=c≠0$，
对等式$0=-c^2+bc+c$两边同时除以$c$，得：$0=-c+b+1$，整理得$c=b+1$。
令$b=1$，则$c=1+1=2$，代入解析式得$y=-x^2+x+2$（答案不唯一，只要满足$c=b+1$且$c≠0$即可）。
【答案】
$y=-x^2+x+2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数解析式的确定
【点评】
本题属于开放性基础题，解题核心是利用图象上点的坐标特征和不过原点的条件得到参数$b$、$c$的数量关系，只要选取的参数满足推导得到的关系即可得到正确答案，解题思路灵活。
【难度系数】
0.7

11[2025湖北武汉中考]在平面直角坐标系中，某反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分别位于第一、第三象限. 写出一个满足条件的k的值是.

11. 1(答案不唯一) 【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分别位于第一、第三象限,
∴$k＞0$,
∴k的值可以是1. 故答案为1(答案不唯一).

【分析】
首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位置和系数$k$的对应规律：当$k＞0$时，函数图象位于第一、第三象限；当$k＜0$时，函数图象位于第二、第四象限。结合题目给出的图象位于第一、三象限的条件，可确定$k$的取值范围为$k＞0$，只需任取一个大于0的数值即可满足要求。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分别位于第一、第三象限，
∴根据反比例函数的性质可得$k＞0$，
因此所有正实数都符合条件，可取$k=1$。
【答案】
1（答案不唯一，任意正数均可）
【知识点】
反比例函数的图象与系数的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记反比例函数中$k$的正负与图象所在象限的对应关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

12 新考法[2025广西中考]【平行六边形】如图(1),在凸六边形ABCDEF中,满足AB//DE, BC//EF,CD//FA,我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”.其中AB与DE,BC与EF,CD与FA叫做“主对边”;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F叫做“主对角”;AD,BE,CF叫做“主对角线”.
(1)类比平行四边形性质,有如下猜想,请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”.

【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”.
(2)如图(2),已知平行六边形OPQRST满足OP=PQ=QR=RS.求证:平行六边形OPQRST是菱六边形.
(3)如图(3)是一张边长为3,4,6的三角形纸片,剪裁掉三个小三角形,使剪裁后的纸片为菱六边形.请在剪裁掉的小三角形中,任选一个,求它的各边长.

12. (1)【解】如图(1),连接BE,CF,AD,BE与AD交于点O.
①由AB//DE,只能知道△AOB∽△DOE,不能判断出AB=DE,同理不能判断出BC=EF,AF=CD,故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的;
②
∵AB//DE,
∴∠ABE=∠BED,同理可得∠CBE=∠BEF,
∴∠ABC=∠DEF,同理可得∠BAF=∠CDE,∠BCD=∠AFE,故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的;
③由图(1)可知,平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的. 故答案为错误,正确,错误.

(2)【证明】如图(2),过点Q作QH//PO,且QH = PO,连接OH,HS,则四边形PQHO是平行四边形,
∴PQ//OH,PQ=OH.
在平行六边形OPQRST中,PO//RS,PO=RS,
∴QH//RS,QH=RS,
∴四边形QR SH为平行四边形,
∴QR//HS,QR=HS.
在平行六边形OPQRST中,PQ//ST,QR//OT,
∴OH//ST,HS//OT,
∴四边形HSTO为平行四边形,
∴HS=OT,OH=ST,
∴QR=OT,PQ=ST.
∵OP=PQ=QR=RS,
∴PQ=QR=RS=ST=OT=PO,
∴平行六边形OPQRST是菱六边形.

(3)【解】设三角形纸片为△ABC,剪裁后的纸片为菱六边形DEFGHK,如图(3),
∴DE // HG, HK // EF,
DE=EF=FG=HG=KH=DK,
∴△ADE∽△ABC,△BKH∽△BAC,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$,$\frac{KH}{AC}=\frac{BK}{AB}$.
设DE=EF=FG=HG=KH=DK=x,
则$\frac{x}{6}=\frac{AD}{3}=\frac{AE}{4}$,$\frac{x}{4}=\frac{BK}{3}$,
∴$AD=\frac{1}{2}x$,$AE=\frac{2}{3}x$,$BK=\frac{3}{4}x$.
∵AB=AD+DK+BK=3,
∴$\frac{1}{2}x +x + \frac{3}{4}x =3$,
解得$x=\frac{4}{3}$,
∴△ADE的各边长为$AD=\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}$,$AE=\frac{2}{3}x=\frac{8}{9}$,$DE=x=\frac{4}{3}$.(答案不唯一)

【分析】
(1) 类比平行四边形性质逐一验证猜想：①判断主对边是否相等：仅由对边平行可证对边所在三角形相似，但无法证明相似比为1，不能推出对边相等；②判断主对角是否相等：利用平行线的内错角相等，可将主对角拆分为两组相等的内错角之和，即可证得主对角相等；③判断主对角线是否互相平分：没有全等或平行四边形的依据可推导对角线互相平分，故不成立。
(2) 菱六边形要求六条边都相等，已知四条边相等，只需证剩余两条边与已知边相等即可。通过作辅助线构造平行四边形，利用平行四边形对边平行且相等的性质转移边的关系，即可证得六条边全部相等。
(3) 菱六边形对边平行且各边相等，因此裁剪得到的三个小三角形均与原三角形相似，设菱六边形的边长为x，利用相似三角形对应边成比例，用含x的式子表示原三角形各边的组成，列方程求解x，即可得到任意一个小三角形的边长。
【解析】
(1) ①连接各主对角线，由AB//DE可证△AOB∽△DOE，但无依据证明相似比为1，故无法推出AB=DE，同理其余两组主对边也无法证明相等，因此“三组主对边分别相等”的猜想错误；
②
∵AB//DE，
∴∠ABE=∠BED，同理BC//EF可得∠CBE=∠BEF，两式相加得∠ABC=∠DEF，同理可证∠BAF=∠CDE，∠BCD=∠AFE，因此“三组主对角分别相等”的猜想正确；
③无全等或平行四边形的推导依据，无法证明三条主对角线互相平分，因此该猜想错误。
(2) 过点Q作QH//PO，且QH = PO，连接OH、HS：
∵QH//PO且QH=PO，
∴四边形PQHO是平行四边形，
∴PQ//OH，PQ=OH；
∵平行六边形OPQRST中PO//RS，且PO=RS，
∴QH//RS，QH=RS，
∴四边形QRSH为平行四边形，
∴QR//HS，QR=HS；
又
∵平行六边形OPQRST中PQ//ST，QR//OT，
∴OH//ST，HS//OT，
∴四边形HSTO为平行四边形，
∴HS=OT，OH=ST；
∴QR=OT，PQ=ST，结合已知OP=PQ=QR=RS，可得OP=PQ=QR=RS=ST=TO，即六条边都相等，
∴平行六边形OPQRST是菱六边形。
(3) 设剪裁得到的菱六边形DEFGHK的边长为x，即DE=EF=FG=GH=HK=KD=x：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，代入AB=3，AC=4，BC=6得$\frac{x}{6}=\frac{AD}{3}=\frac{AE}{4}$，解得$AD=\frac{1}{2}x$，$AE=\frac{2}{3}x$；
∵HK//AC，
∴△BKH∽△BAC，
∴$\frac{HK}{AC}=\frac{BK}{AB}$，即$\frac{x}{4}=\frac{BK}{3}$，解得$BK=\frac{3}{4}x$；
∵AB=AD+DK+BK=3，代入得$\frac{1}{2}x +x + \frac{3}{4}x =3$，解得$x=\frac{4}{3}$；
以△ADE为例，其边长为$AD=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$，$AE=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=\frac{8}{9}$，$DE=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1) 错误，正确，错误

(2) 平行六边形OPQRST是菱六边形，证明如上。

(3) 示例：裁剪掉的△ADE的三边长分别为$\frac{2}{3}$，$\frac{8}{9}$，$\frac{4}{3}$（答案不唯一）

【知识点】
平行线的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题为新定义类题型，通过类比平行四边形的性质探究平行六边形、菱六边形的相关结论，再结合相似三角形的知识解决实际剪裁问题，既考查了知识迁移的能力，也考查了几何核心知识的综合应用能力，符合新考法注重探究与应用的命题特点。
【难度系数】
0.6